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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== Derivazione delle deformazioni dal campo degli spostamenti mediante utilizzo dell'inversa della matrice Jacobiana ======
+===== Definizione spostamenti =====
+<figure 1>
+{{:wikipaom2017:wiki2.png?400|}}
+<caption> piano fisico e naturale </caption>
+</figure>
+Per ogni punto di coordinate ξ,η possiamo ricavare l’associato punto in coordinate  x,y semplicemente definendo le 4 funzioni di forma:
+$$N_{1,2,3,4} = \frac{\left ( 1\pm \xi  \right )\left ( 1\pm \eta  \right )}{4}$$
+il legame diventa:
+$$\left\{\begin{matrix}
+x(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, \eta )x_{i}\qquad(1)\\
+y(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, \eta )y_{i}
+\end{matrix}\right.$$
+Allo stesso modo, utilizzando le stesse funzioni di forma, è possibile definire gli spostamenti:
+$$U\left ( \xi ,\eta  \right )=\sum_{i=1}^{4} N_{i}\left ( \xi ,\eta  \right )U_{I}\qquad(2)$$
+===== Definizione deformazioni =====
+Si vogliano, ora, calcolare $\varepsilon _{x},\varepsilon _{y}, \gamma _{xy}$ partendo dagli spostamenti interpolati:
+$$\varepsilon _{x}= \frac{\partial u}{\partial x}$$
+$$\varepsilon _{y}= \frac{\partial v}{\partial y}$$
+$$\gamma _{xy}= \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
+In forma matriciale:
+$$\underline{\varepsilon }=\begin{bmatrix}
+\varepsilon _{x}\\
+\varepsilon _{y}\\
+\varepsilon _{xy}
+\end{bmatrix}
+=\begin{bmatrix}
+&0  &0  &0 \\
+&0  &0  &1  \\
+&1  &1  &0
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+\frac{\delta u}{\delta x}\\
+\frac{\delta u}{\delta y}\\
+\frac{\delta v}{\delta x}\\
+\frac{\delta v}{\delta y}
+\end{bmatrix}\qquad(3)$$                                                                                                La matrice 3x4 nella (3) viene indicata come $\underline{H}$.
+Calcolare queste derivate è complesso, è molto più semplice ricavare:
+$$\frac{\partial u}{\partial \xi }, \frac{\partial u}{\partial \eta }, \frac{\partial v}{\partial \xi }, \frac{\partial v}{\partial \eta }$$
+Quest'ultime, infatti, sono legate alle derivate in ξ,η delle funzioni di forma e alle coordinate nodali:
+$$\begin{bmatrix}
+\frac{\delta u}{\delta \xi }\\
+\frac{\delta u}{\delta \eta }\\
+\frac{\delta v}{\delta \xi }\\
+\frac{\delta v}{\delta \eta }
+\end{bmatrix}
+=
+\underline{Q}(\xi ,\eta)
+\begin{bmatrix}
+u_{1}\\
+v_{1}\\
+u_{2}\\
+v_{2}\\
+u_{3}\\
+v_{3}\\
+u_{4}\\
+v_{4}
+\end{bmatrix}\qquad(4)$$
+Avendo definito $\underline{Q}(\xi ,\eta )$ come:
+$$\underline{Q}(\xi ,\eta )=
+\begin{bmatrix}
+\frac{\delta N_{1}}{\delta \xi } &0  &\frac{\delta N_{2}}{\delta \xi }  &0  &\frac{\delta N_{3}}{\delta \xi }  &0  &\frac{\delta N_{4}}{\delta \xi }  &0 \\
+ \frac{\delta N_{1}}{\delta \eta } &0  &\frac{\delta N_{2}}{\delta \eta }  &0  &\frac{\delta N_{3}}{\delta \eta }  &0  &\frac{\delta N_{4}}{\delta \eta }  &0 \\
+&\frac{\delta N_{1}}{\delta \xi }& 0 & \frac{\delta N_{2}}{\delta \xi } &0  &\frac{\delta N_{3}}{\delta \xi }  &0  &\frac{\delta N_{4}}{\delta \xi }  \\
+&  \frac{\delta N_{1}}{\delta \eta }& 0 & \frac{\delta N_{2}}{\delta \eta } &0  &\frac{\delta N_{3}}{\delta \eta }  &0  &\frac{\delta N_{4}}{\delta \eta }
+\end{bmatrix}$$
+Ed essendo:
+$$\underline{δ}=
+\begin{bmatrix}
+u_{1}\\
+v_{1}\\
+u_{2}\\
+v_{2}\\
+u_{3}\\
+v_{3}\\
+u_{4}\\
+v_{4}
+\end{bmatrix}$$
+il vettore degli spostamenti nodali (indipendenti da ξ,η).
