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| | Pesi e punti di campionamento quadratura gaussiana a 2 punti |
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| | {{:wikitelaio2016:quadratura_gaussiana_svolta_in_aula.wxmx|wxmx}} |
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| | ====== QUADRILATERO ISOPARAMETRICO 4 NODI (PARTE 2) ====== |
| | $ U=\frac{1}{2}\delta^{T}[t\iint_{a}B^{T}(\xi,\eta)DB(\xi,\eta)]\delta $ \\ \\ |
| | $ K=t\iint_{-1}^{1}B^{T}(\xi,\eta)DB(\xi,\eta)\left | J(\xi,\eta) \right |d\xi d\eta $ \\ \\ |
| | Questo integrale fornisce la matrice di rigidezza. |
| | Dobbiamo integrare : \\ \\ |
| | $ \iint_{-1}^{1}F(\xi,\eta)d\xi d\eta=K $ con: \\ \\ $ F(\xi,\eta)=B^{T}(\xi,\eta)DB(\xi,\eta)\left | J(\xi,\eta) \right | $ \\ \\ |
| | L’integrale non si svolge in forma esatta; si utilizza una formula di stima: $ \int_{-1}^{1}g(\zeta)d\zeta $ \\ \\ E’ usata per elementi non distorti,cioè con $ \left | J(\xi,\eta) \right |=cost $ \\ |
| | ===== PROCEDURA DI QUADRATURA GAUSSIANA ===== |
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| | Prevede il campionamento della funzione in un numero finito di punti. Questa procedura è esatta per alcune famiglie di funzioni; nel nostro caso è esatta per i polinomi: \\ \\ |
| | $ quad=\sum_{i=1}^{N}w_{i}F(\zeta_{i})\simeq \int_{-1}^{1}g(\zeta)d\zeta $ \\ \\ dove $w_{i}$ sono i pesi, N è un numero di punti a piacere e $F(\zeta_{i})$ è il campionamento specifico della funzione nel punto i. \\ \\ |
| | Per **N=2** si ha $ quad=w_{1}F(\zeta_{1})+w_{2}F(\zeta_{2}) $ \\ \\ |
| | Definita questa formula rimangono 4 gradi di libertà $(w_{1},w_{2},\zeta_{1},\zeta_{2})$. Per definire i 4 gradi di libertà, dobbiamo dunque trovare un ordine di polinomio con 4 parametri indipendenti. Il polinomio con 4 parametri indipendenti è il polinomio di terzo grado:\\ \\ $ a+b\zeta+c\zeta^{2}+d\zeta^{3} $ \\ \\ |
| | {{ :wikitelaio2016:cattura3.png |}} \\ {{ :wikitelaio2016:cattura4.png |}} \\ |
| | Dopo aver svolto l’integrale esatto e la quadratura gaussiana a 2 punti di campionamento, si calcola il residuo, cioè la differenza tra i risultati dei due metodi. Il residuo deve essere nullo per ogni a,b,c,d, cioè per ogni polinomio di 3° grado. Il residuo, se è nullo per ogni a,b,c,d, deve essere almeno costante per ogni valore dei parametri indipendenti, in modo da avere tutte le derivate rispetto ad a,b,c,d nulle. Quindi è stata definita una lista di 4 equazioni; questo è un sistema di equazioni non lineari,che contiene anche dei termini di ordine 4. Vengono poi definite le 4 incognite, e si va a tentare la soluzione del sistema tramite il solve. Ottengo 2 soluzioni: \\ \\ $ w_{1}=1,w_{2}=1,\zeta_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\zeta_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} $ \\ |
| | $ w_{1}=1,w_{2}=1,\zeta_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}},\zeta_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}} $ \\ \\ |
| | Siccome entrambi i punti di campionamento hanno lo stesso peso, è indifferente considerare l’una o l’altra soluzione. Si va quindi a valutare il residuo nella soluzione specifica, con incognite definite come da soluzione del sistema. Si verifica che i pesi che rendono costante il residuo lo rendono anche nullo.\\ \\ |
| | $\int_{-1}^{1}g(\zeta)d\zeta=1\cdot g(-\frac{1}{\sqrt{3}})+1\cdot g(\frac{1}{\sqrt{3}})$ \\ \\ |
| | Una quadratura gaussiana di ordine 2 integra esattamente una funzione di 3° grado.\\ \\ |
| | Per **N=1** si ha $ \zeta_{1}=0,w_{1}=2 $.\\ \\ Una quadratura gaussiana di ordine 1 integra esattamente una funzione di 1° grado lineare.In generale, una quadratura gaussiana di ordine N integra esattamente una funzione di grado 2N-1. Se la funzione g non è un polinomio, il risultato della quadratura non è esatto ma approssimato.\\ |
