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wikitelaio2016:richiami_teoria_trave

Richiami di teoria della trave

Introduzione

Si definisce “trave” un solido geometrico con una dimensione preponderante rispetto alle altre; la teoria che permette di definire lo stato tensionale della stessa, detta teoria della trave, si basa sulle seguenti ipotesi:

  • Materiale isotropo omogeneo e elastico lineare;
  • Trave in equilibrio nello spazio e in assenza di vincoli;
  • Assenza di forze di volume (in particolare la forza peso) e forze di superficie applicate soltanto alle facce estremali [σxyxy=0];
  • Sezioni piane e che restano tali;

Il corpo così decritto presenta 6 gradi di libertà di cui tre traslazioni e tre rotazioni attorno a tre assi coordinati. Nei casi applicativi, invece, è limitato nei suoi spostamenti tramite la presenza di vincoli. Quest’ultimi interagiscono con il corpo attraverso reazioni vincolari che sottraggono gradi di libertà.
Esempi di vincolo nel piano sono:

  • Cerniera: Vincolo doppio che impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo una qualsiasi direzione del piano del problema, consentendo la rotazione;
  • Incastro: Vincolo triplo che limita tutti i possibili moti del punto vincolato;
  • Carrello: Vincolo semplice che impedisce lo spostamento lungo l’asse del carrello;

Altri tipologie di vincolo possono essere ottenute tramite la combinazione di quest’ultimi (doppio pendolo, biella, ecc.).
Un solido vincolato subisce forze e momenti dall’esterno e ristabilisce l’equilibrio in ogni sezione grazie alla nascita di reazioni interne. Tali reazioni si dividono in:

  • Sforzo normale: Componente risultante esercitata lungo l’asse z, solitamente scelto come asse longitudinale della trave;
  • Taglio: Componente ortogonale all’asse baricentrico;
  • Momento flettente: Momento applicato con direzione ortogonale all’asse della trave;
  • Momento torcente: Momento applicato con direzione parallela all’asse della trave;

La distribuzione di queste sollecitazioni sulle sezioni causa uno stato tensionale responsabile di deformazioni ed eventuali rotture. Le caratteristiche delle sollecitazioni sono indipendenti dalla sezione e dal materiale, se la struttura è isostatica ossia i gradi di vincolo coincidono con i gradi di libertà. Consideriamo il seguente esempio:

Per risolvere la struttura in figura si inizia imponendo l'equilibrio alla traslazione e alla rotazione nei sei possibili gradi di libertà dello spazio; in particolare si ha che all'incastro sono presenti tre forze dirette lungo gli assi: XA,YA,ZA quindi:

$$ \left\{\begin{matrix} &X_{A} = 0 & \\ &Y_{A}+P=0 & \\ &Z_{A}=0 & \end{matrix}\right. $$
da cui ricaviamo YA=-P.
Allo stesso modo all'incastro sono applicati anche tre momenti resistenti attorno agli assi coordinati, Mx,My,Mz e, come sopra, imponiamo l'equilibrio alla rotazione, scegliendo un generico punto, nel nostro caso A, per cui otteniamo:
$$ \left\{\begin{matrix} &P\cdot c \ + M_{x} = 0 & \\ &M_{y}=0 & \\ &P\cdot a \ + M_{z} = 0 & \end{matrix}\right. $$ da cui ricaviamo i valori:
$$ -P\cdot c = M_{x} $$ $$ -P\cdot a = M_{z} $$ a questo punto la struttura può dirsi in equilibrio.

