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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Fenomeni non lineari nelle strutture meccaniche ====== | ||
+ | |||
+ | Ai fini della trattazione le matrici sono identificate con il simbolo <>. | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | Per lo studio di questo fenomeno, si considera un sistema a comportamento non lineare, ad un grado di libertà (lo spostamento u); su questo sistema è applicata una forza F; l' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Non è detto che ci sia un unico punto di massimo carico sostenibile dalla struttura, come mostrato in figura. | ||
+ | I fenomeni non lineari si hanno nel caso in cui la struttura è soggetta a grandi rotazioni, quindi non valgono più le approssimazioni per cui sen(θ)~θ e cos(θ)~1. Sviluppando in serie di Taylor i termini seno e coseno si ha che la relazione sen(θ)~θ è ancora valida, se si trascurano i termini di ordine superiore al secondo, mentre {{: | ||
+ | Si considera un primo livello di carico {{: | ||
+ | La matrice di rigidezza tangente indica in che modo il sistema reagisce a variazioni di carico rispetto alla condizione 0. | ||
+ | Si suppone di applicare un carico leggermente incrementato; | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si dimostra che {{: | ||
+ | Si considera un secondo livello di carico; si ha una seconda matrice di rigidezza tangente. | ||
+ | Per un certo livello di carico, si ha la singolarità della matrice di rigidezza tangente: si ha un punto critico (in caso unidimensionale si ha che {{: | ||
+ | Nell' | ||
+ | Nello stato C si ha che a fronte di piccole perturbazioni di carico si hanno piccole deformazioni. | ||
+ | Il sistema risulta {{: | ||
+ | Con ipotesi di <K> non singolare, se scrivessi che {{: | ||
+ | Ad esempio, si può avere la possibilità di un moto di entità arbitraria in 2D, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ma anche | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | , con {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Metodo secante ===== | ||
+ | |||
+ | A fronte di un certo carico, si ha una determinata matrice di rigidezza tangente. Arrivati al carico {{: | ||
+ | Si suppone di avere un carico pari a {{: | ||
+ | Si procede ad un' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Se il salto tra i due carichi non è alto, la relazione di cui sopra è quasi corretta. | ||
+ | |||
+ | Quando {{: | ||
+ | |||
+ | Si trovano degli autovalori e autovettori {{: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | è soluzione del problema senza incremento di carico. | ||
+ | Considerando valida questa estrapolazione lineare del comportamento della matrice di rigidezza tangente, si trovano dei fattori moltiplicativi dell' | ||
+ | |||
+ | Si definisce quindi il carico critico tramite {{: | ||
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