| | Applichiamo la quadratura gaussiana al nostro caso specifico, per ricavare la matrice di rigidezza K.\\ \\ |
| | {{ :wikitelaio2016:20160418_110621.jpg?500 |}} \\ Siamo sul dominio: $\xi$ compreso tra -1 e 1, $\eta$ compreso tra -1 e 1. Comincio a svolgere l’integrale più esterno, utilizzando la regola di quadratura a 2 punti, con pesi unitari: \\ \\ |
| | $K=\iint_{-1}^{1}F(\xi,\eta)d\xi d\eta\simeq 1\cdot \int_{-1}^{1}F(\xi,-\frac{1}{\sqrt{3}})d\xi+1\cdot \int_{-1}^{1}F(\xi,\frac{1}{\sqrt{3}})d\xi$ \\ \\ Questo tipo di campionamento prevederebbe di agire solo sui punti del dominio con coordinate $\eta=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\eta=\frac{1}{\sqrt{3}}$ (due segmenti). Anche questi integrali devono essere svolti per quadratura gaussiana: \\ \\ $K\simeq1\left [ 1\cdot F(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})+1\cdot F(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})+1\cdot F(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})+1\cdot F(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}) \right ]$ \\ \\ |
| | In pratica l’ integrale è pari alla somma di queste 4 componenti, moltiplicate per peso unitario. Non vado quindi a campionare la funzione su tutto il segmento, ma solo in 4 punti, detti punti di Gauss dell’elemento isoparametrico 4 nodi. Quindi alla regola di quadratura a 2 punti corrispondono 4 punti di Gauss. \\ |
| | Apriamo una parentesi, vedendo come disegnare un elemento in coordinate $\xi$, $\eta$ sul piano fisico x,y. \\ \\ |
| | {{ :wikitelaio2016:20160418_113904.jpg?500 |}} \\ Ci si basa sul fatto che muovendosi su $\xi=cost$ e $\eta=cost$ si ha una trasformazione lineare; per cui il punto medio di un lato (luogo di punti in cui $\eta=cost$), il lato viene trasformato linearmente nel suo corrispettivo. Tutti gli elementi di centro lato dell’elemento in $\xi,\eta$ sono a centro lato anche in x,y , qualunque sia la forma dell’elemento. Se voglio trovare i punti di Gauss che avevo in $\xi,\eta$ anche in x,y ,vado a prendere i punti per i quali il rapporto di distanza è $\lambda/\sqrt{3}$ a $\lambda$. Infatti poiché il segmento viene trasformato attraverso trasformazione lineare, il rapporto $1/\sqrt{3}$ a $1$ col metà lato per identificare il punto di Gauss si mantiene anche sul segmento trasformato. A questo punto riesco a tracciare delle rette a $\xi=cost$ e $\eta=cost$. \\ |
| | {{ :wikitelaio2016:20160418_120446.jpg?500 |}} \\ Nel nostro caso specifico, la trasformazione lineare sarà: \\ \\ |
| | $ x(\xi,\eta)=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{x_{2}-x_{1}}{2}\xi $ Con nessuna dipendenza da $\eta$. \\ \\ |
| | Abbiamo che il determinante della matrice jacobiana è costante sull’elemento se x e y sono funzioni lineari di $\xi$ e $\eta$ (cioè la trasformazione $x,y-\xi,\eta$ manca del termine quadratico), per cui tutte le derivate sono costanti. \\ \\ $$ \left | J \right |=\begin{bmatrix} |
| | \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}\\ |
| | \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} |
