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Componenti di tensione da definizione cartesiana a polare, per equilibrio.

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testo di riferimento: J.R. Barber, Elasticity, da

[[restricted:materiale_didattico_copyright|Materiale corsi di NON libera distribuzione]]

Argomenti di riferimento:
  * operatore laplaciano e bilaplaciano, p. 49 (65 pdf) in coord. cartesiane, p. 111 (125 pdf) in coordinate polari;
  * costante di Kolosov per tensione e deformazione piana, definizione delle comp. di deformazione p.43 (59 pdf);
  * Airy stress function $\phi$, p. 46 (62 pdf);
  * derivazione di $\sigma_{rr},\sigma_{\theta\theta},\tau_{r\theta}$ da $\phi$, p. 110 (124);
  * termini della soluzione di Michell, componenti di tensione p. 119 (133);
  * termini della soluzione di Michell, spostamenti p. 130 (144).

{{ :wikipaom2017:foro_in_lastra_infinita_v000.wxmx | foglio ad inizio lezione}}

{{ :wikipaom2017:foro_in_lastra_infinita_v003.wxmx | foglio a fine lezione, corretto}} (vedi listato)

{{ :wikipaom2017:foro_in_lastra_infinita_v003_variante_tau_ff.wxmx | foglio come a fine lezione, variante}} far field a $\tau_{xy}=1$, $\sigma_x=\sigma_y=0$

{{ :wikipaom2017:foro_in_lastra_infinita_v004.wxmx | versione ripresa il venerdì successivo}}



====== Foro in lastra a trazione ======

Si vuole valutare lo stato tensionale in una lastra forata caricata a trazione lungo un solo asse (per semplicità). Il risultato verrà poi esteso anche a caricamenti di tipo differente. 

Si nota innanzitutto che i risultati ottenibili considerando una lastra finita con foro piccolissimo sono equivalenti a quelli ottenibili considerando una lastra di lunghezza infinita con un foro di dimensioni finite. Scegliamo quest'ultima opzione.

{{:wikipaom2017:lastra_forata.png?400|}}


===== Ipotesi di lavoro =====

Supponiamo di essere in un caso piano. Sia che ci poniamo in ipotesi di TP o di DP, lo stato tensionale al bordo del foro risulta essere puramente circonerenziale. In entrambi i casi, infatti, la $ \sigma _{r} $ è nulla in quanto ci troviamo in corrispondenza di un bordo libero. Per quanto riguarda, invece, la $ \sigma _{z} $, si distinguono i due casi:
  * TP: $ \sigma _{z}=0 $ per ipotesi
  * DP: $ \varepsilon _{z}= 0 $ e $ \sigma _{z}\neq 0 $. Lo stato tensionale risulta quindi biassiale. Tuttavia, essendo $0 = \sigma _{r } \leq \sigma _{z} < \sigma _{\theta }$, la $\sigma _{z}$ non risulta rilevante per il calcolo della $ \sigma _{id} $ secondo Tresca.
{{:wikipaom2017:sigma_id.png?400|}} {{:wikipaom2017:mohr.png?400|}}

===== Approccio al problema e soluzione =====

L'utilizzo del metodo degli Elementi Finiti risulta problematico. Nel caso della lastra infinita, la difficoltà sta nel costruire un modello infinito, mentre, per l'altra opzione, sta nel rappresentare e lavorare con un elemento (il foro) di dimensioni infinitesime.
Cambiando prospettiva, si decide di utilizzare la Teoria dell'Elasticità.

La soluzione del solido elastico deve rispettare:
  - equazioni di equilibrio nel continuo (equazioni alle derivate parziali);
  - equazioni di compatibilità (garantiscono che gli spostamenti siano ricavabili dalle deformazioni) (vedi nota 1 alla fine della dispensa);
  - equazioni del legame costitutivo (caso omogeneo e isotropo);
  - continuità con le boundary conditions.

