wikipaom2017:200.240.000
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Entrambe le parti precedenti la revisioneRevisione precedente | |||
wikipaom2017:200.240.000 [2017/05/25 19:36] – 233982 | wikipaom2017:200.240.000 [2017/06/06 09:56] (versione attuale) – 233982 | ||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Teoria delle piastre alla Kirchhoff (continuo) ====== | ||
+ | Nota: le matrici ed i vettori sono indicate rispettivamente | ||
+ | == Stato tensionale == | ||
+ | |||
+ | Fatte le dovute considerazioni ( [[wikipaom2017: | ||
+ | |||
+ | $$ \underline{\varepsilon}(x, | ||
+ | |||
+ | Vogliamo risalire allo stato tensionale. | ||
+ | Suppongo uno stato di tensione piana (vedi nota 1 a fondo pagina): | ||
+ | |||
+ | $$\sigma_{z} = 0$$ | ||
+ | |||
+ | $$\varepsilon_{z}= - \nu (\varepsilon_{x} + \varepsilon_{y})$$ | ||
+ | |||
+ | La matrice che correla lo stato tensionale e lo stato di deformazione è la matrice di legame costitutivo $\underline{\underline{D}}$. | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\sigma} = \underline{\underline{D}} \underline{\varepsilon}$$ | ||
+ | |||
+ | Per i materiaali isotropi, la formulazione della matrice di legame costitutivo è la seguente: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\underline{D}} = \frac{E}{1-\nu ^{2}} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 0 & \nu \\ | ||
+ | \nu & 1 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A questo punto, la trattazione si potrebbe biforcare in base all' | ||
+ | |||
+ | Per via generale si può quindi scrivere che: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\sigma} = \underline{\underline{D}}(z) \underline{\bar{\varepsilon}}(x, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Da qui si osserva che, se la matrice di legame costitutivo risultasse essere costante, allora anche le tensioni così come le deformazioni risultato essere lineari in z. | ||
+ | |||
+ | == Caratteristiche di sollecitazione == | ||
+ | |||
+ | Posso ricavare ora le caratteristiche di sollecitazione tramite un' | ||
+ | E' possibile classificare le sollecitazioni in due tipi: \\ | ||
+ | * Azioni membranali (compiono lavoro sugli allungamenti del piano medio) | ||
+ | * Azioni flesso-torsionali \\ | ||
+ | Per poterle analizzare è necessario introdurre il flusso degli sforzi e il flusso dei momenti: | ||
+ | |||
+ | FLUSSO DEGLI SFORZI | ||
+ | |||
+ | Corrispondono agli sforzi normali e sforzo di taglio entropiano ma definiti per unità di larghezza | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | $$q_{x} =\int_{\frac{-h}{2}+offset}^{\frac{h}{2}+offset}{\sigma_{x}dz *1}$$ | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | $$q_{y} =\int_{\frac{-h}{2}+offset}^{\frac{h}{2}+offset}{\sigma_{y}dz *1}$$ | ||
+ | |||
+ | $$q_{xy} =\int_{\frac{-h}{2}+offset}^{\frac{h}{2}+offset}{\tau_{xy}dz *1}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | FLUSSO DI MOMENTO: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | $$m_{x} =\int_{\frac{-h}{2}+offset}^{\frac{h}{2}+offset}{\sigma_{x} z dz *1 }$$ | ||
+ | |||
+ | $$m_{y} =\int_{\frac{-h}{2}+offset}^{\frac{h}{2}+offset}{\sigma_{y} z dz *1}$$ | ||
+ | |||
+ | $$m_{xy} =\int_{\frac{-h}{2}+offset}^{\frac{h}{2}+offset}{\tau_{xy} z dz *1}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ora ricaviamo da queste quantità i **momenti agenti sulle facce degli elementi della piastra, orientati secondo gli assi del sistema di riferimento**. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | $m_x=M_{xy}$ | ||
+ | |||
+ | $-m_{xy}=M_{xx}$ | ||
+ | |||
+ | $-m_y=M_{yx}$ | ||
+ | |||
+ | $m_{xy}=M_{yy}$ | ||
+ | |||
+ | Dove con M< | ||
+ | Si nota dalle figure che i contributi **M< | ||
+ | |||
+ | In modo immediato si trovano le **forze normali e taglianti**: | ||
+ | |||
+ | $q_x= N_x$ | ||
+ | |||
+ | $q_y= N_y$ | ||
+ | |||
+ | $q_{xy}= T_{xy}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | E' quindi possibile scrivere il tutto in forma matriciale ed ottenere che: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{q} = \begin{bmatrix} q_{x} \\ q_{y} \\ q_{xy} \end{bmatrix}= | ||
+ | \int_{\mathrm{spessore}}{\underline{\sigma} dz } = | ||
+ | \int_{\mathrm{spessore}}{\underline{\underline{D}}(z) \underline{\bar{\varepsilon}}(x, | ||