| | \end{bmatrix} $$ \\ \\ Consideriamo lo jacobiano costante: abbiamo che il suo determinante è di ordine 0, in quanto $\xi$ ed $\eta$ compaiono nel determinante con potenze di ordine 0). \\ \\ $ F(\xi,\eta)=B^{T}(\xi,\eta)DB(\xi,\eta)\left | J(\xi,\eta) \right | $ \\ \\ $\xi$ e $\eta$ non sono nel legame costitutivo, quindi la matrice D è di ordine 0. La matrice B, così come B trasposta, ha una dipendenza di ordine $\lambda$ da $\xi$ e $\eta$, quindi la funzione è un polinomio di ordine $\lambda^{2}$ in $\xi$ ed $\eta$. Vediamo dove entra, in B, lo jacobiano: \\ \\ $B(\xi,\eta)=HJ_{inv}^{*}Q$ \\ \\ La matrice Q è di ordine lineare in $\xi$ e $\eta$, mentre la matrice H essendo formata soltanto da 0 ed 1, sarà di ordine 0. Nel caso specifico in cui il determinante della matrice jacobiana è costante, anche la matrice $J_{inv}^{*}$ è di ordine 0, quindi si avrà che $\lambda=1$. Di conseguenza tutto l’integrando è una funzione di ordine 2 in $\xi$ e $\eta$. \\ Quindi nel caso particolarissimo di elementi in cui la matrice jacobiana sia costante, per l’elemento isoparametrico a 4 nodi con la quadratura a N=2 ho una valutazione esatta della matrice di rigidezza, nell’ ipotesi ulteriore che D sia costante. Con una quadratura gaussiana a un solo punto sull’intervallo lineare ( N=1), avrei campionato l’integrale in $\xi=0$ e $\eta=0$, cioè nel centroide. Con N=1, posso calcolare in forma esatta l’integrale di funzioni lineari; ma dato che nel nostro caso l’integrando è in forma quadratica, ottengo un’ integrazione approssimata di K. La quadratura con N=2 è la minima quadratura gaussiana che dà una matrice di rigidezza esatta per l’elemento. Un campionamento a più di 2 punti di Gauss sull’intervallo avrebbe senso solo nell’ottica di lavorare con elementi distorti. \\ Di solito i codici a elementi finiti implementano gli elementi in 2 forme: \\ |
| | * Elementi implementati con la minima regola di integrazione gaussiana che dà la matrice di rigidezza esatta su elementi non distorti, cioè a Jacobiano costante (elementi full intregration). \\ |
| | * Implementano una variante dell’ elemento a integrazione approssimata (elementi reduced integration). \\ |
| | Quindi nel caso dell’ isoparametrico 4 nodi, saranno implementate le quadrature a N=2 come full integration, e a N=1 come reduced integration. \\ |
| | Vediamo un problema degli elementi sottointegrati, in particolare per quadratura a N=1. Essendo lo stato deformativo campionato solo al centroide, tutti i moti dell’ elemento che non deformano il centroide sono moti in cui $\epsilon=0$ . Se campiono $\sigma$ ed $\epsilon$ solo al centroide, tutti i moti che non deformano il centroide sono moti in cui l’ integrando è nullo, quindi sono moti a cui non è associata energia potenziale elastica. \\ \\ {{ :wikitelaio2016:20160418_140903.jpg?500 |}} \\ |
| | Vediamo ad esempio una deformazione trapezia dell’ isoparametrico 4 nodi. Questa deformazione definisce un campo degli spostamenti, che derivando in x e y dà il campo delle deformazioni. Ho un segmento orizzontale in cui $\epsilon_{x}=0$. Ho un segmento verticale in cui $\epsilon_{y}=0$; inoltre ho che la deformazione è simmetrica rispetto ad un asse, per cui la componente antisimmetrica $\gamma_{xy}=0$. Quindi il centroide, con questo tipo di deformazione dell’elemento, è del tutto in deformato. Quindi dato che questo quadratino è rappresentativo di tutto l’elemento, a quel moto deformativo dell’ elemento non è associata in nessun punto dell’elemento campionato una deformazione (quindi nemmeno una tensione se la legge è lineare). Di conseguenza non avrà energia potenziale elastica associata. Questo moto sarà del tutto equivalente energeticamente ad un moto di corpo rigido. \\ \\ |
| | {{ :wikitelaio2016:20160418_143254.jpg?500 |}} \\ Se una mesh con questo tipo di elementi è costante, ogni elemento si trasforma trapezoidalmente con continuità insieme agli altri. Questo moto (detto moto a clessidra) è equivalente energeticamente ad un moto di corpo rigido,se l’ elemento è a tecnologia sottointegrata. Se campionassi la matrice di rigidezza a N=2, i 4 punti, sotto quel campo di spostamenti, si deformano. \\ |
