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====== INTRODUZIONE A MAXIMA E TELAIETTO ======

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===== Rigidezza telaietto =====

Lo scopo della lezione è quello di calcolare la rigidezza del telaietto a maglia rettangolare utilizzando il manipolatore algebrico Maxima. Di seguito sono riportati i passaggi che permettono la risoluzione del problema. Viene poi allegato il file di Maxima per la soluzione numerica e per la comprensione della sua sintassi.

E’ possibile approcciare il problema studiando il cedimento del punto C (lungo l’asse z) sotto l’azione del carico  P tenendo vincolati gli altri tre vertici del telaio.

Facciamo alcune considerazioni sul telaietto in esame:
  -Geometria simmetrica  rispetto ai piani xz e yz;
  -Caricamento antisimmetrico rispetto ai piani xz e yz;

Ipotesi:

Consideriamo che la sezione sia costante, circolare cava, taglio e sforzo normale trascurabili, pertanto possiamo calcolare le rigidezze flessionali EJ_xx  , EJ_yy e rigidezza torsionale GJ_p.
Ipotizziamo inoltre che il materiale abbia un comportamento elastico-lineare: se ho caricamento simmetrico la risposta del sistema sarà simmetrica; se ho caricamento antisimmetrico la risposta sarà antisimmetrica.

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Data la caratteristica  antisimmetrica possiamo studiare solo un quarto della struttura.

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Come si vede nella foto, abbiamo sei reazioni vincolari (vincoli cinematici) : XB, ZB, CB al punto B; YA, ZA, CA al punto A.

In totale ho sei gradi di libertà e sei reazioni vincolari: la struttura sembra isostatica, quindi proviamo a risolverla con le equazioni di equilibrio, rispettivamente lungo le tre traslazioni e le tre rotazioni.

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Notiamo che l’equilibrio  alla rotazione lungo l’asse  z è un’identità (il sistema si riduce a cinque equazioni e 6 incognite) e quindi la matrice del sistema è singolare:  non c’è soluzione univoca ma  8^1 soluzioni. 
La struttura è una volta iperstatica e allo stesso tempo labile poiché la rotazione lungo z non è bloccata.
Dato che la struttura è iperstatica lascio una delle reazioni in forma parametrica per poi introdurre un’equazione di completezza. 
In questo caso scelgo come parametro ZB  e risolvo le equazioni esplicitando le altre variabili (XB, YA, ZA, CA, CB).

Disegno i momenti flettenti e torcenti dovuti a ZB  e P, usando la sovrapposizione degli effetti poiché il problema è lineare. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione del carico P.
Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione di ZB.

Tabella che rappresenta i vari contributi dei momenti.


|	|contributo ZB  | contributo P |
| Mf_BC	| +ZB * x	| + 0          |
| Mt_BC	| +ZB * a	| - P * a      |
| Mf_AC	| +ZB * y       | - P * y      |
| Mt_AC	| +ZB * b	| + 0          |

Per calcolare gli spostamenti devo applicare il teorema di Castigliano, utile prima di tutto per definire l’incognita iperstatica e successivamente per trovare lo spostamento di C sotto il carico P e ottenere quindi un valore della rigidezza del telaio.


==== Teorema di Castigliano ====

Ipotesi: strutture a comportamento lineare.

Enunciato: La derivata parziale dell’energia potenziale elastica rispetto ad una forza o ad una coppia è pari allo spostamento o rotazione nella direzione della forza o coppia stessa.

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∂U/∂P=δ_P  ;  ∂U/∂C=θ_C

Per poter applicare Castigliano, valuto l’energia potenziale elastica totale della struttura.
Formula energia potenziale totale.
Calcoliamo lo spostamento di B sotto l’azione del carico ZB incognito ed applichiamo l’equazione di compatibilità al vincolo: spostamento verticale dovuto a ZB nullo.

∂U/∂ZB=δ_ZB  con  δ_ZB=0.

In questo modo troviamo il valore dell’incognita iperstatica ZB. 
Ora applichiamo nuovamente Castigliano per ricavare lo spostamento d_P. 
Infine estendiamo i risultati a tutta la struttura sfruttando l’antisimmetria.


===== Lista dei simboli =====
| E      | Modulo di Young                                                                         |
| J      | Momento di inerzia                                                                      |
| G      | Modulo di elasticità tangenziale                                                        |
|J_p     | Momento d'inerzia polare                                                                |
|XA,YA,ZA| Reazioni vincolari in A rispettivamente in direzione x, y, z                            |   
|XB,YB,ZB| Reazioni vincolari in B rispettivamente in direzione x, y, z                            | 
| U      | Energia potenziale elastica                                                             |
| δ_P    | Spostamento sotto l'azione del carico P                                                 |
                                                      

===== Riferimenti =====

Comando per il lancio del programma maxima

  wxmaxima
  
{{:wikitelaio2016:v000.wxm|codice cattedrapre pausa intermedia}}

{{:wikitelaio2016:v001.wxm|codice cattedra a fine lezione}}



====Autori====
Daniele Coelli, mat.104944 , Andrea Bellucci, mat. 105204, Andrea Bertolini, mat. 101174.

====Tabella di monitoraggio carico orario====

Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. 

^ Autore/Revisore   ^  Prima stesura  ^  Prima revisione  ^  Seconda stesura  ^ Revisione finale  |           |
| Daniele Coelli    |  **4 **         |  ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
| Andrea Bellucci   |  **4 **         |  ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
| Andrea Bertolini  |  **4 **         |  ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
| Revisore 1        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
| Revisore 2        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
| Revisore 3        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
| Revisore 4        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
| **Totale**        |  **12 **        |  ---              |  ---              |  ---              |  **12 **  |





====== varie ======


regole spicciole di valutazione (ev):

''sin(alpha)''

prima valuto i parametri passati alla funzione (''alpha''), poi valuto la funzione sui parametri già valutati.


''a + b''    equivalente a   ''somma(a,b)''


Assegnazioni

''variabile  :  contenuto''

Prima valuto il contenuto (cuò che è a DX del '':''), poi lo associo alla variabile. 
NON valuto mai la variabile (ciò che è a SX del '':'' ), almeno non spontaneamente

~~DISCUSSION~~