+ | \int_{\mathrm{spessore}}{z \underline{\underline{D}}(z) \underline{{k}}(x, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$\underline{m} = \begin{bmatrix} m_{x} \\ m_{y} \\ m_{xy} \end{bmatrix}= | ||
+ | \int_{\mathrm{spessore}}{\underline{\sigma} z dz } = | ||
+ | \int_{\mathrm{spessore}}{\underline{z \underline{D}}(z) \underline{\bar{\varepsilon}}(x, | ||
+ | \int_{\mathrm{spessore}}{z^2 \underline{\underline{D}}(z) \underline{{k}}(x, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Osservando che il vettore $\underline{\bar{\varepsilon}}(x, | ||
+ | |||
+ | $$\underline{q} = \underline{\underline{A}} {\underline{\bar{\varepsilon}}} + \underline{\underline{B}} {\underline{k}}$$ | ||
+ | |||
+ | $$\underline{m} = \underline{\underline{B^{T}}} {\underline{\bar{\varepsilon}}} + \underline{\underline{C}} {\underline{k}}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | dove la matrice: | ||
+ | |||
+ | $A$ è il contributo di $\underline{\bar{\varepsilon}}$ nel definite $\underline{q}$ | ||
+ | |||
+ | $B$ è il contributo di $\underline{k}$ nel definite $\underline{q}$ | ||
+ | |||
+ | $B^{T}$ è il contributo di $\underline{\bar{\varepsilon}}$ nel definite $\underline{m}$ | ||
+ | |||
+ | $C$ è il contributo di $\underline{k}$ nel definite $\underline{m}$ | ||
+ | |||
+ | Tali matrici mediano l' | ||
+ | |||
+ | Pertanto: | ||
+ | |||
+ | $$\begin{bmatrix} \underline{q} \\ \underline{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{A}} & \underline{\underline{B}} \\ \underline{\underline{B^{T}}} & \underline{\underline{C}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline{\bar{\varepsilon}} \\ \underline{k} \end{bmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | FACCIAMO ORA ALCUNE IPOTESI SEMPLIFICATIVE: | ||
+ | * materiale omogeneo in z (non sono presenti porzioni snervate di materiale) | ||
+ | * offset nullo | ||
+ | \\ | ||
+ | sulla base di queste avrò che: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\underline{B}} = 0 = \underline{\underline{B^{T}}}$$ | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\underline{A}} = \underline{\underline{D}} h $$ | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\underline{C}} = \underline{\underline{D}} \frac{h^3}{12} $$ | ||
+ | |||
+ | dove $h$ è lo spessore dell' | ||
+ | |||
+ | Pertanto: | ||
+ | |||
+ | $$\begin{bmatrix} \underline{q} \\ \underline{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{D}} h & 0 \\ 0 & \underline{\underline{D}} \frac{h^3}{12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline{\bar{\varepsilon}} \\ \underline{k} \end{bmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | E' importante osservare che in queste ipotesi c'è disaccoppiamento tra azioni membranali e deformazioni flessionali e tra azioni flessionali e deformazioni membranali. Pertanto in questo caso particolare non sono presenti influenze miste che invece risulterebbero esserci nel caso più generale. | ||
+ | |||
+ | Sotto le ipotesi succitate, il rapporto tra le azioni membranali e le deformazioni membranali rappresenta la rigidezza dell' | ||
+ | |||
+ | La rigidezza membranale è proporzionale allo spessore. Ciò comporta che se sollecitassi membranalmente una lamina otterrei che l' | ||
+ | |||
+ | La rigidezza flessionale invece è proporzionale al cubo dello spessore. Ciò comporta che se sollecitassi flessionalmente un corpo a parete sottile ottenendo una cedevolezza che supera il limite ammissibile di un fattore $\alpha$, allora, per rientrare nel range di accettabilità, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | OSS: Per quanto concerne lo stato tensionale, avrei che le $\underline{\sigma}$ variano in maniera inversamente proporzionale allo spessore se ho a che fare con azioni membranali, in maniera inversamente proporzionale al quadrato dello spessore se ho a che fare con azioni flessionali (c'è una elevazione al quadrato e non al cubo causa semplificazione con il braccio z nelle espressioni analitiche). Pertanto se avessi un eccesso di tensione di un fattore $\alpha$ rispetto alla tensione ammissibile, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | --- // | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Elemento piastra isoparametrico 4 nodi (element 75 in Marc) ===== | ||
+ | |||
+ | In MARC l' | ||
+ | |||