| | Gli elementi sottointegrati sono utili per vari motivi: avendo un solo punto di campionamento, il costo computazionale è inferiore rispetto ad una quadratura a N maggiore. Inoltre, sempre per il fatto di avere 1 solo punto di campionamento, avremo che l’elemento o è tutto elastico o tutto snervato (non si avrà mai un legame costitutivo elstico-lineare, più complicato). \\ |
| | Abbiamo quindi definito la procedura per il calcolo della matrice di rigidezza per un elemento isoparametrico 4 nodi. Se lo Jacobiano non fosse uniforme, abbiamo che (nel caso ad esempio di una matrice quadrata): \\ \\ |
| | $$ J^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} |
| | d & -b \\ |
| | c & a |
| | \end{bmatrix} $$ \\ \\ $(ad-bc)$ è un termine di ordine 2 in $\xi$ e $\eta$ (perché a, b, c, d possono essere lineari in $\xi$ e $\eta$). $J^{-1}$ è una funzione razionale fratta, mi aspetto che il denominatore arrivi ad avere una frazione di ordine 4 nella complessità del sistema, il che lo rende difficilmente gestibile con integrazione esatta. |
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| | ===== RIDUZIONE DEI CARICHI DISTRIBUITI A CARICHI CONCENTRATI NODALI ===== |
| | Possiamo considerare un elemento triangolare a tre nodi //i, j, k//, o equivalentemente un elemento a quattro nodi //i, j, k, l//. |
| | {{ :wikitelaio2016:quadrilatero.jpg?500 |}} |
| | Di solito viene fatta un'analisi energetica per la riduzione di carichi di volume o di superficie. Supponiamo di avere dei carichi per unità di volume (nelle nostre trattazioni ci siamo sempre riferiti ad elementi piani, ma ricordiamoci che avranno anche uno spessore tale che il volume è $dV=t \: dA$), di componenti //q<sub>x</sub>// e //q<sub>y</sub>// [N/mm^3] rispettivamente in direzione x e y; tali possono essere dovuti al peso proprio, a forze inerziali, centrifughe ecc... Possiamo avere inoltre dei carichi distibuiti sulla superficie dell'elemento (negli elementi presi in considerazione $dA=dl \: t$ dove //dl// è il tratto infinitesimo che collega due nodi), che posso scomporre in componenti //S<sub>x</sub>// e //S<sub>y</sub>// [N/mm^2]; tale scomposizione può essere fatta anzichè sugli assi di riferimento globali, sulla direzione normale e tangenziale della linea dell'elemento locale (in 2D ho solo una direzione tangenziale, in 3D ne ho due). |
| | {{ :wikitelaio2016:sx.jpg?500 |}} |
| | Supponiamo che siano applicate //S<sub>x</sub>//, //S<sub>y</sub>//, //q<sub>x</sub>// e //q<sub>y</sub>// che possono essere costanti oppure una funzione di x e y (esempio della pressione idrostatica agente sulla diga che aumenta linearmente con la profondità, oppure la farfalla tensionale di un elemento soggetto a momento flettente che varia linearmente lungo la sezione). Le equazioni di equilibrio sono sempre riferite a forze concentrate; dunque, come ridurre sui tre o quattro nodi le forze distribuite con forze nodali equivalenti __F__? Questo vettore __F__ ha una componente per ogni g.d.l. dell'elemento, quindi in realtà più che forze nodali sono forze base-grado di libertà. Mi aspetto che i carichi distribuiti lungo //x// diano una componente delle forze nodali lungo //x//, e lo stesso per //y//.\\ |
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| | Si potrebbe tentare di definire i carichi nodali equivalenti sulla base di condizioni di equilibrio alle forze e ai momenti; tuttavia il numero di equazioni può non coincidere con il numero di azioni incognite sui g.d.l. nodali, o in alternativa tali equazioni possono risultare non indipendenti. |
| | Tento allora un approccio diverso. |
