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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | **DEFINIZIONE SPOSTAMENTI** | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Per ogni punto di coordinate ξ,η possiamo ricavare l’associato punto in coordinate | ||
+ | $$N_{1, | ||
+ | |||
+ | e definendo le coordinate: | ||
+ | $$\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, | ||
+ | |||
+ | y(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | |||
+ | \quad(1)$$ | ||
+ | |||
+ | Esiste anche una forma inversa ma non è così semplice perché la relazione non è lineare. La mappatura inversa si può fare con il Maxima associando al punto P un sistema di equazioni quadratiche che danno due soluzioni: una delle due è un punto interno, l’altra è un punto esterno e quindi può essere scartato. Un modo più rapido è iterare con Newton-Raphson ma in entrambi casi la mappatura inversa risulta scomoda e quindi non viene effettuata. | ||
+ | |||
+ | La figura rappresentata nel piano ξ,η è generalizzabile a coprire tutti gli elementi che troviamo in MARC. Ad esempio, se abbiamo elementi con nodi di centro lato (elementi quadratici perchè quadratico è lo spostamento lungo i lati) anche questi possono essere mappati con un quadrato in dominio naturale che si estende da -1 a 1. | ||
+ | L’unica differenza è che ci sono 8 nodi, quindi 8 punti per i quali definire le coordinate x,y, gli spostamenti nodali e le funzioni di forma | ||
+ | ((Esistono anche elementi con il nodo centrale però non li troviamo in MARC, quelli a 9 nodi sono stati sviluppati prima di quelli a 8 nodi ma usandoli si è verificato che quel nono nodo non migliorava i risultati quindi è stato tolto)). | ||
+ | Per gli 8 nodi le funzioni di forma hanno un andamento polinomiale. Se ci si muove a ξ costante o a η costante, la funzione è biquadratica (parabole). Se, invece, ci si muove contemporaneamente a ξ e η, la funzione ha gradi quartici ma lungo i lati è parabolica: | ||
+ | <figure 1> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | <figure 2> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | Il triangolare 3 nodi e il tetragonale 4 nodi hanno definizioni più semplici che non richiedono il passaggio per un piano naturale però in MARC il triangolare 3 nodi viene comunque dato come isoparametrico, | ||
+ | In definitiva, questa trattazione è estendibile ai vari elementi, l' | ||
+ | Tuttavia, c'è una regola generale da rispettare: | ||
+ | $$\sum_{i=1}^{N}N(\xi ,\eta )=1$$ | ||
+ | Poiché queste funzioni di forma sono usate come peso in una media ponderata, è buona norma che la somma faccia 1. | ||
+ | Dal punto di vista fisico, garantire questo vuol dire garantire un moto che sia di pura traslazioni in x o y o combinazione delle 2. | ||
+ | |||
+ | |||
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+ | Allo stesso modo è possibile definire gli spostamenti: | ||
+ | $$U\left ( \xi ,\eta \right )=\sum_{i=1}^{4} N_{i}\left ( \xi ,\eta \right )U_{I}$$ |