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====== CONSIDERAZIONI SULL'ANALISI DINAMICA DELLA MOLLA CON E SENZA SMORZAMENTO ======
 
Le seguenti considerazioni saranno riferite ad una molla a filo cavo sottoposta ad un'analisi dinamica e aventi le caratteristiche decritte in tabella:


| **raggio medio**                              | 20 mm          |
| **passo**                                     | 15 mm          |
| **diametro esterno filo**                     | 12 mm          |
| **diametro interno filo**                     | 6 mm           |
| **numero spire**                              | 4.5            |
| **materiale**                                 | Titanio        |
| **spostamento armonico imposto all'estremo**  | ampiezza 1 mm  |

La molla è vincolata all'estremo superiore da un incastro e all'inferiore da una coppia prismatica, come rappresentato in figura.
{{ :wikipaom2017:caric_molla.png?nolink&400| Schema del sistema}}

{{:wikipaom2017:molla.png?nolink&400 ||Mesh adottata}} 


===== Valutazione del carico a bassa frequenza =====

Come si può osservare dal seguente grafico, la risposta dinamica del sistema eccitato a basse frequenze è molto simile alla risposta statica.

{{ :wikipaom2017:nonsmorz4.png?nolink |}}

Questo mette in luce un,altra possibile applicazione dell'analisi modale del sistema. Infatti se l'eccitante che andrà a sollecitare la struttura è sufficientemente bassa rispetto la prima frequenza propria allora si potrebbe procedere (in base al grado di accuratezza voluto dall'analisi) allo studio del sistema in caso statico, abbassandone così il costo computazionale e la complessità (matrice massa M=0). 


===== Introduzione dello smorzamento nell'analisi =====

{{ :wikipaom2017:risposta_nodo_213.png?nolink |}}
L'analisi svolta fin ora è stata effettuata in assenza di smorzamento. Per questo motivo è possibile effettuare soltanto delle valutazioni qualitative riguardo ai picchi di risonanza osservabili nel grafico. Infatti la loro ampiezza dipende solo dalla prossimità del punto di campionamento alle frequenze proprie del sistema a cui corrispondono dei picchi d'ampiezza infinita. Per questo motivo non è possibile fare nessuna valutazione di tipo ingegneristico. 
Inserendo lo smorzamento potrò in seguito andare ad osservare in modo più critico il comportamento della struttura.


====Rayleigh Damping ====
Il damping (o smorzamento critico) è definito come: $\zeta = \frac{1}{2}(\frac{\alpha}{2 \pi f}+2 \pi f \beta)$,
in funzione quindi dei coefficienti $\alpha$ (contributo della matrice massa alla matrice smorzamento) e $\beta$ ( contributo della matrice rigidezza alla matrice smorzamento).
Nel Marc $\alpha$ e $\beta$ sono chiamati rispettivamento MASS MATRIX MULTIPLIER e STIFNESS MATRIX MULTIPLIER.

La scelta del valore di $\zeta$ viene fatta usando opportuni testi di riferimento, in questo caso si sceglie $\zeta=0.01$ supponendo nullo $\alpha$ e di conseguenza il contributo della matrice massa alla matrice smorzamento. Dalla relazione $\zeta = \frac{1}{2}(\frac{\alpha}{2 \pi f}+2 \pi f \beta)$ con $\alpha=0$ ottengo $\beta= 0.01 \cdot g(f)=\frac{0.01}{\pi f}$.

Approfondimenti riguardo i coefficienti del damping possono essere trovati [[https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/wikipaom2017/090.120.000|qui]].


==== Comandi Marc ====

Per inserire uno smorzamento strutturale (es. 1% del critico) occorre seguire i seguenti step:
  * accedere al menu ''MAIN -> MATERIAL PROPERTIES -> MATERIAL PROPERTIES'';
  * definire preventivamente una table da menu ''TABLES'', ''NEW -> 1 INDIPENDENT VARIABLE''
    * settare ''TYPE'' della //Indipendent variable v1// come ''frequency''
    * definire la //table// per ''FORMULA'' e battere ''1/pi/v1'', ossia si definisce una $g(f)=\frac{1}{\pi f}$((Analiticamente $\beta$ dovrebbe essere espresso in funzione delle frequenze proprie del sistema che però non sono disponibili, per questo si usano quelle di picco ottenute precedentemente che, essendo sufficientemente prossime a quelle proprie, introducono comunque un'effetto smorzante sui picchi di risonanza.))