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| | Definisco quindi tale 'Equivalenza' su base energetica, ossia preso un qualsiasi moto (rototraslatorio o deformativo) dell'elemento compatibile con le funzioni di forma (ad esempio in un iso4 i lati devono rimanere rettilinei), il lavoro svolto su questo moto dalle forze distribuite deve essere pari a quello delle forze concentrate equivalenti nodali. |
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| | Risulterà che quel sistema di forze distribuite e concentrate avranno pari risultante e pari momento risultante? Certamente sì, perchè la risultante delle forze in //x// compie lavoro in direzione //x//, lo stesso per //y//, e per i momenti sulle rotazioni, pertanto dalle considerazioni di equivalenza energetica le risultanti devono essere le stesse perchè altrimenti il lavoro differirebbe.\\ |
| | Introduciamo il concetto di 'qualunque possibile deformazione'. Tali deformazioni devono soddisfare certi vincoli, per esempio $U (\xi,\eta )$ e $V (\xi,\eta)$ devono rispettare i vincoli determinati dalla cinematica interna dell'elemento, cioè tali spostamenti devono essere ricavabili dalle funzioni di forma dell'elemento. Per esempio sarà per un elemento quadrilatero 4 nodi: $$\begin{bmatrix} |
| | U (\xi,\eta)\\ |
| | V (\xi,\eta) |
| | \end{bmatrix}= |
| | \begin{bmatrix} |
| | N_i & 0 & N_j & 0 & N_k & 0 & N_l & 0\\ |
| | 0 & N_i & 0 & N_j & 0 & N_k & 0 & N_l |
| | \end{bmatrix} |
| | \begin{bmatrix} |
| | u_i\\ |
| | v_i\\ |
| | u_j\\ |
| | v_j\\ |
| | u_k\\ |
| | v_k\\ |
| | u_l\\ |
| | v_l |
| | \end{bmatrix}$$. Definisco il vettore colonna degli spostamenti nodali come //d// (otto elementi per 4 nodi, sei per i 3 nodi), e contiene i gradi di libertà dei nodi. La matrice centrale invece la definisco //N//, dove le N sono le funzioni di forma, funzioni di ξ ed η.\\ |
| | Pertanto la relazione scritta sopra è: $$\underline{U}=\underline{\underline{N}} (\xi,\eta) \underline{d}$$ |
| | == Funzioni di forma per elementi triangolari a tre nodi == |
| | Esse sono funzioni lineari sull'elemento, valgono 1 sui nodi cui sono associati, e 0 sugli altri. Definizione sostanzialmente geometrica: se prendo un punto di coordinate //(x,y)//, e costruisco tre aree unendo tale punto con i nodi (regola di interpolazione su domini triangolari), definisco //A<sub>i</sub>// l'area che non tocca il nodo //i// (cioè è opposta ad esso); //A<sub>i</sub>// è una funzione di //x// e //y//, e le altre due aree vengono chiamate //a<sub>j</sub>// e //a<sub>k</sub>// anch'esse funzioni di //x// e //y//. |
| | {{ :wikitelaio2016:aree.jpg?600 |}} |
| | La funzione di forma di forma associata al nodo //i// è definita come: |
| | >$N_i=(A_i)/a_{tot}$ |
| | E così definisco anche le altre due funzioni di forma: |
| | >$N_j=(A_j)/a_{tot}$ |
| | >$N_i=(A_k)/a_{tot}$ |
| | Se il punto si avvicina al nodo //i//, allora l'area //A<sub>i</sub>// tende ad 1, se si allontana andando verso uno qualsiasi degli altri due nodi va a 0.\\ |
| | A questo punto utilizzo la regola del determinante per la determinazione dell'area //A<sub>i</sub>//: |
| | $$A_i = \begin{vmatrix} |
| | 1 & 1 & 1 \\ |
| | x & x_j & x_k \\ |
| | y & y_j & y_k |
| | \end{vmatrix} \frac{1}{2!} |
| | $$ |
| | Ottengo termini lineari in //x// e //y// in quanto non sono presenti contemporaneamente in nessun addendo del determinante, e si può affermare pertanto che l'area è lineare rispetto ad //x// e //y//. Con tali determinanti abbiamo trovato le funzioni di forma per l'elemento triangolare. Dunque lo spostamento //U// di un generico punto all'interno dell'elemento sarà dato dall'interpolazione lineare: |
| | $$U(x,y)=u_iN_i(x,y)+u_jN_j(x,y)+u_kN_k(x,y)$$ |
