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+====== Fenomeni non lineari nelle strutture meccaniche ======
+Ai fini della trattazione le matrici sono identificate con il simbolo <>.
+L'instabilità è un fenomeno che si manifesta in situazioni di non linearità geometrica.
+Per lo studio di questo fenomeno, si considera un sistema a comportamento non lineare, ad un grado di libertà (lo spostamento u); su questo sistema è applicata una forza F; l'andamento è ipotizzato non elastico.
+{{:wikipaom2017:grafico3.jpg?400|}}
+Non è detto che ci sia un unico punto di massimo carico sostenibile dalla struttura, come mostrato in figura.
+I fenomeni non lineari si hanno nel caso in cui la struttura è soggetta a grandi rotazioni, quindi non valgono più le approssimazioni per cui sen(θ)~θ e cos(θ)~1. Sviluppando in serie di Taylor i termini seno e coseno si ha che la relazione sen(θ)~θ è ancora valida, se si trascurano i termini di ordine superiore al secondo, mentre {{:wikipaom2017:6.gif|}}. Se non si inseriscono i termini superiori al primo ordine, non si osservano fenomeni di instabilità.
+Si considera un primo livello di carico {{:wikipaom2017:1.gif|}} , da cui si prende un livello di spostamento {{:wikipaom2017:5.gif|}} e una matrice di rigidezza tangente {{:wikipaom2017:9.gif|}} che in caso unidimensionale è uno scalare {{:wikipaom2017:8.gif|}} (già incontrata come matrice jacobiana della funzione residuo).
+La matrice di rigidezza tangente indica in che modo il sistema reagisce a variazioni di carico rispetto alla condizione 0.
+Si suppone di applicare un carico leggermente incrementato; la matrice di rigidezza lega l'incrememto di carico alla variazione di configurazione della struttura.
+{{:wikipaom2017:grafico1.png|}}
+Si dimostra che {{:wikipaom2017:i.gif|}}, con {{:wikipaom2017:p.gif|}} che può essere una variazione di carico ma anche, ad esempio, una variazione dello spostamento imposto.
+Si considera un secondo livello di carico; si ha una seconda matrice di rigidezza tangente.
+Per un certo livello di carico, si ha la singolarità della matrice di rigidezza tangente: si ha un punto critico (in caso unidimensionale si ha che {{:wikipaom2017:8.gif|}}=0 ma in caso multidimensionale si può avere singolarità della matrice senza che essa abbia ogni termine nullo).
+Nell'intorno della condizione critica, si ha la caratterizzazione dello stato C, avente {{:wikipaom2017:o.gif|}}.
+Nello stato C si ha che a fronte di piccole perturbazioni di carico si hanno piccole deformazioni.
+Il sistema risulta {{:wikipaom2017:j.gif|}} e si nota che è in forma non omogenea.
+Con ipotesi di <K> non singolare, se scrivessi che {{:wikipaom2017:l.gif|}}, risulta che se non varia il carico non può variare lo spostamento. Tenendo il carico costante e pari al carico critico, esistono invece soluzioni non banali dell'equazione omogenea, essendo la matrice di rigidezza nulla: può esistere almeno uno spostamento non nullo a fronte di variazione di carico nulla. Questo si verifica con molta più frequenza nei casi multidimensionali rispetto al caso monodimensionale.
+Ad esempio, si può avere la possibilità di un moto di entità arbitraria in 2D,
+{{:wikipaom2017:codecogseqn_1_.gif|}}
+ma anche
+{{:wikipaom2017:codecogseqn_2_.gif|}}
+, con {{:wikipaom2017:codecogseqn_3_.gif|}} quantità arbitraria.
+===== Metodo secante =====
+A fronte di un certo carico, si ha una determinata matrice di rigidezza tangente. Arrivati al carico {{:wikipaom2017:codecogseqn_4_.gif|}}, si suppone di caricare ulteriormente la struttura.
+Si suppone di avere un carico pari a {{:wikipaom2017:codecogseqn_5_.gif|}}. Quale matrice di rigidezza tangente è associabile a questo carico?
+Si procede ad un'estrapolazione lineare del carico {{:wikipaom2017:codecogseqn_5_.gif|}} e della corrispettiva matrice di rigidezza tangente, trovando che è pari a
+{{:wikipaom2017:codecogseqn_6_.gif|}}
+Se il salto tra i due carichi non è alto, la relazione di cui sopra è quasi corretta.
+Quando {{:wikipaom2017:codecogseqn_7_.gif|}} ?
+Si trovano degli autovalori e autovettori {{:wikipaom2017:codecogseqn_9_.gif|}} tali che
+{{:wikipaom2017:codecogseqn_8_.gif|}}
+è soluzione del problema senza incremento di carico.
+Considerando valida questa estrapolazione lineare del comportamento della matrice di rigidezza tangente, si trovano dei fattori moltiplicativi dell'incremento di carico che danno comportamento critico; si trovano le forme di soluzione che risolvono l'omogenea associata; le soluzioni possono essere sovrapposte in quantità arbitraria alla soluzione base anche senza variare il carico.
+Si definisce quindi il carico critico tramite {{:wikipaom2017:codecogseqn_10_.gif|}} ; il carico critico può essere combinazione lineare di più carichi incrementati dello stesso fattore {{:wikipaom2017:codecogseqn_10_.gif|}}.