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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Analisi modale ====== | ||
+ | Il compito di questo tipo di analisi è quello di determinare i modi propri del sistema, ossia quei moti periodici concessi dall' | ||
+ | |||
+ | Spesso conviene effettuare un' | ||
+ | |||
+ | Affinchè un moto non stimolato possa perdurare nel tempo, è necessario che gli elementi dissipativi di smorzamento siano assenti $\underline{\underline{C}}=0$. L' | ||
+ | |||
+ | $$ (\underline{\underline{K}} - \omega ^2\underline{\underline{M}})\overline{x} = 0$$ | ||
+ | |||
+ | Le soluzioni (non banali) di questo problema derivano dalla risoluzione (ricavata attraverso algoritmi numerici) del problema agli autovalori generalizzato del tipo $det(\underline{\underline{K}}-\omega ^2\underline{\underline{M}}) = 0$ che ha come soluzione le //n// coppie $(\omega _{i}^2, | ||
+ | |||
+ | Si preferisce risolvere il problema generalizzato per evitare l' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Esempio di moto per $\omega=0$ === | ||
+ | |||
+ | Le soluzioni $\omega=0$ del problema agli autovalori generalizzato rappresentano moti a cui non corrisponde una reazione elastica, quindi saranno moti di corpo rigido o moti di meccanismo. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Per esempio, per il quadrilatero articolato riportato sopra, si trova che la più bassa pulsazione propria del sistema è, appunto, $\omega=0$; a tale pulsazione, per piccoli spostamenti, | ||
+ | |||
+ | Questa nozione può essere utile nel caso in cui ci troviamo ad analizzare una struttura che risulta labile, ma non riusciamo a capire dove risieda tale labilità. In casi del genere, possiamo andare a calcolarci i primi modi propri della struttura e, se uno di questi equivale a $\omega=0$ (o comunque $\omega$ uguale a un valore molto piccolo - dell' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Definizione dell' | ||
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+ | Le coppie di soluzioni autovalore-autovettore sono definite a meno di una costante moltiplicativa arbitraria e non ci danno indicazioni sull' | ||
+ | |||
+ | A livello di software, avviene che il solutore fornisce un valore numerico che descrive una certa forma modale e la mappa dei valori di tensione da noi richiesti (per esempio: valore della Von Mises); ma i valori di tensione dipendono dalla " | ||
+ | |||
+ | Per riassumere il concetto: mai fare valutazioni ingegneristiche sul modulo di un autovettore. | ||
+ | |||
+ | === Autovalori con molteplicità maggiore di 1 === | ||
+ | |||
+ | Vediamo cosa succede se l' | ||
+ | Prendiamo come esempio il problema seguente: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | I gradi di libertà della struttura sono u e v. I primi due modi di vibrare del sistema sono: | ||
+ | |||
+ | $\omega _{1}=\sqrt{\frac{K}{m}}$ ; $\overline{x} _{1}=(0, | ||
+ | |||
+ | $\omega _{2}=\sqrt{\frac{K}{m}}$ ; $\overline{x} _{2}=(1, | ||
+ | |||
+ | Nell' | ||
+ | |||
+ | $\overline{X}=\overline{x} _{1}\lambda _{1}+\overline{x} _{2}\lambda _{2}$ | ||
+ | |||
+ | Un esempio, potrebbe essere il seguente: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | In questo caso, il Marc avrebbe restituito due moti ortogonali evidentemente diversi da quelli puramente verticale e orizzontale. | ||
+ | |||
+ | In conclusione, | ||
+ | |||
+ | Ad ogni modo, nella pratica è abbastanza difficile che si presentino casi di autovalori con molteplicità maggiori di 1, in quanto bastano piccole differenze, anche solo a livello di tolleranze, per avere due autovalori distinti, seppur molto vicini. In riferimento al caso in oggetto, basterebbe che la rigidezza K nelle due molle differisse di una quantità molto piccola per perdere l' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Normalizzazione di un autovettore=== | ||
+ | |||
+ | Vediamo ora come si normalizza un autovettore. Alcuni software (tipo Ansys) utilizzano la normalizzazione definita “norma a infinito unitaria”, | ||
+ | |||
+ | Un altro tipo di normalizzazione (quella che useremo) è chiamata “normalizzazione a massa modale unitaria”: | ||
+ | |||
+ | $$(\widehat{x} _{i})^{T}\underline{\underline{M}}(\widehat{x} _{i})=(\lambda\overline{x} _{i})^{T}\underline{\underline{M}}(\lambda\overline{x} _{i})=1$$ | ||
+ | |||
+ | da cui si ricava | ||
+ | |||
+ | $$\lambda^{2}=\frac{1}{(\overline{x} _{i})^{T}\underline{\underline{M}}(\overline{x} _{i})}$$ | ||
+ | |||
+ | E' poi interessante notare come, andando a sostituire la funzione di risposta | ||
+ | |||
+ | $$x _{i}(t)=a _{i}\widehat{x} _{i}e^{jw _{i}t}$$ | ||
+ | |||
+ | all' | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\underline{M}}\ddot{x} + \underline{\underline{C}}\dot{x} + \underline{\underline{K}}x = F(t)$$ | ||
+ | |||
+ | si ottiene la forma algebrica | ||
+ | |||
+ | $$\underbrace{(\underline{\underline{K}}-\omega _{i}^{2}\underline{\underline{M}})a _{i}\widehat{x} _{i}}+j\omega _{i}\underline{\underline{C}}a _{i}\widehat{x} _{i}=\overline{f}$$ | ||
+ | |||
+ | Dato che $\omega _{i}$ è un autovalore e $\widehat{x} _{i}$ l' | ||
+ | |||
+ | $$a _{i}=\frac{1}{j\omega _{i}}\frac{\widehat{x} _{i}^{T}\overline(f)}{\widehat{x} _{i}^{T}\underline{\underline{C}}\widehat{x} _{i}}$$ | ||
+ | |||
+ | ovvero l' | ||
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