+Il legame tra le derivate di u e v, nei due sistemi di riferimento, era stato calcolato come:
+$$
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial u}{\partial \xi}
+\\\frac{\partial u }{\partial \eta}
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
+\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta}
+\end{bmatrix}
+\cdot
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial u}{\partial x}
+\\\frac{\partial u}{\partial y}
+\end{bmatrix}
+$$
+$$
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial v}{\partial \xi}
+\\\frac{\partial v }{\partial \eta}
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
+\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta}
+\end{bmatrix}
+\cdot
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial v}{\partial x}
+\\\frac{\partial v}{\partial y}
+\end{bmatrix}
+$$
+é possibile allora definire lo Jacobiano trasposto e condensare le due matrici in una sola:
+$$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]^{-1}=\begin{bmatrix}
+\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
+\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta}
+\end{bmatrix}$$
+$$\begin{bmatrix}
+\frac{\delta u}{\delta x}\\
+\frac{\delta u}{\delta y}\\
+\frac{\delta v}{\delta x}\\
+\frac{\delta v}{\delta y}
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+\underline{J_{11}^{-1}} &\underline{J_{12}^{-1}}  &0  &0 \\
+ \underline{J_{21}^{-1}} &\underline{J_{22}^{-1}}  &0  &0  \\
+& 0 & \underline{J_{11}^{-1}} &\underline{J_{12}^{-1}} \\
+&  0&  \underline{J_{21}^{-1}} &\underline{J_{22}^{-1}}
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+\frac{\delta u}{\delta \xi}\\
+\frac{\delta u}{\delta \eta}\\
+\frac{\delta v}{\delta \xi}\\
+\frac{\delta v}{\delta \eta}
+\end{bmatrix}\qquad(5)$$
+La matrice 4x4 trovata nell'equazione (5) si indica con $J_{inv}^{*}$.
+Possono essere descritte a questo punto le deformazioni nel sistema naturale:
+$$\underline{\varepsilon }=\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}(\xi ,\eta )\cdot \underline{Q}(\xi ,\eta )\cdot \underline{\delta }\qquad(6)$$
+In analogia a quanto fatto per il triangolare 3 nodi è possibile chiamare:
+$$\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}\cdot \underline{Q}=\underline{B}(\xi, \eta )\qquad(7)$$
+e quindi definire la matrice rigidezza dell'elemento come:
+$$\underline{\underline{K}}=\iint_{a}\underline{\underline{B}}^T\left ( \xi ,\eta  \right )\underline{\underline{D}}  \underline{\underline{B}}\left ( \xi ,\eta  \right )\partial a\qquad(8)$$
+Il $\partial a$ è espresso in x,y ma non è comodo integrare in questo dominio, quindi è necessario effettuare un cambio di variabile, in modo da poter integrare in ξ,η.
+==== Osservazione su $J_{inv}^{*}$ ====
+Lo Jacobiano è calcolato attraverso le derivate di x,y in ξ,η, le quali x,y sono legate alle funzioni di forma attraverso la (1). Quindi, lo Jacobiano avrà dei termini lineari in ξ e dei termini lineari in η:
+$$J=\begin{bmatrix}
+a+b\eta  & c+d\xi
+\\e+f\eta  & g+h\xi
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+A  & C
+\\B  & D
+\end{bmatrix}$$
+$$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]=\begin{bmatrix}
+A  & B
+\\C & D
+\end{bmatrix}$$
+$$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]^{-1}=\frac{1}{AD-BC}\begin{bmatrix}
+D  & -B
+\\-C & A
+\end{bmatrix}$$
+A,B,C,D sono lineari in ξ,η ma nell'inversa dello Jacobiano trasposto compaiono anche al denominatore, quindi si ottiene una razionale fratta che non è più semplicemente lineare. Di conseguenza, finché l'ordine al denominatore è basso si ottengono formule esatte per l'integrazione ma, ad esempio, un 8 nodi non è più integrabile in forma esatta.
+===== Correlazione tra $\partial a$ e $\partial ξ\partial η$ =====
+Si prenda un punto in ξ,η e lo si incrementi di un dξ e di un dη lungo le due direzioni fino ad ottenere il quadratino di area dξdη:
+<figure 2>
+{{:wikipaom2017:20170514_123351.jpg?200|}}
+<caption> Elemento d'area in ξ,η </caption>
+</figure>
+Questo quadratino viene trasformato nel piano x,y in questo modo:
+<figure 3>
+{{:wikipaom2017:20170514_123351_2.jpg?200|}}
+<caption> Elemento d'area in x,y </caption>
+</figure>
+  * il punto 1 è mappato in x(ξ,η) - y(ξ,η)
+  * il punto 2 è mappato in x(ξ+dξ,η) - y(ξ+dξ,η)
+  * il punto 3 è mappato in x(ξ+dξ,η+dη) - y(ξ+dξ,η+dη)
+  * il punto 4 è mappato in x(ξ,η+dη) - y(ξ,η+dη)
+L'area dell'elemento in figura (3) è difficile da calcolare, è possibile, però, ottenere quest'ultima come somma delle aree di due triangoli che lo compongono (come rappresentato nella fig.3).