| | === Determinazione delle forze concentrate equivalenti === |
| | Le funzioni di forma servono per descrivere una famiglia di spostamenti che le rispettano, che sono quelli ottenibili dal prodotto $\underline{U}=\underline{\underline{N}} (\xi,\eta) \underline{d}$.\\ |
| | L'equivalenza energetica non deve valere per un generico spostamento, ma solo quelli che sono esprimibili per mezzo della formula sopra.\\ |
| | Si passa al calcolo del lavoro fatto dalle forze di volume //q<sub>x</sub>// e //q<sub>y</sub>// per unità di volume: |
| | $$\begin{bmatrix} |
| | q_x\\ |
| | q_y |
| | \end{bmatrix}^T |
| | \underline{U}(\xi,\eta)dV\; \rightarrow\; |
| | (q_xu(\xi,\eta)+q_yv(\xi,\eta))dV |
| | $$ |
| | Adesso integro sull'intero volume: |
| | $$ |
| | W_q = \int \int \int_V \begin{bmatrix} |
| | q_x\\ |
| | q_y |
| | \end{bmatrix}^T |
| | \underline{U}(\xi,\eta)dV |
| | = |
| | \int \int \int_V \begin{bmatrix} |
| | q_x & q_y |
| | \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}( \xi ,\eta)\underline{d}dV |
| | $$ |
| | Il vettore degli spostamenti nodali è una costante nell'integrale (non variano al variare del punto considerato all'interno dell'elemento). |
| | Per cui: |
| | $$ |
| | W_q =( \int \int \int_V \begin{bmatrix} |
| | q_x & q_y |
| | \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}( \xi ,\eta)dV)\underline{d} |
| | $$ |
| | Analogamente per le forze //S//, integrando sulla superficie dell'elemento otteniamo: |
| | $$ |
| | W_s=(\int \int _S\begin{bmatrix} |
| | S_x & S_y |
| | \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}( \xi ,\eta)dS)\underline{d} |
| | $$ |
| | In realtà si potrebbe pensare come integrale di linea piuttosto che come integrale di superficie per elementi bidimensionali, moltiplicandolo per lo spessore t costante.\\ |
| | Il lavoro delle forze concentrate equivalenti sugli stessi spostamenti __d__ è semplicemente il vettore: |
| | $$ |
| | W_F=\underline{F}^T\underline{d}=[F_{xi},F_{yi},F_{xj},F_{yj},F_{xk},F_{yk},F_{xl},F_{yl}]\underline{d} |
| | $$ |
| | Eguagliando, noto che ambo i membri moltiplicano il vettore __d__, per cui avrò: |
| | $$ |
| | \underline{F}^T= |
| | \int \int _S\begin{bmatrix} |
| | S_x & S_y |
| | \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}( \xi ,\eta)dS + |
| | \int \int \int_V \begin{bmatrix} |
| | q_x & q_y |
| | \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}( \xi ,\eta)dV |
| | $$ |
| | $$ |
| | W_F=W_q+W_s\; \; \; \forall d |
| | $$ |
| | Dunque il passaggio da forze distribuite a forze nodali si ha per le funzioni di forma associate ad ogni nodo. |
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| | ====Autori==== |
| | Fabio Mortellaro , Carlo Laurino , |
| | |
| | ====Tabella di monitoraggio carico orario==== |
| | <hidden> |
| | Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. |
| | |
| | ^ Autore/Revisore ^ Prima stesura ^ Prima revisione ^ Seconda stesura ^ Revisione finale ^ Totale ^ |
| | | Mortellaro | 4 | --- | --- | --- | --- | |
| | | Laurino | 4 | --- | --- | --- | --- | |
| | | Mucilli | 5 | --- | --- | --- | --- | |
| | | Autore 4 | - | --- | --- | --- | --- | |
| | | Revisore 1 | --- | --- | --- | --- | --- | |
| | | Revisore 2 | --- | --- | --- | --- | --- | |
| | | Revisore 3 | --- | --- | --- | --- | --- | |
| | | Revisore 4 | --- | --- | --- | --- | --- | |
| | | **Totale** | --- | --- | --- | --- | --- | |
| | |
| | La sezione relativa ai revisori è da compilarsi a cura del curatore. |
| | </hidden> |
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| | |
| | {{:wikitelaio2016:10.2_quadratura_gaussiana.pdf|INTEGRAZIONE QUADRATURA GAUSSIANA SECONDO REVISORE 1}} |
| | |
| | ~~DISCUSSION~~ |
