wikipaom2017:070.030.000
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Entrambe le parti precedenti la revisioneRevisione precedenteProssima revisione | Revisione precedente | ||
wikipaom2017:070.030.000 [2017/05/15 07:19] – 231553 | wikipaom2017:070.030.000 [2017/05/15 08:14] (versione attuale) – 231553 | ||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Derivazione delle deformazioni dal campo degli spostamenti mediante utilizzo dell' | ||
+ | |||
+ | ===== Definizione spostamenti ===== | ||
+ | |||
+ | <figure 1> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Per ogni punto di coordinate ξ,η possiamo ricavare l’associato punto in coordinate | ||
+ | $$N_{1, | ||
+ | il legame diventa: | ||
+ | $$\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, | ||
+ | |||
+ | y(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, | ||
+ | \end{matrix}\right.$$ | ||
+ | Allo stesso modo, utilizzando le stesse funzioni di forma, è possibile definire gli spostamenti: | ||
+ | $$U\left ( \xi ,\eta \right )=\sum_{i=1}^{4} N_{i}\left ( \xi ,\eta \right )U_{I}\qquad(2)$$ | ||
+ | |||
+ | ===== Definizione deformazioni ===== | ||
+ | |||
+ | Si vogliano, ora, calcolare $\varepsilon _{x}, | ||
+ | $$\varepsilon _{x}= \frac{\partial u}{\partial x}$$ | ||
+ | $$\varepsilon _{y}= \frac{\partial v}{\partial y}$$ | ||
+ | $$\gamma _{xy}= \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$ | ||
+ | In forma matriciale: | ||
+ | $$\underline{\varepsilon }=\begin{bmatrix} | ||
+ | \varepsilon _{x}\\ | ||
+ | \varepsilon _{y}\\ | ||
+ | \varepsilon _{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & | ||
+ | 0& | ||
+ | 0 & | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta y}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta y} | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(3)$$ | ||
+ | |||
+ | Calcolare queste derivate è complesso, è molto più semplice ricavare: | ||
+ | $$\frac{\partial u}{\partial \xi }, \frac{\partial u}{\partial \eta }, \frac{\partial v}{\partial \xi }, \frac{\partial v}{\partial \eta }$$ | ||
+ | Quest' | ||
+ | $$\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \xi }\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \eta }\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \xi }\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \eta } | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underline{Q}(\xi ,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | u_{1}\\ | ||
+ | v_{1}\\ | ||
+ | u_{2}\\ | ||
+ | v_{2}\\ | ||
+ | u_{3}\\ | ||
+ | v_{3}\\ | ||
+ | u_{4}\\ | ||
+ | v_{4} | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(4)$$ | ||
+ | Avendo definito $\underline{Q}(\xi ,\eta )$ come: | ||
+ | $$\underline{Q}(\xi ,\eta )= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta N_{1}}{\delta \xi } & | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | 0& | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | Ed essendo: | ||
+ | $$\underline{δ}= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | u_{1}\\ | ||
+ | v_{1}\\ | ||
+ | u_{2}\\ | ||
+ | v_{2}\\ | ||
+ | u_{3}\\ | ||
+ | v_{3}\\ | ||
+ | u_{4}\\ | ||
+ | v_{4} | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | il vettore degli spostamenti nodali (indipendenti da ξ,η). | ||
+ | |||
+ | Il legame tra le derivate di u e v, nei due sistemi di riferimento, | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial \xi} | ||
+ | \\\frac{\partial u }{\partial \eta} | ||
+ | |||
+ | \end{bmatrix} = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \cdot | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} | ||
+ | \\\frac{\partial u}{\partial y} | ||
+ | |||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial \xi} | ||
+ | \\\frac{\partial v }{\partial \eta} | ||
+ | |||
+ | \end{bmatrix} = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \cdot | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial x} | ||
+ | \\\frac{\partial v}{\partial y} | ||
+ | |||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | é possibile allora definire lo Jacobiano trasposto e condensare le due matrici in una sola: | ||
+ | $$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]^{-1}=\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | $$\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta y}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \underline{J_{11}^{-1}} & | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | 0 & 0& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \xi}\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \eta}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \xi}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \eta} | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(5)$$ | ||
+ | La matrice 4x4 trovata nell' | ||
+ | |||