+ | Questo è un elemento 4 nodi **thick shell** (piastra alla Mindlin con deformazione tagliante inclusa) i cui g.d.l nodali sono gli spostamenti e le rotazioni implicitamente intese come quantità indipendenti. | ||
+ | Difatti si ha una interpolazione lineare per le coordinate e una bilineare sia per gli spostamenti che per le rotazioni. Dall' | ||
+ | Le deformazioni membranali sono ottenute dal campo degli spostamenti, | ||
+ | |||
+ | La geometria di base dell' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | $\underline{v1}$, | ||
+ | |||
+ | I gradi di libertà sono ${u}$, ${v}$, ${w}$, $\phi_{x}$, $\phi_{y}$, $\phi_{z}$ , dove $\phi_{z}$ non rappresenta il moto di drilling in quanto è riferito un sistema globale. | ||
+ | |||
+ | Consideriamo con: | ||
+ | |||
+ | r: le rotazioni attorno ad ${x}$; | ||
+ | |||
+ | s: le rotazioni attorno ad ${y}$. | ||
+ | |||
+ | ===== Funzioni di interpolazione nodali ===== | ||
+ | |||
+ | per $i=1\ldots4$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | N_{i}(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Interpolazione di coordinate, spostamenti, | ||
+ | $$ | ||
+ | f(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | ove $\mathrm{N}(\xi, | ||
+ | * $x_i$, $y_i$, $z_i$ coordinate nodali in un sistema di riferimento $Cxyz$ __fisico__ ma __locale__, ossia rototraslato rispetto ad un sistema $OXYZ$ globale al fine di portare la direzione $z$ locale ad essere normale all' | ||
+ | * $u_i$, $v_i$, $w_i$ spostamenti nodali rispetto agli assi $xyz$; | ||
+ | * $\theta_{x, | ||
+ | Le funzioni spostamento $u(\xi, | ||
+ | |||
+ | Operatore differenziale a partire da valori nodali $f_i$ di una funzione, $i= 1\ldots n$ con $n$ numero di nodi ovvero numero di funzioni di forma | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial f}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial f}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \eta} & | ||
+ | \end{bmatrix}^{-1} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots | ||
+ | \\ | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{Q}(\xi, | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \vdots | ||
+ | \\ | ||
+ | f_i | ||
+ | \\ | ||
+ | \vdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\mathrm{Q}(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | dove $\mathrm{Q}(\xi, | ||
+ | |||
+ | Notiamo che la matrice jacobiana può essere definita sulla base di | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots | ||
+ | \\ | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{x} | ||
+ | , \quad | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial y}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots | ||
+ | \\ | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{y} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Si può definire per blocchi | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{Q}(\xi, | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{0} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{v} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | ove $\mathrm{u}$ e $\mathrm{v}$ sono vettori colonna contenenti gli $n$ spostamenti nodali $u_i$ e $v_i$. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ==== Componenti di deformazione membranale e della curvatura ==== | ||
+ | |||
+ | Poiché le componenti membranali di deformazioni sono definite sulla base degli spostamenti al piano di riferimento abbiamo | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \bar{\epsilon}_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\epsilon}_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\gamma}_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 && 0 && 0 && 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && 0 && 0 && 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && 1 && 1 && 0 | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{H}^\prime} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{H}^\prime | ||
+ | \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{v} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Le componenti di curvatura sono invece definite sulla base delle sole rotazioni (e non delle di $w$), da cui | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \kappa_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 0 && | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && -1 && | ||
