wikitelaio2016:richiami_teoria_trave
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Richiami di teoria della trave ====== | ||
+ | ===== Introduzione ===== | ||
+ | |||
+ | Si definisce “trave” un solido geometrico con una dimensione preponderante rispetto alle altre; la teoria che permette di definire lo stato tensionale della stessa, detta teoria della trave, si basa sulle seguenti ipotesi:\\ | ||
+ | * Materiale isotropo omogeneo e elastico lineare;\\ | ||
+ | * Trave in equilibrio nello spazio e in assenza di vincoli;\\ | ||
+ | * Assenza di forze di volume (in particolare la forza peso) e forze di superficie applicate soltanto alle facce estremali [σ< | ||
+ | * Sezioni piane e che restano tali;\\ | ||
+ | Il corpo così decritto presenta 6 gradi di libertà di cui tre traslazioni e tre rotazioni attorno a tre assi coordinati. Nei casi applicativi, | ||
+ | Esempi di vincolo nel piano sono: | ||
+ | * **Cerniera**: | ||
+ | * **Incastro**: | ||
+ | * ** Carrello**: Vincolo semplice che impedisce lo spostamento lungo l’asse del carrello;\\ | ||
+ | Altri tipologie di vincolo possono essere ottenute tramite la combinazione di quest’ultimi (doppio pendolo, biella, ecc.).\\ | ||
+ | Un solido vincolato subisce forze e momenti dall’esterno e ristabilisce l’equilibrio in ogni sezione grazie alla nascita di reazioni interne. Tali reazioni si dividono in:\\ | ||
+ | * **Sforzo normale**: Componente risultante esercitata lungo l’asse z, solitamente scelto come asse longitudinale della trave; | ||
+ | * **Taglio**: Componente ortogonale all’asse baricentrico; | ||
+ | * **Momento flettente**: | ||
+ | * **Momento torcente**: Momento applicato con direzione parallela all’asse della trave; | ||
+ | La distribuzione di queste sollecitazioni sulle sezioni causa uno stato tensionale responsabile di deformazioni ed eventuali rotture. | ||
+ | Le caratteristiche delle sollecitazioni sono indipendenti dalla sezione e dal materiale, se la struttura è isostatica ossia i gradi di vincolo coincidono con i gradi di libertà. | ||
+ | | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Per risolvere la struttura in figura si inizia imponendo l' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$\\ | ||
+ | da cui ricaviamo Y< | ||
+ | Allo stesso modo all' | ||
+ | $$ | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | da cui ricaviamo i valori: \\ | ||
+ | $$ | ||
+ | -P\cdot c = M_{x} | ||
+ | $$ | ||
+ | $$ | ||
+ | -P\cdot a = M_{z} | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | a questo punto la struttura può dirsi in equilibrio.\\ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | **Controlla fibre tese Mf!!** | ||
+ | |||
+ | Per determinare le sollecitazioni interne, prendiamo in considerazione il tratto 3 di trave, su cui agisce il carico P; esso provoca uno sforzo di taglio negativo di entità P e un momento flettente che agisce attorno all' | ||
+ | Consideriamo, | ||
+ | Per quanto riguarda la trave 1, su di essa il momento flettente P⋅c diventa torcente perché applicato attorno all' | ||
+ | D' | ||
+ | Nelle figure seguenti è possibile notare l' | ||
+ | \\ \\ | ||
+ | ===== Telaietto ===== | ||
+ | |||
+ | Dato il seguente telaio semplificato, | ||
+ | {{ : | ||
+ | Tale sistema è labile nello spazio in quanto i vincoli eliminano 3 gradi di libertà rispetto i 6 totali poiché ogni carrello impedisce solo il moto lungo l’asse Z.\\ | ||
+ | Dal punto di vista delle sollecitazioni indotte nel materiale ciò è irrilevante perché non vi sono carichi nelle direzioni di possibile moto.\\ | ||
+ | Al fine di rendere tale struttura isostatica è possibile introdurre una cerniera in qualsiasi punto in modo da impedire i moti liberi (traslazione in x, y e rotazione intorno all’asse z), tuttavia tale vincolo non introduce alcuna reazione vincolare rispetto la situazione precedente; risulterebbe scarico in quanto lungo quelle direzioni non ci sono carichi applicati da indurre spostamenti.\\ | ||