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Per determinare le sollecitazioni interne, prendiamo in considerazione il tratto 3 di trave, su cui agisce il carico P; esso provoca uno sforzo di taglio negativo di entità P e un momento flettente che agisce attorno all'asse x, crescente lungo l'asse della trave e di valore massimo pari a P⋅c, che raggiunge all'intersezione con la trave 2 (punto C).
Consideriamo, ora, il secondo tratto di trave: su di esso si scarica il momento flettente di cui sopra, P⋅c, il quale resta costante lungo tutta la lunghezza b della trave; inoltre anche il carico P si scarica sotto forma di sforzo normale trattivo e dunque positivo, di entità P.
Per quanto riguarda la trave 1, su di essa il momento flettente P⋅c diventa torcente perché applicato attorno all'asse x e come tale resta costante lungo tutta la lunghezza a per poi annullarsi in corrispondenza dell'incastro (punto A), laddove è presente la reazione Mx, uguale e opposta.
D'altra parte il carico P, pensato applicato all'estremità B della trave 1, genera un momento flettente attorno a z, crescente lungo la stessa fino al valore P⋅a che si ottiene all'incastro, dove anch'esso viene bilanciato dal momento Mz ivi presente. La forza P, inoltre, produce un taglio costante, di entità -P, che in presenza del vincolo viene eliminato dalla reazione YA.
Nelle figure seguenti è possibile notare l'andamento delle sollecitazioni interne lungo la :

Telaietto

Dato il seguente telaio semplificato, è definito il sistema di riferimento considerando come asse strada, l’asse X, asse Y parallelo al piano stradale e asse Z ortogonale ai precedenti.
immagine
Tale sistema è labile nello spazio in quanto i vincoli eliminano 3 gradi di libertà rispetto i 6 totali poiché ogni carrello impedisce solo il moto lungo l’asse Z.
Dal punto di vista delle sollecitazioni indotte nel materiale ciò è irrilevante perché non vi sono carichi nelle direzioni di possibile moto.
Al fine di rendere tale struttura isostatica è possibile introdurre una cerniera in qualsiasi punto in modo da impedire i moti liberi (traslazione in x, y e rotazione intorno all’asse z), tuttavia tale vincolo non introduce alcuna reazione vincolare rispetto la situazione precedente; risulterebbe scarico in quanto lungo quelle direzioni non ci sono carichi applicati da indurre spostamenti.
Attraverso considerazioni di equilibrio alla rotazione, è possibile ricavare le reazioni vincolari lungo Z; per equilibrio attorno alla diagonale AC la reazione vincolare nel nodo B è pari in modulo e verso del carico P. Per medesime considerazioni di equilibrio lungo il segmento CD la reazione vincolare nel nodo C ha modulo pari a P e verso opposto al carico applicato. Per concludere l’analisi statica la reazione vincolare nel nodo A ha modulo pari a al carico e verso opposto.
La struttura è geometricamente simmetrica ma la distribuzione dei vincoli non lo è, tuttavia sostituendo a quest’ultimi le rispettive reazioni vincolari la distribuzione dei carichi risulta antisimmetrica.
L’antisimmetria può essere definita a partire dal concetto di simmetria; invertendo forze e momenti da un solo lato del piano di simmetria di una struttura antisimmetrica, questa diventa simmetrica.
Riferendosi al problema in questione la struttura presenta 3 piani di antisimmetria rispetto la distribuzione dei carichi di cui XZ perpendicolare all’asse Y, XY perpendicolare all’asse Z e il piano ZY ortogonale all’asse X.
In presenza di antisimmetria posso studiare parte della struttura perché il resto sarà derivabile tramite le regole dell’antissimetria.
Tagliando la struttura è possibile sostituire ad una delle due parti dei vincoli i quali eviteranno spostamenti o/e rotazioni incompatibili con la presenza della porzione di corpo mancante.

Regole di sostituzione dei vincoli:
Gli spostamenti consentiti per figure attraversate da un piano di simmetria o di anti-simmetria sono tutti quelli che non comportano una separazione o compenetrazione tra le parti in cui è divisa la struttura, ossia lasciano in contatto i punti che lo erano precedentemente. Immaginiamo una trave tagliata da un piano di simmetria o antisimmetria x,y con normale z e consideriamo i diversi spostamenti a cui è soggetta la superficie di contatto:

Traslazione lungo l'asse z, normale al piano:
Per una struttura simmetrica, tale spostamento comporta la separazione tra le parti della trave, che risulterebbe soggetta a due forze di verso opposto, pertanto non è consentito; viceversa per una struttura antisimmetrica, la traslazione è ammessa in quanto le due parti della trave sono, soggette a forze nello stesso verso.