Si utilizzano delle particolari funzioni, le Airy Stress Function, che non hanno un senso fisico interessante, ma che risultano utili alla risoluzione del problema.
Le Airy Stress Function sono delle funzioni scalari che annullano il bilaplaciano:

$\bigtriangledown^{4} \phi=0$,

In particolare, possono essere definite in coordinate cartesiane ($\phi(x,y)$) o polari ($\phi(r,\theta)$), ottenendo:
$ \triangledown ^{4}\phi = \frac{\partial^4 \phi }{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 \phi  }{\partial x^2 \partial y^2 } + \frac{\partial^4 \phi }{\partial y^4} = \left ( \frac{\partial^2 }{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 }{\partial y^2} \right )^{2}\phi = 0 $

$ \bigtriangledown ^{4}\phi  = \left ( \frac{\partial^2 }{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2}\right )\left ( \frac{\partial^2 \phi }{\partial r^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial \phi }{\partial r}+ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^2 \phi }{\partial \theta ^2}\right )= 0 $

Tramite le seguenti formule, si ricavano le componenti di tensione:

{{ :wikipaom2017:airy_stress.jpg?400 |}}

dalle quali, infine, si ricavano le componenti di deformazione tramite le equazioni del legame costitutivo.

Il problema elastico consiste nel ricavare le funzioni di Airy che soddisfano le condizioni al contorno sulle tensioni e sugli spostamenti e che, essendo funzioni di Airy, annullano il bilaplaciano. 
Non conoscendo il metodo per risolvere l'equazione di annullamento del bilaplaciano, utilizziamo soluzioni già note, dette soluzioni di Mitchell.

La seguente tabella riporta, nella prima colonna, le Airy Stress Function di base, dalle quali, tramite combinazione lineare, possiamo ricavare la nostra soluzione. Nelle altre colonne compaiono le componenti di tensione corrispondenti.

{{:wikipaom2017:sol_mitchell.jpg?400|}}

Esiste una tabella analoga che permette di calcolare gli spostamenti, che sarebbero ricavabili per derivazione (tramite il legame costitutivo) dalle tensioni:

{{:wikipaom2017:sol_mitchell_def.jpg?400|}}

dove $\mu$ è il modulo di taglio, $u_{r}$ è la componente di spostamento radiale e $u_{\theta}$ la componente di spostamento circonferenziale.

K è la costante elastica detta costante di Kolosov, che risulta definita in modi diversi a seconda che ci si ponga in ipotesi di DP o TP:
$$ \kappa = \left\{\begin{matrix}
3 - 4\nu \rightarrow  TP\\ \frac{3 - \nu }{1+\nu } \rightarrow DP

\end{matrix}\right. $$


Tornando al problema in esame, definiamo ora le condizioni al contorno (in base alle quali selezioneremo poi le funzioni di Airy opportune e grazie alle quali troveremo i coefficienti della combinazione lineare delle funzioni stesse).

In coordinate cartesiane, le condizioni a remoto (pedice _ff) sono le seguenti (vedi figura iniziale):

$\sigma_{x_{ff}}=1$  ,  $\sigma_{y_{ff}}=0$  ,  $\tau_{xy_{ff}}=0 $ 

Risulta tuttavia più comodo lavorare in coordinate polari. Il sistema delle condizioni al contorno risulta:

$$ \left\{\begin{matrix}
\sigma_{r}|_{r=1}=0\\ \tau_{r\theta}|_{r=1}=0
\\ \sigma_{r}|_{r\rightarrow \infty}=f(r,t)
\\ \sigma_{\theta}|_{r\rightarrow \infty}=g(r,t)
\\ \tau_{r\theta}|_{r\rightarrow \infty}=h(r,t)

\end{matrix}\right. $$

Per passare da coordinate cartesiane a coordinate polari si ragiona sul seguente schema:


{{:wikipaom2017:componenti_di_tensione_da_cartesiano_a_polare_v000.png?600|}}


Si preocede ora alla selezione dei termini di base (funzioni di Airy) della combinazione lineare soluzione del problema.

I termini da selezionare sono almeno 5 (ho 5 equazioni derivanti dalle condizioni al contorno). Si procede per esclusione dei termini che non sono idonei, in particolare (vedi tabelle sopra):
  * il termine $r^2$ lo tengo: dà due termini costanti per $\sigma_{r}$ e $\sigma_{\theta}$, in accordo con le condizioni al contorno;
  * il termine $r^2*ln(r)$ non lo prendo: ci si aspetta uno spostamento periodico in $\theta$, ovvero uno spostamento uguale per $\theta=0$ e $\theta=2\pi$, che in questo caso non sarebbe verificato;
  * il termine $ln(r)$ lo prendo in assenza di controindicazioni specifiche;
  * il termine $\theta$ non lo prendo: $\sigma_{r\theta}$ è una componente antisimmetrica che deve essere nulla per la simmetria dell'elemento;
  * i termini in $cos(\theta)$ e in $sin(\theta)$ non li prendo: dalle condizioni al contorno ho ottenuto solamente termini in $2\theta$ (vedi maxima);
  * termini di ordine n: tengo solo quelli di ordine 2. I termini con n>2 portano dei contributi di tensione che divergono allontanandosi dal centro, in contrasto con le mie condizioni al contorno.

