cdm.ing.unimore.it

Questa pagina è in sola lettura. Puoi visualizzare il sorgente, ma non puoi modificarlo. Contatta l'amministratore se pensi che ci sia un errore.
====== Richiami di teoria della trave ======

===== Introduzione =====

Si definisce “trave” un solido geometrico con una dimensione preponderante rispetto alle altre; la teoria che permette di definire lo stato tensionale della stessa, detta teoria della trave, si basa sulle seguenti ipotesi:\\
  *  Materiale isotropo omogeneo e elastico lineare;\\
  * Trave in equilibrio nello spazio e in assenza di vincoli;\\
  * Assenza di forze di volume (in particolare la forza peso) e forze di superficie applicate soltanto alle facce estremali [σ<sub>x</sub>=σ<sub>y</sub>=τ<sub>xy</sub>=0];
  * Sezioni piane e che restano tali;\\
Il corpo così decritto presenta 6 gradi di libertà di cui tre traslazioni e tre rotazioni attorno a tre assi coordinati. Nei casi applicativi, invece, è limitato nei suoi spostamenti tramite la presenza di vincoli. Quest’ultimi interagiscono con il corpo attraverso reazioni vincolari che sottraggono gradi di libertà.\\
Esempi di vincolo nel piano sono: 
  * **Cerniera**: Vincolo doppio che impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo una qualsiasi direzione del piano del problema, consentendo la rotazione;
  * **Incastro**: Vincolo triplo che limita tutti i possibili moti del punto vincolato;
  * ** Carrello**: Vincolo semplice che impedisce lo spostamento lungo l’asse del carrello;\\
Altri tipologie di vincolo possono essere ottenute tramite la combinazione di quest’ultimi (doppio pendolo, biella, ecc.).\\
Un solido vincolato subisce forze e momenti dall’esterno e ristabilisce l’equilibrio in ogni sezione grazie alla nascita di reazioni interne. Tali reazioni si dividono in:\\
    * **Sforzo normale**: Componente risultante esercitata lungo l’asse z, solitamente scelto come asse longitudinale della trave;
    * **Taglio**: Componente ortogonale all’asse baricentrico;
    * **Momento flettente**: Momento applicato con direzione ortogonale all’asse della trave;
    * **Momento torcente**: Momento applicato con direzione parallela all’asse della trave;
La distribuzione di queste sollecitazioni sulle sezioni causa uno stato tensionale responsabile di deformazioni ed eventuali rotture.
Le caratteristiche delle sollecitazioni sono indipendenti dalla sezione e dal materiale, se la struttura è isostatica ossia i gradi di vincolo coincidono con i gradi di libertà.
 Consideriamo il seguente esempio: \\
{{ :playground:trave_3d.png|}}




Per risolvere la struttura in figura si inizia imponendo l'equilibrio alla traslazione e alla rotazione nei sei possibili gradi di libertà dello spazio; in particolare si ha che all'incastro sono presenti tre forze dirette lungo gli assi: X<sub>A</sub>,Y<sub>A</sub>,Z<sub>A</sub> quindi:

$$


\left\{\begin{matrix}
 &X_{A} = 0  & \\ 
 &Y_{A}+P=0  & \\ 
 &Z_{A}=0  & 
\end{matrix}\right.


$$\\
da cui ricaviamo Y<sub>A</sub>=-P.\\
Allo stesso modo all'incastro sono applicati anche tre momenti resistenti attorno agli assi coordinati, M<sub>x</sub>,M<sub>y</sub>,M<sub>z</sub> e, come sopra, imponiamo l'equilibrio alla rotazione, scegliendo un generico punto, nel nostro caso A, per cui otteniamo:\\
$$
\left\{\begin{matrix}
 &P\cdot c \ + M_{x} = 0  & \\ 
 &M_{y}=0  & \\ 
 &P\cdot a \ + M_{z} = 0  & 
\end{matrix}\right. 

$$
da cui ricaviamo i valori: \\
$$
-P\cdot c = M_{x}
$$
$$ 
-P\cdot a  = M_{z}

$$
a questo punto la struttura può dirsi in equilibrio.\\


{{ :playground:diagrammi_sollecitazione.png |{{ :playground:diagrammi_sollecitazione.png?200 |}}
**Controlla fibre tese Mf!!**

Per determinare le sollecitazioni interne, prendiamo in considerazione il tratto 3 di trave, su cui agisce il carico P; esso provoca uno sforzo di taglio negativo di entità P e un momento flettente che agisce attorno all'asse x, crescente lungo l'asse della trave e di valore massimo pari a P⋅c, che raggiunge all'intersezione con la trave 2 (punto C).\\
Consideriamo, ora, il secondo tratto di trave: su di esso si scarica il momento flettente di cui sopra, P⋅c, il quale resta costante lungo tutta la lunghezza b della trave; inoltre anche il carico P si scarica sotto forma di sforzo normale trattivo e dunque positivo, di entità P. \\
Per quanto riguarda la trave 1, su di essa il momento flettente P⋅c diventa torcente perché applicato attorno all'asse x e come tale resta costante lungo tutta la lunghezza a per poi annullarsi in corrispondenza dell'incastro (punto A), laddove è presente la reazione M<sub>x</sub>, uguale e opposta.\\
D'altra parte il carico P, pensato applicato all'estremità B della trave 1, genera un momento flettente attorno a z, crescente lungo la stessa fino al valore P⋅a che si ottiene all'incastro, dove anch'esso viene bilanciato dal momento M<sub>z</sub> ivi presente. La forza P, inoltre, produce un taglio costante, di entità -P, che in presenza del vincolo viene eliminato dalla reazione Y<sub>A</sub>.\\
Nelle figure seguenti è possibile notare l'andamento delle sollecitazioni interne lungo la :
\\ \\
===== Telaietto =====

