Carico nodale equivalente
Sia dato un carico distribuito di volume in componenti $q_x,q_y$ applicato ai punti interni di un elemento triangolare CST.
Ai lati dello stesso elemento sono applicate delle azioni distribuite di superficie $s_x, s_y$, eventualmente definite in termini di una pressione distribuita $p$ e di un'azione tangenziale $q$ e successivamente ridotte a componenti secondo il sistema globale. Tali azioni possono variare nello spazio $(x,y)$ e nel tempo $t$.
Si ammette inoltre la presenza di carichi esterni concentrati
$$ \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} X_i\\ Y_i\\ X_j\\ Y_j\\ X_k\\ Y_k \end{bmatrix} $$
applicati ai vertici dell'elemento.
A fronte di uno spostamento virtuale $\delta \boldsymbol{d}$ dei nodi dell'elemento, si induce un campo di spostamenti interno $\delta \boldsymbol{u}$ pari a
$$ \underbrace{ \begin{bmatrix} \delta u (x,y)\\ \delta v (x,y) \end{bmatrix} }_{\delta \boldsymbol{u}(x,y)} = \underbrace{ \begin{bmatrix} N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 & 0 \\ 0 & N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 \end{bmatrix} }_{\boldsymbol{\mathrm{N}}(x,y)} \underbrace{ \begin{bmatrix} \delta u_i \\ \delta v_i \\ \delta u_j \\ \delta v_j \\ \delta u_k \\ \delta v_k \end{bmatrix} }_{\delta \boldsymbol{d }} $$
Il lavoro virtuale di tali azioni concentrate e distribuite è
$$ \delta W = \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} + \iint_{\mathrm{area}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_x \\ q_y \end{bmatrix} dA + \iint_{\mathrm{perim.}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \end{bmatrix} dl $$
$$ \delta W = \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} \underbrace{ \left( \boldsymbol{P} + \iint_{\mathrm{area}} \boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} q_x \\ q_y \end{bmatrix} dA + \iint_{\mathrm{perim.}}\boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \end{bmatrix} dl \right)}_{\boldsymbol{F}} $$
da cui la definizione di forze nodali equivalenti $\boldsymbol{F}$; tale equivalenza è definita in termini di egual lavoro virtuale su di uno spostamento virtuale generico.
La singola componente di $\boldsymbol{F}$ è definibile come il lavoro delle forze applicate all'elemento sul campo di spostamenti indotto da una modulazione unitaria di uno dei gradi di libertà