+ | \\ | ||
+ | -1 && | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{H}^{\prime\prime}} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial r}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial r}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial s}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial s}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{H}^{\prime\prime} | ||
+ | \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{r} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{s} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ==== Componenti di deformazione membranale e della curvatura ==== | ||
+ | |||
+ | Poiché le componenti membranali di deformazioni sono definite sulla base degli spostamenti al piano di riferimento abbiamo | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \bar{\epsilon}_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\epsilon}_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\gamma}_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 && 0 && 0 && 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && 0 && 0 && 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && 1 && 1 && 0 | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{H}^\prime} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{H}^\prime | ||
+ | \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{v} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Le componenti di curvatura sono invece definite sulla base delle sole rotazioni (e non delle di $w$), da cui | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \kappa_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 0 && | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && -1 && | ||
+ | \\ | ||
+ | -1 && | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{H}^{\prime\prime}} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial r}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial r}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial s}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial s}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{H}^{\prime\prime} | ||
+ | \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{r} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{s} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ==== Componenti di deformazione entro piano ==== | ||
+ | |||
+ | Nota quindi la relazione | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\epsilon}(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | valida per le componenti di deformazione entro piano al generico punto P | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\epsilon}= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \epsilon_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \epsilon_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \gamma_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | definite in funzione delle componenti (entro piano) di deformazione al punto Q, proiezione di P sul piano di riferimento ($z=0$ in Q) | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\bar{\epsilon}}= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \bar{\epsilon}_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\epsilon}_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\gamma}_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | e delle curvature locali | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\kappa}= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \kappa_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Notiamo che mancano le componenti fuori piano $\epsilon_z, | ||
+ | |||
+ | possiamo definire per blocchi (1° blocco: 3x8, 2° blocco: 3x4, 3° blocco: 3x8) una matrice $\mathrm{B}^\prime(\xi, | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Abbiamo 20 gradi di libertà in quanto non consideriamo in moto di drilling, ovvero la rotazione normale al piano di piastra. | ||
+ | |||
+ | Si noti che che il 3° blocco è scalato di per ${z}$, quindi esiste una porzione della matrice che è scalata linearmente per ${z}$ e una che invece è costante in ${z}$. | ||
+ | |||
+ | Possiamo anche scrivere: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | In questa forma si mette in evidenza la dipendenza lineare da ${z}$, utile per l' | ||