Traslazione lungo l'asse y, giacente sul piano:
Per una struttura simmetrica lo spostamento di una parte in direzione y comporta uno spostamento nello stesso verso della parte restante, pertanto tale movimento è consentito; viceversa, per una struttura antisimmetrica, lo spostamento di cui sopra comporterebbe una traslazione in verso opposto tra le parti, quindi non è ammesso.

Traslazione lungo l'asse x, giacente sul piano:
Analogamente al caso precedente, per una struttura simmetrica a uno spostamento in direzione x corrisponde un movimento nello stesso verso delle parti, dunque è ammesso; d'altro canto per una struttura antisimmetrica, tale movimento non è consentito poiché comporta uno scostamento in versi opposti delle due metà, con evidente separazione del materiale.

Rotazione attorno all'asse z, normale al piano:
Tale rotazione, per una struttura simmetrica, é consentita, in quanto le due parti ruoterebbero nello stesso verso; viceversa questa rotazione non è ammessa nel caso di travi antisimmetriche.

Rotazione attorno all'asse y, giacente sul piano:
Per una struttura simmetrica un simile movimento non è consentito perché i due tronconi in cui è divisa la trave ruoterebbero in versi opposti con conseguente rottura della trave originaria; per strutture antisimmetriche, invece, è uno spostamento ammesso.

Rotazione attorno all'asse x, giacente sul piano:
Una rotazione attorno all'asse x comporta, per la struttura simmetrica, contemporaneamente una compenetrazione e un distacco delle superfici originariamente a contatto e dunque risulta non essere consentito; nel caso di una struttura antisimmetrica, tale rotazione è ammessa, poiché le due parti ruotano nello stesso verso.

Con riferimento alla tabella di figura, la struttura simmetrica consente traslazione lungo gli assi x e y e rotazioni attorno all'asse z; la struttura antisimmetrica, invece ha tali movimenti bloccati e viceversa consente la traslazione lungo l'asse z e le rotazioni attorno agli assi x e y.

Discussione

Enrico BERTOCCHI, 2016/05/28 18:12

REVISORE 1:

Sono presenti passaggi/formule/immagini che non rispettano le regole di composizione? La fruibilità del testo ne risente? Indicare puntualmente le correzioni richieste.

Le formule all'interno del testo non sono scritte in linguaggio latex, né si è fatto uso del corsivo per differenziarle. Pongo come esempio il terzo punto del primo elenco puntato del primo paragrafo, in cui è scritto:

xyxy=0*

Per esempio in questo caso avrei preferito:

*${\sigma }_{x}={\sigma }_{y}={\tau }_{xt}$*.

Quanto appena detto vale anche per le altre formule presenti. Per quanto concerne il contenuto l'ho trovato coerente con i miei personali appunti (e qui rispondo in parte anche alla domanda successiva), tuttavia avrei preferito l'utilizzo del linguaggio *latex*, anche per quanto riguarda l'effetto visivo, in modo che la formattazione delle formule matematiche sia diversa dal testo normale.

Gli assi e i piani sono chiamati con le lettere maiuscole anziché minuscole, e anch'essi non distinti dalla formattazione normale.

Il testo proposto è coerente con gli appunti personali del revisore?

Inserirei a valle del primo elenco puntato un incipit sullo studio della trave nel piano, con l'esempio della trave incastrata ad un'estremità, soggetta a forza P nell'estremo libero, dal momento che questo esempio è stato fatto dal docente prima dell'esempio del corpo nello spazio.

Quando viene scritto:

*Sforzo normale: Componente risultante esercitata lungo l’asse z, solitamente scelto come asse longitudinale della trave*

non trovo corretto parlare di componente lungo l'asse z, in quanto per la trave a doppia L della figura immediatamente successiva, a seconda del tratto considerato la componente normale può essere in direzione x (tratto AB), y (tratto BC) oppure z (tratto CE). Riferendosi proprio a questo esempio, la trave è stata divisa in 3 parti 1, 2 e 3, tuttavia la trave è sempre una sola, quindi ritengo inesatto riferirsi a “trave 1” per indicare il tratto AB. Suggerirei infatti di riferirsi al “tratto AB” (o “tratto 1” se si vuole mantenere la suddivisione numerica) anziché a “trave 1”.