Ho identificato quindi i termini che ritengo appropriati per impostare la combinazione lineare:

{{ :wikipaom2017:airy_scelte.jpg?600 |}}

Si ottiene quindi:

{{ :wikipaom2017:airy_comblin.jpg?600 |}}

Inserendo l'espressione di $\phi$ nelle formule scritte sopra si ricavano le componenti di tensione. (vedi maxima)

Imponendo ora le condizioni al contorno si definiscono i coefficienti incogniti. (vedi maxima)

==== Nota 1  ====

Le equazioni di compatibilità garantiscono che il campo degli spostamenti sia ricavabile da quello delle deformazioni.

Tale operazione non è sempre fattibile, come nel seguente esempio: 

{{:wikipaom2017:imm-nota1.jpg?400|}}


Supponiamo di avere un anello e di considerare un suo settore circolare (di estensione pari ad un sesto dell'estensione totale) rappresentativo dell'intera struttura (assialsimmetrica).
Supponiamo di sottoporre il settore circolare ad un campo di tensioni che genera una deformata con andamento rappresentato in figura con il colore rosso. 

Si osserva che in corrispondenza della quota radiale identificata dalla linea blu continua si ha un allungamento della fibra circonferenziale (deformazione circonferenziale positiva, $ \epsilon _{\theta } > 0 $), mentre in corrispondenza della quota radiale identificata dalla linea blu tratteggiata si ha un accorciamento (deformazione circonferenziale negativa,$ \epsilon _{\theta } < 0 $ ). 

Diventa quindi impossibile riuscire a ricomporre la soluzione per l'anello completo, a causa di evidenti compenetrazioni e buchi che violerebbero la continuità del materiale.

{{:wikipaom2017:imm_2_nota.png?200|}}

Si è  quindi dimostrato come un campo di tensioni in equilibrio, applicato ad un corpo, può produrre un campo di deformazioni alle quali non è possibile associare una soluzione agli spostamenti continua, ossia priva di intagli e deformazioni.\\ 
\\ 

====== Listato Maxima ======
Ci si propone ora di implementare le nozioni teoriche precedenti in un codice Maxima.\\ 
Stabiliamo innanzitutto le condizioni di **caricamento a remoto** (far field). Imponiamo una trazione uniforme, lungo x facendo riferimento al sistema di coordinate cartesiane iniziale (vedi teoria). 
{{ :playground:1.png?400 |}}

dove ''sxx_ff'',''syy_ff'' e ''sxy_ff'' sono le tensioni normali e tangenziali a remoto in coordinate cartesiane.
É possibile estendere la trattazione anche ad altri caricamenti a remoto, come ad esempio:

{{ :playground:2.png?400 |}}


Avendo imposto le condizioni di far field in coordinate cartesiane, operiamo un cambio di coordinate al fine di esprimere le tensioni in coordinate polari, coerentemente con la teoria.
{{ :playground:3.png?400 |}}

Le relazioni fra le tensioni nei due sistemi di riferimento sono date dalle relazioni seguenti(pag. 8-9 Barber). 
{{ :playground:4.png?600 |}}

{{ :playground:5.png?600 |}}

{{ :playground:6.png?600 |}}


Dove ''srr_ff'', ''stt_ff'' e ''srt_ff'' sono rispettivamente le tensioni radiale, circonferenziale e tangenziale a remoto nel nuovo sistema di riferimento. Nel caso specifico valgono:
{{ :playground:7.png?500 |}}

Prima di comporre la Airy Stress Function si nota che in tabella di pag. 119 del Barber non compaiono le componenti tensionali in forma $ cos^2(θ) $ e $ sen^2(θ) $ mentre compaiono termini del tipo $ cos(nθ) $ e $ sen(nθ) $. Pensiamo quindi di eseguire uno sviluppo in serie di Fourier (che risulta in forma esatta essendo applicato a funzioni armoniche) in modo da ottenere funzioni trigonometriche in $ nθ $, da cui risalirò al rispettivo termine di Mitchell. Questa operazione viene eseguita mediante la funzione ''trigreduce()'':

{{ :playground:8.png?1000 |}}

Creiamo ora una lista contenente le appropriate soluzioni di Mitchell (vedi teoria) della Airy Stress Function ed una lista con i coefficienti incogniti della combinazione lineare:

{{ :playground:9.png?600 |}}
{{ :playground:10.png?600 |}}

Definisco la Airy Stress Function (ASF) come combinazione lineare delle soluzioni di Mitchell:
{{ :playground:11.png?600 |}}

Ora che abbiamo l'espressione della ASF siamo in grado, mediante le relazioni apposite (pag.110 Barber), di ricavare le componenti di tensione:{{ :playground:12.png?600 |}}

Imponendo le cinque condizioni al contorno discusse nella parte teorica otteniamo cinque equazioni che inseriamo poi nella lista ''eqns[]''. Risolvendo tale sistema si ricaveranno i coefficienti incogniti della combinazione lineare.
  
{{ :playground:13.png?800 |}}

Dobbiamo ora imporre che tali equazioni siano valide per ogni $ θ $: presa una singola equazione, si nota che ciò accade se si ottiene un'identità, ovvero se le singole somme algebriche che in ogni equazione moltiplicano i termini $ cos(2θ) $ e $ sen(2θ) $ siano nulle e allo stesso sia nulla la somma algebrica dei termini costanti.\\ 
Penso quindi, mediante un "trucco", di estrarre dalle equazioni tali somme algebriche tra i coefficienti $ Ai $ mediante l'uso della funzione ''augcoefmatrix()'' (link) specificando come incognite proprio $ cos(2θ) $ e $ sen(2θ) $, in modo da ottenere una matrice i cui termini siano composti da relazioni algebriche tra i coefficienti incogniti della ASF. 
{{ :playground:15.png?400 |}}
Imponendo che ogni termine della matrice ottenuta debba essere nullo, otteniamo la validità per ogni $ θ $.
Inseriamo in una nuova lista ''neweqns[]'' le equazioni ottenute costruendo un ciclo un ciclo iterativo e sfruttando la funzione ''append'' (link):

{{ :playground:14.png?800 |}}

Risolvendo questo sistema di equazioni si ricavano i singoli coefficienti, per far ciò utilizziamo il comando ''linsolve()''.\\ 
Si noti come Maxima elimina automaticamente equazioni linearmente dipendenti da altre.

{{ :playground:16.png?400 |}}

A questo punto è possibile portare sul grafico i risultati ottenuti, definendo le relazione da "plottare".
Il comando usato in Maxima per la realizzazione del grafico è ''wxplot2d ()''.
Le relazioni d'interesse sono 4: 
 
   * //tensione circonferenziale vicino al foro//  
   * //tensione circonferenziale di far field//   
   * //tensione radiale di far field//           
   * //tensione tangenziale di far field//       
{{ :playground:17.png?400 |}}

All'interno del comando di disegno del grafico è opportuno definire il campo di estensione dell'asse delle ascisse, in particolare di //teta// (t), il quale come si vede è l'intervallo $ [-π ; π] $ che definisce l'intero angolo giro.\\ 
Un altro accorgimento può essere l'introduzione di una legenda con l'istruzione ''legend''.
Infine viene definito il campo delle ordinate //y// tra i due valori (+-5.....).

Il grafico che si ottiene è quello riportato di seguito:

{{ :playground:15plot.png?600 |}}

===== Considerazioni Finali =====

Come si può notare dal grafico si è ottenuto uno stato tensionale simmetrico (coerente, data la simmetria della struttura e del caricamento) che presenta due zone circonferenzialmente trattive e due compressive a bordo foro. Nelle zone trattive il valore tensionale massimo è all'intersezione tra asse y e bordo foro e vale circa 3 MPa in linea con quanto ci si aspettava: il valore del fattore di forma, ovvero il rapporto fra tensione teorica e nominale, in prossimità del bordo libero per un foro infinitesimo in una lastra a trazione (si ricorda che stiamo studiando la struttura equivalente in cui il foro è sì di dimensioni finite, ma in una lastra infinita) è infatti di 3 (vedi A. Strozzi - Costruzione di Macchine, pag. 315).\\ 




**NOTA CONCLUSIVA**: Nella definizione delle funzioni si è usato il comando ''define ()'' e non '':='' in quanto la valutazione della funzione doveva essere fatta immediatamente all'atto della definizione e non all'atto dell'introduzione degli argomenti specifici, come si può notare dalla figura sottostante. 
{{ :playground:19.png?400 |}}

Per ulteriori chiarimenti riguardo le differenze tra i due metodi di definizione delle funzioni, si allega il link che fa riferimento alla questione:  [[https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/wikipaom2017/020.090.000]]