+ | |||
+ | ==== Componenti di deformazione tagliante fuori piano ==== | ||
+ | |||
+ | Le componenti di deformazione $\gamma_{yz}$ e $\gamma_{zx}$ possono essere definite sulla base dello scostamento tra le derivate in $x,y$ dello spostamento normale al piano $w$ e le componenti di rotazione $r,s$; in particolare | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \gamma_{yz}= \frac{\partial w}{\partial y} - r, \quad | ||
+ | \gamma_{zx}= \frac{\partial w}{\partial x} + s | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | da cui | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \gamma_{zx} \\ \gamma_{yz} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{Q} (\xi,\eta) \mathrm{w} | ||
+ | + | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 0 & +\mathrm{N}(\xi, | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{r} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ovvero | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \gamma_{zx} \\ \gamma_{yz} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{Q} (\xi,\eta) & | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | 0 \\-\mathrm{N}(\xi, | ||
+ | \end{matrix} & | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \mathrm{N}(\xi, | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta)} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} \\ | ||
+ | \mathrm{v} \\ | ||
+ | \mathrm{w} \\ | ||
+ | \mathrm{r} \\ | ||
+ | \mathrm{s} | ||
+ | \end{bmatrix}= \mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta) \; \mathrm{d} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | con $\mathrm{B}^{\prime\prime}$ è definita per affiancamento di 5 blocchi 2x4. | ||
+ | |||
+ | A questo punto ho che: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Ma se le ${\gamma}$ sono costanti sull' | ||
+ | Tuttavia ${\tau}$ fuori piano non possono essere costanti sull' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Nella teoria della trave o della piastra, se il materiale è uniforme, si suppone che le ${\tau}$ abbiano un andamento di tipo parabolico. | ||
+ | |||
+ | Il MARC gestisce questa cosa attraverso il parametro **TSHEAR**: | ||
+ | |||
+ | di default la distribuzione tagliante trasversa (rispetto al piano di taglio) attraverso lo spessore è costante (per le THICK SHELL). | ||
+ | |||
+ | Quindi di default il MARC considera le ${\gamma}$ in forma costante e non in continuità con il bordo libero, mentre inserendo il parametro TSHEAR inserisce una distribuzione parabolica. | ||
+ | |||
+ | Ora andiamo a scrivere l' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Sostituendo le varie definizioni: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Nel caso di piastre alla Kirchhoff è presente solo il primo integrale, mentre nel caso di piastre alla Mindlin si aggiunge anche il secondo integrale. | ||
+ | |||
+ | A questo punto, dall' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | da cui la matrice di rigidezza: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | Per tale motivo l' | ||
+ | |||
+ | === Regola di Simpson === | ||
+ | |||
+ | La regola di Simpson prevede di campionare gli stress in 3 punti (TOP, BOTTOM e ad un punto mediano): | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Da questi 3 punti si ricava una parabola e e si chiama " | ||
+ | |||
+ | Per problemi lineari si può utilizzare la regola di Simpson a un punto interno (3 in totale: uno mediano e due sulle superfici), mentre per casi non lineari i punti di campionamento possono essere anche 7 o 11. | ||
+ | |||
+ | Per quanto riguarda l' | ||
+ | |||
+ | Per essere più precisi i punti di integrazione possiamo immaginarli come i seguenti: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Il contributo legato alle deformazioni fuori piano (presente solo nel caso di piastre alla Mindlin) potrebbe essere svolto in maniera diversa in quanto presenta il problema dello **Shear Locking**. | ||
+ | |||
+ | Lo Shear Locking deriva dal fatto che quello che dovrebbe essere uno stato di curvatura uniforme viene in realtà rappresentato con una deformazione trapezia. La deformazione trapezia, in corrispondenza dei 2 punti di Guass (se ne uso 2 per asse), mi dà una deformazione tagliante spuria che in quella esatta non è presente. | ||