+Pertanto, di seguito, è riportato il calcolo di questi sottoelementi.Valendo:
+$$F\left ( \xi +d\xi ,\eta  \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta  \right )+\frac{\partial F}{\partial \xi }|_{\xi ,\eta}d\xi $$
+$$F\left ( \xi ,\eta +d\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta  \right ) +\frac{\partial F}{\partial \eta }|_{\xi ,\eta}d\eta$$
+$$F\left ( \xi +d\xi ,\eta +d\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta  \right )+\frac{\partial F}{\partial \xi }|_{\xi ,\eta}d\xi +\frac{\partial F}{\partial \eta }|_{\xi ,\eta}d\eta$$
+è possibile scrivere l'area del triangolo 124 come:
+$$A_{124|(x,y)}=\frac{1}{2!}\begin{vmatrix}
+& 1 &1 \\
+ x\left ( \xi ,\eta  \right )& x(\xi ,\eta )+\frac{\partial x}{\partial \xi }d\xi  &  x(\xi ,\eta )+\frac{\partial x}{\partial \eta }d\eta \\
+y\left ( \xi ,\eta  \right ) &  y(\xi ,\eta )+\frac{\partial y}{\partial \xi }d\xi& y(\xi ,\eta )+\frac{\partial y}{\partial \eta }d\eta
+\end{vmatrix}$$
+Utilizzando una regola delle matrici per cui "la sottrazione di una riga per una combinazione di un'altra, non cambia il determinante" si ha:
+$$A_{124|(x,y)}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
+& 1 &1 \\
+& \frac{\partial x}{\partial \xi }d\xi  &  \frac{\partial x}{\partial \eta }d\eta \\
+&  \frac{\partial y}{\partial \xi }d\xi& \frac{\partial y}{\partial \eta }d\eta
+\end{vmatrix}$$
+Sviluppando i calcoli:
+$$A_{124|(x,y)}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
+\frac{dx}{d\xi} &  \frac{dx}{d\eta}\\
+ \frac{dy}{d\xi} & \frac{dy}{d\eta}
+\end{bmatrix} d\xi d\eta = \frac{1}{2}\left | J \right | d\xi d\eta$$
+Occorre notare che il determinante all'interno della formula presentata non è altro che il determinante della matrice Jacobiana, lo Jacobiano e  le derivate in esso presenti sono valutate nello specifico $ξ$ ed $η$, essendo sviluppi nell’intorno del punto generico.
+Inoltre il triangolo identificato nel piano ($x$,$y$) è la trasposizione sul piano fisico di quello presente sul piano ($ξ$,$η$): l’area $A_{124}$ è propria del triangolo sul piano naturale trasformato in quello fisico, mentre l’area del medesimo triangolo sul piano fisico ($ξ$,$η$) era
+$$A_{124|(\xi,\eta)}= \frac{1}{2} d\xi d\eta $$
+Questo vuol dire che il legame fra l’area del triangolo nel piano fisico e quello naturale è semplicemente il determinante della Jacobiana: infatti quest’ultimo è quel fattore che scala l’area sul piano naturale per ottenere quella sul piano fisico.
+Svolgendo i medesimi passaggi per il triangolo 234, si trova un’identica relazione:
+$$A_{234|(x,y)}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
+\frac{dx}{d\xi} &  \frac{dx}{d\eta}\\
+ \frac{dy}{d\xi} & \frac{dy}{d\eta}
+\end{bmatrix} d\xi d\eta = \frac{1}{2}\left | J \right | d\xi d\eta$$
+Allora lo Jacobiano è il fattore che trasforma $A_{124}$ sul piano naturale in quella del triangolo 124 sul piano fisico ed anche $A_{234}$ appartenente al piano naturale a quella nel piano fisico.
+A questo punto si ha che:
+$$dA_{(x,y)}=|J| dA_{(\xi,\eta)}$$
+Allora la Matrice di Rigidezza dell’elemento sarà:
+$$\underline{K}=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\underline{B}^T(\xi,\eta)\ \underline{D}\ \underline{B}(\xi,\eta)\left | J \right |_{(\xi,\eta)}d\xi d\eta$$