Dato il seguente telaio semplificato, è definito il sistema di riferimento considerando come asse strada, l’asse X, asse Y parallelo al piano stradale e asse Z ortogonale ai precedenti. \\
{{ :playground:telaio.png |immagine}}\\
Tale sistema è labile nello spazio in quanto i vincoli eliminano 3 gradi di libertà rispetto i 6 totali poiché ogni carrello impedisce solo il moto lungo l’asse Z.\\
Dal punto di vista delle sollecitazioni indotte nel materiale ciò è irrilevante perché non vi sono carichi nelle direzioni di possibile moto.\\
Al fine di rendere tale struttura isostatica è possibile introdurre una cerniera in qualsiasi punto in modo da impedire i moti liberi (traslazione in x, y e rotazione intorno all’asse z), tuttavia tale vincolo non introduce alcuna reazione vincolare rispetto la situazione precedente; risulterebbe scarico in quanto lungo quelle direzioni non ci sono carichi applicati da indurre spostamenti.\\
Attraverso considerazioni di equilibrio alla rotazione, è possibile ricavare le reazioni vincolari lungo Z; per equilibrio attorno alla diagonale AC la reazione vincolare nel nodo B è pari in modulo e verso del carico P. Per medesime considerazioni di equilibrio lungo il segmento CD la reazione vincolare nel nodo C ha modulo pari a P e verso opposto al carico applicato. Per concludere l’analisi statica la reazione vincolare nel nodo A ha modulo pari a al carico e verso opposto.\\
La struttura è geometricamente simmetrica ma la distribuzione dei vincoli non lo è, tuttavia sostituendo a quest’ultimi le rispettive reazioni vincolari la distribuzione dei carichi risulta antisimmetrica.\\
L’antisimmetria può essere definita a partire dal concetto di simmetria; invertendo forze e momenti da un solo lato del piano di simmetria di una struttura antisimmetrica, questa diventa simmetrica. \\
Riferendosi al problema in questione la struttura presenta 3 piani di antisimmetria rispetto la distribuzione dei carichi di cui XZ perpendicolare all’asse Y, XY perpendicolare all’asse Z e il piano ZY ortogonale all’asse X.\\
In presenza di antisimmetria posso studiare parte della struttura perché il resto sarà derivabile tramite le regole dell’antissimetria.\\
Tagliando la struttura è possibile sostituire ad una delle due parti dei vincoli i quali eviteranno spostamenti o/e rotazioni incompatibili con la presenza della porzione di corpo mancante.\\ \\

**Regole di sostituzione dei vincoli**:\\
Gli spostamenti consentiti per figure attraversate da un piano di simmetria o di anti-simmetria sono tutti quelli che non comportano una separazione o compenetrazione tra le parti in cui è divisa la struttura, ossia lasciano in contatto i punti che lo erano precedentemente. Immaginiamo una trave tagliata da un piano di simmetria o antisimmetria //x,y// con normale //z// e consideriamo i diversi spostamenti a cui è soggetta la superficie di contatto: \\ \\
**Traslazione lungo l'asse z, normale al piano**:\\
Per una struttura simmetrica, tale spostamento comporta la separazione tra le parti della trave, che risulterebbe soggetta a due forze di verso opposto, pertanto non è consentito; viceversa per una struttura antisimmetrica, la traslazione è ammessa in quanto le due parti della trave sono, soggette a forze nello stesso verso.\\ \\
**Traslazione lungo l'asse y, giacente sul piano**:\\
Per una struttura simmetrica lo spostamento di una parte in direzione y comporta uno spostamento nello stesso verso della parte restante, pertanto tale movimento è consentito; viceversa, per una struttura antisimmetrica, lo spostamento di cui sopra comporterebbe una traslazione in verso opposto tra le parti, quindi non è ammesso.\\ \\
**Traslazione lungo l'asse x, giacente sul piano**:\\
Analogamente al caso precedente, per una struttura simmetrica a uno spostamento in direzione x corrisponde un movimento nello stesso verso delle parti, dunque è ammesso; d'altro canto per una struttura antisimmetrica, tale movimento non è consentito poiché comporta uno scostamento in versi opposti delle due metà, con evidente separazione del materiale.\\ \\
**Rotazione attorno all'asse z, normale al piano**:\\
Tale rotazione, per una struttura simmetrica, é consentita, in quanto le due parti ruoterebbero nello stesso verso; viceversa questa rotazione non è ammessa nel caso di travi antisimmetriche.\\ \\
**Rotazione attorno all'asse y, giacente sul piano**:\\
Per una struttura simmetrica un simile movimento non è consentito perché i due tronconi in cui è divisa la trave ruoterebbero in versi opposti con conseguente rottura della trave originaria; per strutture antisimmetriche, invece, è uno spostamento ammesso.\\ \\
**Rotazione attorno all'asse x, giacente sul piano**:\\
Una rotazione attorno all'asse x comporta, per la struttura simmetrica, contemporaneamente una compenetrazione e un distacco delle superfici originariamente a contatto e dunque risulta non essere consentito; nel caso di una struttura antisimmetrica, tale rotazione è ammessa, poiché le due parti ruotano nello stesso verso.\\ 

Con riferimento alla tabella di figura, la struttura simmetrica consente traslazione lungo gli assi x e y e rotazioni attorno all'asse z; la struttura antisimmetrica, invece ha tali movimenti bloccati e viceversa consente la traslazione lungo l'asse z e le rotazioni attorno agli assi x e y. \\

{{:wikitelaio2016:simmetria_antisimmetria.png|}}

~~DISCUSSION~~