{{ :wikipaom2017:smorz1.png?nolink |}}

  * tornare al menu ''MAIN -> MATERIAL PROPERTIES -> MATERIAL PROPERTIES'';
  * inserire i dati relativi al materiale in esame ("titanio"), quindi entrare nel menu ''STRUCTURAL -> DAMPING'' e attivo ''DAMPING'';
  * lasciare a valore nullo lo ''MASS MATRIX MULTIPLIER''
  * definire uno ''STIFFNESS MATRIX MULTIPLIER'' pari allo smorzamento frazione del critico desiderato, nel caso specifico ''0.01'';



{{ :wikipaom2017:smorz.png?nolink |}}
  * modularlo tramite una //TABLE// cliccando sul menu ''TABLE'' che affianca //stiffness matrix multiplier//
  * scegliere la table creata precedentemente, quindi cliccare ''OK'' e ancora ''OK'' per tornare al menu "MATERIAL PROPERTIES";
  * in questo modo si è definito lo smorzamento fraz. del critico in funzione dei coefficienti $\alpha$ e $\beta$ del Rayleigh damping, supponendo nullo $\alpha$ e quindi il contributo della matrice massa alla matrice smorzamento. In pratica si è ottenuto $\zeta = \frac{1}{2}(\frac{\alpha}{2 \pi f}+2 \pi f \beta)$ con $\alpha=0$ e $\beta= 0.01 \cdot g(f)=\frac{0.01}{\pi f}$, da cui $\zeta=0.01$ come desiderato;
  * passare quindi al menu ''MAIN -> JOBS'' e creare una copia del job di risposta in frequenza non smorzata selezionandolo e utilizzando il comando ''COPY'' in alto a sinistra((benchè le proprietà siano diverse dalle predenti si consiglia di rinominare il job per non incappare in errori di lettura da parte del programma altre che rendere lo studio più chiaro));
  * accedere al menu ''PROPERTIES'', selezionare ''ANALYSIS OPTIONS'', attivare ''COMPLEX DAMPING'' dal blocco //dynamic harmonic// e quindi confermare con ''OK'';
  * accedere a ''JOB RESULTS'' e attivare ''Stress'' e ''Equivalent von Mises stress'';
  * Si procede quindi a lanciare il calcolo come di consueto da ''RUN -> SUBMIT'' e aprendo il file dei risultati con ''OPEN POST FILE (RESULTS MENU)'';
  * Si analizza, a titolo di esempio, lo spostamento in direzione $z$ di 5 nodi sulla stessa verticale:
    * dal menu POSTPROCESSING ''RESULTS'', con file dei risultati t16 aperto, procedere entro il menu ''HISTORY PLOT'';
    * definire i punti di campionamento con ''SET LOCATIONS'', fornendo quindi al prompt ''146'' [invio], seguito da un ''END LIST'';
    * definire il range di sotto incrementi di campionamento da ''INC RANGE'', fornendo quindi al prompt ''0:1'' [invio], ''0:991'' [invio], ''1'' [invio]. Tali valori rappresentano i sotto incrementi di inizio, fine e il passo di campionamento;
    * procedere a compilare diagrammi sulla base dei dati appena campionati dal menu ''ADD CURVES'', quindi ''ALL LOCATIONS'' (si seleziona un solo punto di campionamento). Si compila un grafico che abbia come asse delle ascisse la global variabl ''Frequency'' e come asse delle ordinate ''Displacement Z Magnitude'' infine con ''FIT'' adatto le scale del grafico alla curva; 
{{ :wikipaom2017:smorz2.png?nolink |}}
    * Con ''RETURN'' si torna al menu HISTORY PLOT dove si può ridurre la frequenza delle etichette indicanti l'incremento portando ''SHOW IDS'' da '1' a '100';
  * Benchè il grafico ottenuto non abbia grosse differenze rispetto al precedente, in questo caso i picchi che precedentemente erano solo un indicatore della vicinanza ad una frequenza propria ora assumono un falore che può essere sfruttato per considerazioni ingegneristiche, con oscillazione massima dell'ordine dei 30 mm in corrispondenza della prima pulsazione propria((si ricorda che con l'introduzione dello smorzamento si è limitata la risposta in presenza delle frequenze proprie.)). È ora visibile che alcuni modi propri, pur non essendo strettamente ortogonali all'eccitante, risultano scarsamente accoppiati e facilmente contenuti da un ridotto smorzamento strutturale.


==== GRAFICI PER CONSIDERAZIONI DI CARATTERE INGEGNERISTICO ====

Di seguito vengono riportati alcuni grafici sulla base dei quali è possibile fare alcune considerazioni sulla risposta del sistema.

{{ :wikipaom2016:molla_rispostasmorzata_historyplot.gif |}}
Grafico di risposta del sistema smorzato in termini di ampiezza di oscillazione z di un nodo a centro molla in funzione della frequenza del moto eccitante. Occorre verificare le ampiezze di oscillazione tra due sezioni corrispondenti di spire contigue per verificare che non vi sia compenetrazione tra le spire. 

{{ :wikipaom2016:molla_rispostasmorzataenon_a_confronto.gif |}}
Nel grafico sono riportate le risposte in termini di ampiezza di oscillazione z di un nodo a centro molla in funzione della frequenza del moto eccitante per il caso NON smorzato (curva rossa) e per il caso smorzato (curva verde) con smorzamento 1% del critico. Si nota che nel caso smorzato alcuni picchi di risposta risonante sono ridotti in entità fino ad essere coperti dalle code del modo principale. Si consiglia quindi di inserire un pur piccolo smorzamento (es. 0.005((minimo valore associabile a $\zeta$))) per filtrare i modi risonanti eccitati solo in misura minimale.