+ | Possono essere descritte a questo punto le deformazioni nel sistema naturale: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\varepsilon }=\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}(\xi ,\eta )\cdot \underline{Q}(\xi ,\eta )\cdot \underline{\delta }\qquad(6)$$ | ||
+ | In analogia a quanto fatto per il triangolare 3 nodi è possibile chiamare: | ||
+ | $$\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}\cdot \underline{Q}=\underline{B}(\xi, | ||
+ | e quindi definire la matrice rigidezza dell' | ||
+ | $$\underline{\underline{K}}=\iint_{a}\underline{\underline{B}}^T\left ( \xi ,\eta \right )\underline{\underline{D}} | ||
+ | Il $\partial a$ è espresso in x,y ma non è comodo integrare in questo dominio, quindi è necessario effettuare un cambio di variabile, in modo da poter integrare in ξ,η. | ||
+ | ==== Osservazione su $J_{inv}^{*}$ ==== | ||
+ | Lo Jacobiano è calcolato attraverso le derivate di x,y in ξ,η, le quali x,y sono legate alle funzioni di forma attraverso la (1). Quindi, lo Jacobiano avrà dei termini lineari in ξ e dei termini lineari in η: | ||
+ | $$J=\begin{bmatrix} | ||
+ | a+b\eta | ||
+ | \\e+f\eta | ||
+ | \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} | ||
+ | A & C | ||
+ | \\B & D | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | $$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]=\begin{bmatrix} | ||
+ | A & B | ||
+ | \\C & D | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | $$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]^{-1}=\frac{1}{AD-BC}\begin{bmatrix} | ||
+ | D & -B | ||
+ | \\-C & A | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | A,B,C,D sono lineari in ξ,η ma nell' | ||
+ | |||
+ | ===== Correlazione tra $\partial a$ e $\partial ξ\partial η$ ===== | ||
+ | |||
+ | Si prenda un punto in ξ,η e lo si incrementi di un dξ e di un dη lungo le due direzioni fino ad ottenere il quadratino di area dξdη: | ||
+ | <figure 2> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Questo quadratino viene trasformato nel piano x,y in questo modo: | ||
+ | <figure 3> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | * il punto 1 è mappato in x(ξ,η) - y(ξ,η) | ||
+ | * il punto 2 è mappato in x(ξ+dξ, | ||
+ | * il punto 3 è mappato in x(ξ+dξ, | ||
+ | * il punto 4 è mappato in x(ξ, | ||
+ | |||
+ | L'area dell' | ||
+ | |||
+ | Pertanto, di seguito, è riportato il calcolo di questi sottoelementi.Valendo: | ||
+ | |||
+ | $$F\left ( \xi +d\xi ,\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta \right )+\frac{\partial F}{\partial \xi }|_{\xi ,\eta}d\xi $$ | ||
+ | $$F\left ( \xi ,\eta +d\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta \right ) +\frac{\partial F}{\partial \eta }|_{\xi , | ||
+ | $$F\left ( \xi +d\xi ,\eta +d\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta \right )+\frac{\partial F}{\partial \xi }|_{\xi ,\eta}d\xi +\frac{\partial F}{\partial \eta }|_{\xi , | ||
+ | è possibile scrivere l'area del triangolo 124 come: | ||
+ | |||
+ | $$A_{124|(x, | ||
+ | 1 & 1 &1 \\ | ||
+ | | ||
+ | y\left ( \xi ,\eta \right ) & y(\xi ,\eta )+\frac{\partial y}{\partial \xi }d\xi& y(\xi ,\eta )+\frac{\partial y}{\partial \eta }d\eta | ||
+ | \end{vmatrix}$$ | ||
+ | Utilizzando una regola delle matrici per cui "la sottrazione di una riga per una combinazione di un' | ||
+ | $$A_{124|(x, | ||
+ | 1 & 1 &1 \\ | ||
+ | | ||
+ | 0 & \frac{\partial y}{\partial \xi }d\xi& \frac{\partial y}{\partial \eta }d\eta | ||
+ | \end{vmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | Sviluppando i calcoli: | ||
+ | $$A_{124|(x, | ||
+ | \frac{dx}{d\xi} & \frac{dx}{d\eta}\\ | ||
+ | | ||
+ | \end{bmatrix} d\xi d\eta = \frac{1}{2}\left | J \right | d\xi d\eta$$ | ||
+ | |||
+ | Occorre notare che il determinante all' | ||
+ | |||
+ | Inoltre il triangolo identificato nel piano ($x$,$y$) è la trasposizione sul piano fisico di quello presente sul piano ($ξ$, | ||
+ | |||
+ | $$A_{124|(\xi, | ||
+ | |||
+ | Questo vuol dire che il legame fra l’area del triangolo nel piano fisico e quello naturale è semplicemente il determinante della Jacobiana: infatti quest’ultimo è quel fattore che scala l’area sul piano naturale per ottenere quella sul piano fisico. | ||
+ | |||
+ | Svolgendo i medesimi passaggi per il triangolo 234, si trova un’identica relazione: | ||
+ | |||
+ | $$A_{234|(x, | ||
+ | \frac{dx}{d\xi} & \frac{dx}{d\eta}\\ | ||
+ | | ||
+ | \end{bmatrix} d\xi d\eta = \frac{1}{2}\left | J \right | d\xi d\eta$$ | ||
+ | |||
+ | Allora lo Jacobiano è il fattore che trasforma $A_{124}$ sul piano naturale in quella del triangolo 124 sul piano fisico ed anche $A_{234}$ appartenente al piano naturale a quella nel piano fisico. | ||
+ | A questo punto si ha che: | ||
+ | |||
+ | $$dA_{(x, | ||
+ | |||
+ | Allora la Matrice di Rigidezza dell’elemento sarà: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{K}=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\underline{B}^T(\xi, |