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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+**Stabilità della trave flessionale a carico assiale**
+Nei corsi passati abbiamo visto come si comporta un determinato provino, a caratteristica elastica, sotto carichi di trazione. Si distinguono dunque due grafici di risposta elastica, uno dato dalle σ,ε ingegneristiche e l'altro dalle σ,ε vere.{{ :wikipaom2017:grafico3.png |}}
+Solitamente, nell'implementazione comune, lo step 0 è quello scarico, quindi ho spostamento nullo e forze applicate nulle, mentre lo step 1 è la struttura caricata da una forza {{:wikipaom2017:f_1.gif|}} che genera uno spostamento {{:wikipaom2017:u_1.gif|}}{{ :wikipaom2017:grafico5.png |}}
+L' idea è quella di andare da 1 a 0 con lineare elasticità.
+La differenza tra le matrici {{:wikipaom2017:k1.gif|}} - {{:wikipaom2017:k0.gif|}} è chiamata **matrice geometrica** {{:wikipaom2017:kg.gif|}},  è funzione dei carichi e contiene il contributo dello stato precaricato all' istante 1.
+Allora posso dire che:
+{{ :wikipaom2017:somma.gif |}}
+**Instabilità in MARC, modellazione simil NASTRAN**
+Definiamo un sistema di vincoli e carichi per lo step 0, fase //INITIAL LOAD//.
+Il MARC calcola la struttura sotto i carichi iniziali dati, ci troviamo nello step 1: punto 1 di riferimento della secante → tira fuori {{:wikipaom2017:k1.gif|}}.
+Per {{:wikipaom2017:k0.gif|}} : la prende dai vincoli dello step 0 in forma omogenea e senza carichi.
+infine accediamo un //LOAD CASE "BUCKLING"// che fa l'analisi degli autovalori ed autovettori. Questo restituisce come output λ, per ogni grado di libertà disponibile. Tra tutti i λ è importante quello minimo in modulo o il minimo tra i positivi (se il carico è invertibile).
+Vediamo un esempio pratico per chiarezza:
+si prenda una trave semplicemente incastrata con massa attaccata in estremità
+{{ :wikipaom2017:lambda.png |}}
+Esiste un carico critico associato a un modo deformativo tale che λ<0.
+Se siamo certi che λ non cambia di segno, allora posso scartare i λ<0.
+  * Esempio numerico 1:
+{{:wikipaom2017:f..gif|}}
+{{:wikipaom2017:f_1.gif|}} = 1000 [N].
+Se escono
+{{:wikipaom2017:l1.gif|}}
+{{:wikipaom2017:l2.gif|}}
+ecc..
+la stima per il carico critico {{:wikipaom2017:fc.gif|}} è: {{:wikipaom2017:fc.gif|}} = 1234.5 [N].
+L' autovalore dunque dà il fattore di amplificazione dell'incremento di carico che porta al carico critico, mentre l'autovettore fa vedere la soluzione che appare per problemi omogenei nell'intorno della criticità.
+Il metodo fallisce quando, ad esempio:
+{{:wikipaom2017:u.0.gif|}}
+{{:wikipaom2017:f..gif|}}
+da questa configurazione si va a {{:wikipaom2017:f01.gif|}} e {{:wikipaom2017:u01.gif|}}
+----
+{{:wikipaom2017:aui.gif|}} sono gli autovettori usciti dalla matrice rigidezza, nell'intorno di questa condizione.
+Questo metodo ha buona predizione del carico critico se {{:wikipaom2017:u01.gif|}} ⊥ {{:wikipaom2017:au.gif|}}, cioè se <{{:wikipaom2017:u01.gif|}}, {{:wikipaom2017:au.gif|}}> ~ 0 , cioè classici casi di instabilità euleriana.
+  * Esempio 2:
+primo fattore di amplificazione costante {{:wikipaom2017:lu.gif|}}
+{{ :wikipaom2017:immagine1.png |}}
+Considerando F = 1000 [N] e una trave di rigidezza pari a EJ, ottengo un  {{:wikipaom2017:l1cr.gif|}}.
+Il caso A presenta una deformata laterale con spostamento {{:wikipaom2017:au.gif|}} ; il caso B presenta anch'esso una soluzione elastica (estremo secante) con abbassamenti dei nodi di quantità {{:wikipaom2017:u01.gif|}}.
+Il prodotto scalare tra questi campi di spostamento è esattamente zero, in quanto ortogonali.
+  * Esempio 3:
+nel seguente esempio sono rappresentate due molle unite tra loro da cerniere mobili. Sulla cerniera non vincolata al suolo agisce una forza pari a **F**.
+Gli spostamenti concessi avvengono nel piano, quindi in direzione verticale avremo uno spostamento pari a **v** e in orizzontale **u**, abbiamo dunque 2 gradi di libertà.
+{{:wikipaom2017:molle.png|}}
+Una volta applicata la forza, le due molle inizieranno a comprimersi fino ad arrivare ad un punto in cui la F non serve più perché l'equilibrio (instabile) è garantito dalle reazioni orizzontali delle cerniere.
+Possiamo rappresentare graficamente lo spostamento verticale v in funzione della forza F.
+{{ :wikipaom2017:curva.png|}}
+La curva nel piano v,F raggiunge il punto "a" quando le due molle entrano in equilibrio instabile. Affinché questo sia mantenuto, quando i due elementi vanno sotto al piano orizzontale la forza deve cambiare di segno. Ecco perché il grafico prosegue nella parte negativa delle ordinate.
+Supponiamo ora di voler calcolare {{:wikipaom2017:k1.gif|}} tramite {{:wikipaom2017:k0.gif|}} : così facendo sovrastimiamo troppo il sistema, cioè {{:wikipaom2017:kcr.gif|}} !
+Questo accade perché lo spostamento sotto caso sarà:
+{{:wikipaom2017:u_1_.gif|}} = (0,γ) con γ = spostamento verticale generico.
+Mentre nel caso di equilibrio orizzontale:
+{{:wikipaom2017:au.gif|}} = (0,β) questo è dato dal fatto che il moto critico è quello verticale.
+I due vettori dunque non sono ortogonali ⇒ l'autovettore che restituisce l'analisi non è affidabile.
+Il discorso funziona SOLO se sono in prossimità del punto critico.