Prima dell'elenco sulla sostituzione dei vincoli il docente ha fatto una breve trattazione sul perché anche il piano xy è un piano di simmetria, in cui la forza F (o P a seconda di come viene chiamata) viene divisa in F/2, una metà applicata da una parte del piano xy e l'altra metà dall'altra parte. Invertendo le forze F/2 da una parte si dimostra l'antisimmetria del piano xy.

Indicare se l'aggiunta di una o più figure agevolerebbe la fruibilità del testo.

Le figure mi sembrano tutte corrette, tuttavia sono poco leggibili e le lettere e numeri troppo piccoli. Se fosse possibile suggerirei di cambiarle con altre di qualità superiore e in cui sia scritto più grande.

Nello studio delle componenti normali, di taglio e dei momenti, alcune figure in cui viene tagliata la trave e si mostrano le forze agente sulla sezione di taglio renderebbero più agevole capire l'approccio utilizzato. Infatti le figure presenti riguardano solo il risultato finale e non accompagnano passo passo il ragionamento.

Inserirei delle figure nelle trattazioni mancanti esposte al punto precedente.

Riuscirebbe uno studente che non ha seguito la lezione a preparare gli argomenti trattati sulla base di questi appunti? Quali modifiche renderebbero gli appunti più fruibili?

Sicuramente l'inserimento di alcune immagini renderebbe molto più fruibile la lezione, in quanto spiegare a parole alcuni ragionamenti è piuttosto complicato e delle figure possono aiutare a comprendere con più facilità.

Ore dedicate a questa revisione

1.5

Enrico BERTOCCHI, 2016/05/28 18:16

REVISORE 2:

Sono presenti passaggi/formule/immagini che non rispettano le regole di composizione? La fruibilità del testo ne risente? Indicare puntualmente le correzioni richieste.

  1. Descrizione dei vincoli: il vincolo impedisce moti della sezione a cui è applicato, non del punto
  2. Definizioni azioni interne: far riferimento agli assi della sezione + aggiunta figura
  3. Esempio trave 3D: rivedere impostazione trattazione e renderla più ordinata (schema → sostituzione reazioni vincolari ai vincoli → equilibrio globale → equilibrio porzioni di trave e azioni interne),

posizione immagine non coerente con il testo

  1. Telaietto: terza frase non corretta: la presenza di una labilità non è rilevante poichè non ci sono carichi che “attivano” tale labilità ma non c'è nessuna relazione con le sollecitazioni indotte nel materiale
  2. Regole di sostituzione dei vincoli: rendere la trattazione più generica riferendosi a direzioni parallele o perpendicolari al piano di simmetria/antisimmetria e mon agli assi xyz e poi, eventualmente, particolarizzare la trattazione al caso del telaietto

Il testo proposto è coerente con gli appunti personali del revisore?

Il testo proposto è coerente

Indicare se l'aggiunta di una o più figure agevolerebbe la fruibilità del testo.

  1. aggiunta di un'immagine della trave con relativo sistema di riferimento nella parte introduttiva
  2. aggiunta di un'immagine della sezione a cui sono applicate le azioni interne dove vengono definite
  3. migliorare laqualità di tutte le figure che in generale risultano poco leggibili

Riuscirebbe uno studente che non ha seguito la lezione a preparare gli argomenti trattati sulla base di questi appunti? Quali modifiche renderebbero gli appunti più fruibili?

Si potrebbe rendere la trattazione più schematica e meno discorsiva, soprattutto nella sezione riguardante la trave tridimensionale

Segnalare se si ritiene necessario un intervento diretto del docente, ad esempio nel chiarire un qualche passaggio della trattazione.

Varie ed eventuali.

Ore dedicate a questa revisione

45 minuti

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wikitelaio2016/richiami_teoria_trave.txt · Ultima modifica: 2017/02/08 00:14 da ebertocchi