+ | Attraverso considerazioni di equilibrio alla rotazione, è possibile ricavare le reazioni vincolari lungo Z; per equilibrio attorno alla diagonale AC la reazione vincolare nel nodo B è pari in modulo e verso del carico P. Per medesime considerazioni di equilibrio lungo il segmento CD la reazione vincolare nel nodo C ha modulo pari a P e verso opposto al carico applicato. Per concludere l’analisi statica la reazione vincolare nel nodo A ha modulo pari a al carico e verso opposto.\\ | ||
+ | La struttura è geometricamente simmetrica ma la distribuzione dei vincoli non lo è, tuttavia sostituendo a quest’ultimi le rispettive reazioni vincolari la distribuzione dei carichi risulta antisimmetrica.\\ | ||
+ | L’antisimmetria può essere definita a partire dal concetto di simmetria; invertendo forze e momenti da un solo lato del piano di simmetria di una struttura antisimmetrica, | ||
+ | Riferendosi al problema in questione la struttura presenta 3 piani di antisimmetria rispetto la distribuzione dei carichi di cui XZ perpendicolare all’asse Y, XY perpendicolare all’asse Z e il piano ZY ortogonale all’asse X.\\ | ||
+ | In presenza di antisimmetria posso studiare parte della struttura perché il resto sarà derivabile tramite le regole dell’antissimetria.\\ | ||
+ | Tagliando la struttura è possibile sostituire ad una delle due parti dei vincoli i quali eviteranno spostamenti o/e rotazioni incompatibili con la presenza della porzione di corpo mancante.\\ \\ | ||
+ | |||
+ | **Regole di sostituzione dei vincoli**: | ||
+ | Gli spostamenti consentiti per figure attraversate da un piano di simmetria o di anti-simmetria sono tutti quelli che non comportano una separazione o compenetrazione tra le parti in cui è divisa la struttura, ossia lasciano in contatto i punti che lo erano precedentemente. Immaginiamo una trave tagliata da un piano di simmetria o antisimmetria //x,y// con normale //z// e consideriamo i diversi spostamenti a cui è soggetta la superficie di contatto: \\ \\ | ||
+ | **Traslazione lungo l'asse z, normale al piano**:\\ | ||
+ | Per una struttura simmetrica, tale spostamento comporta la separazione tra le parti della trave, che risulterebbe soggetta a due forze di verso opposto, pertanto non è consentito; viceversa per una struttura antisimmetrica, | ||
+ | **Traslazione lungo l'asse y, giacente sul piano**:\\ | ||
+ | Per una struttura simmetrica lo spostamento di una parte in direzione y comporta uno spostamento nello stesso verso della parte restante, pertanto tale movimento è consentito; viceversa, per una struttura antisimmetrica, | ||
+ | **Traslazione lungo l'asse x, giacente sul piano**:\\ | ||
+ | Analogamente al caso precedente, per una struttura simmetrica a uno spostamento in direzione x corrisponde un movimento nello stesso verso delle parti, dunque è ammesso; d' | ||
+ | **Rotazione attorno all' | ||
+ | Tale rotazione, per una struttura simmetrica, é consentita, in quanto le due parti ruoterebbero nello stesso verso; viceversa questa rotazione non è ammessa nel caso di travi antisimmetriche.\\ \\ | ||
+ | **Rotazione attorno all' | ||
+ | Per una struttura simmetrica un simile movimento non è consentito perché i due tronconi in cui è divisa la trave ruoterebbero in versi opposti con conseguente rottura della trave originaria; per strutture antisimmetriche, | ||
+ | **Rotazione attorno all' | ||
+ | Una rotazione attorno all' | ||
+ | |||
+ | Con riferimento alla tabella di figura, la struttura simmetrica consente traslazione lungo gli assi x e y e rotazioni attorno all' | ||
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+ | {{: | ||
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+ | ~~DISCUSSION~~ |