+ | |||
+ | Una delle gestioni tipiche del problema dello shear locking è andare a campionare le deformazioni taglianti nel singolo punto di Gauss invece che ai 2 classici, in questo modo quel punto di Gauss finisce in punto che a curvatura uniforme vede una ${\gamma}$ nulla. | ||
+ | Campionare in un solo punto di Gauss per asse vuol dire utilizzare un punto in meno per asse di quelli necessari per avere soluzione esatta nel caso di Jacobiano uniforme. | ||
+ | |||
+ | Integrando a un solo punto di Gauss per asse invece che a due si risolve il problema dello Shear Locking. Per tale motivo nei FEM lineari si sceglie di implementare il calcolo della matrice di rigidezza andando a svolgere un integrale nei 4 punti di Gauss e l' | ||
+ | |||
+ | In questo modo si ha un sistema sottointegrato che non soffre del problema dello Shear Locking. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | --- // | ||
+ | |||
+ | ===== Modi di deformazione elementari di un elemento piastra alla Mindlin ===== | ||
+ | |||
+ | Fino ad ora l' | ||
+ | |||
+ | Quando però esprimo tutto in termini di coordinate globali avrò che nessun asse globale è perfettamente perpendicolare alla superficie di massima estensione della piastra. Sostanzialmente quindi un elemento piastra, per come è effettivamente implementato, | ||
+ | |||
+ | Quindi ogni elemento piastra ha 6 gdl per nodo. Ciò comporta che se posso definire delle deformazioni base dell' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Questi sono 24 modi deformativi elementari associati però a composizioni speciali dei valori di spostamento sui 24 gdl. | ||
+ | Potrei spostare uno alla volta ogni singolo gdl tenendo fermi gli altri ma non otterrei deformazioni interessanti. | ||
+ | |||
+ | Quindi, nella Figura sopra riportata, abbiamo 24 deformazioni base generate da composizioni speciali dei valori di spostamento dei 24 gdl. | ||
+ | |||
+ | Tra di questa abbiamo: \\ | ||
+ | * 6 moti di corpo rigido (4a colonna in Figura) | ||
+ | * 4 moti di Drilling associati a ciascun nodo (ultimi tre modi deformativi della 3a colonna in Figura). Non tutti gli elementi implementati nel Marc presentano questi 4 moti deformativi elementari (si veda ad esempio l' | ||
+ | * 2 deformazioni trapezie associate a moti puramente flessionali (modi deformativi 1 e 2 in Figura). Nel caso di piastra alla Kirchhoff avremmo una deformazione cubica e non trapezia. | ||
+ | * 3 deformazioni associate a moti puramente taglianti fuori piano ( $\gamma_{xz}$ e $\gamma_{yz}$ ). Per essi i segmenti estremali rimangono verticali -> non ruotano ma traslano solamente in z (4°, 5° e 7° modo deformativo in Figura). In Kirchhoff tali modi di deformazione dell' | ||
+ | * 1 deformazione associata a moto puramente tagliante ENTROPIANO $\varepsilon_{xy}$ uniforme lungo lo spessore (13° modo deformativo in Figura) | ||
+ | * 2 deformazioni taglianti trapezie entropiano (modi deformativi 8 e 9 in Figura) | ||
+ | * 1 allungamento in direzione x per il quale avrei $\varepsilon_{x} > 0$ ovunque (9° modo deformativo in Figura) | ||
+ | * 1 allungamento in direzione y per il quale avrei $\varepsilon_{y} > 0$ ovunque (10° modo deformativo in Figura) | ||
+ | * 2 deformazioni trapezie opposte tra TOP e BOTTOM (12° e 14° modo deformativo in Figura). Il 12° modo deformativo presenta una curvatura in direzione x che va da un valore negativo (TOP -> si comprime/ | ||
+ | * 2 deformazioni elementari che combinate tra di loro generano il moto torsionale (3° e 6° modo deformativo in Figura). | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Note ===== | ||
+ | |||
+ | === Nota 1 === | ||
+ | |||
+ | Ipotizzando uno stato di tensione piana, nel quale la deformazione $\varepsilon_{z}$ non risulta essere nulla, si entrerebbe, a rigore, in contrasto con l'aver affermato che il segmento che collega il punto Q (appartenente al piano di riferimento) ed i punti P (non appartenenti al piano di riferimento ma per i quali la proiezione su di esso è il punto Q) è rigido ( [[wikipaom2017: | ||
+ | |||
+ | Di fronte a questa assodata incongruenza è possibile però, poiché classificata come errore di modellazione di ordine superiore, chiudere un occhio. | ||
+ | Si potrebbe, in alternativa, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | --- // |