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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ===== Carico nodale equivalente ===== | ||
+ | L’elemento triangolare, | ||
+ | * Carico distribuito di superficie ($s_x, | ||
+ | * Carico distribuito di volume ($q_x, q_y$); | ||
+ | * Carico distribuito di spigolo (solitamente non considerato); | ||
+ | * Carico concentrato nodale ($P_x, P_y$) che nel caso bidimensionale coincide con i carichi di spigolo;\\ \\ | ||
+ | |||
+ | Sia dato un carico distribuito di volume in componenti $q_x,q_y$ applicato ai punti interni di un elemento triangolare CST. | ||
+ | |||
+ | Ai lati dello stesso elemento sono applicate delle azioni distribuite di superficie $s_x, s_y$, eventualmente definite in termini di una pressione distribuita $p$ e di un' | ||
+ | |||
+ | Si ammette inoltre la presenza di carichi esterni concentrati $P$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} | ||
+ | P_{ix}\\ | ||
+ | P_{iy}\\ | ||
+ | P_{jx}\\ | ||
+ | P_{jy}\\ | ||
+ | P_{kx}\\ | ||
+ | P_{ky} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Occorre ridurre tutti i carichi distribuiti ad un unico carico $F$, le cui componenti le ipotizziamo concentrate sui nodi dell' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} | ||
+ | F_{ix}\\ | ||
+ | F_{iy}\\ | ||
+ | F_{jx}\\ | ||
+ | F_{jy}\\ | ||
+ | F_{kx}\\ | ||
+ | F_{ky} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Tale procedimento avviene tramite considerazione di tipo energetico, ovvero per ricondurmi ad $F$ si ricorre al principio dei lavori virtuali. I carichi concentrati nodali $F$ devono compiere il medesimo lavoro che compierebbero quelli distribuiti e concentrati ($q,s,P$) per ogni spostamento. | ||
+ | Definisco quindi il generico spostamento virtuale dei nodi dell' | ||
+ | |||
+ | A fronte dello spostamento virtuale $\delta \boldsymbol{d}$ dei nodi dell' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \delta u (x, | ||
+ | \delta v (x,y) | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\delta \boldsymbol{u}(x, | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | N_i & 0 & N_j & 0 & N_k & 0 \\ | ||
+ | 0 & N_i & 0 & N_j & 0 & N_k | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\boldsymbol{\mathrm{N}}(x, | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \delta u_i \\ | ||
+ | \delta v_i \\ | ||
+ | \delta u_j \\ | ||
+ | \delta v_j \\ | ||
+ | \delta u_k \\ | ||
+ | \delta v_k | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\delta \boldsymbol{d }} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Dove il primo membro corrisponde al vettore degli spostamenti virtuali in direzione x e y. | ||
+ | |||
+ | Il lavoro virtuale di tali azioni concentrate e distribuite è | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \delta W = | ||
+ | \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} | ||
+ | \boldsymbol{P} | ||
+ | + \iint_{\mathrm{area}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} | ||
+ | | ||
+ | q_x \\ | ||
+ | q_y | ||
+ | | ||
+ | + \int_{\mathrm{perim.}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} | ||
+ | | ||
+ | s_x \\ | ||
+ | s_y | ||
+ | | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Dove il primo addendo corrisponde al lavoro virtuale delle forze concentrate applicate, il secondo è dovuto al lavoro virtuale delle azioni di volume e infine il terzo corrisponde al lavoro virtuale delle forze di superficie. | ||
+ | Con t spessore supposto costante. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \delta W = | ||
+ | \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \left( | ||
+ | \boldsymbol{P} | ||
+ | + \iint_{\mathrm{area}} \boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} | ||
+ | | ||
+ | q_x \\ | ||
+ | q_y | ||
+ | | ||
+ | + \int_{\mathrm{perim.}}\boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} | ||
+ | | ||
+ | s_x \\ | ||
+ | s_y | ||
+ | | ||
+ | \right)}_{\boldsymbol{F}} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | da cui la definizione di forze nodali equivalenti | ||
+ | $ | ||
+ | \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} | ||
+ | F_{ix} & F_{iy} & F_{jx} & F_{jy} & F_{kx} & F_{ky} | ||
+ | \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} | ||
+ | $ | ||
+ | ; tale equivalenza è definita in termini di egual lavoro virtuale su di uno spostamento virtuale generico. Ovvero deve valere per ogni spostamento virtuale. | ||
+ | |||
+ | La singola componente di $\boldsymbol{F}$ è definibile come il lavoro delle forze applicate all' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | X_j = | ||
+ | P_{x, | ||
+ | + \iint_{\mathrm{area}} q_x N_j(x,y) t dA | ||
+ | + \int_{\mathrm{ij}} s_x N_j(x,y) tdl | ||
+ | + \int_{\mathrm{jk}} s_x N_j(x,y) tdl | ||
+ | + \int_{\mathrm{ki}} s_x N_j(x,y) tdl | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ove gli ultimi tre integrali sono da svolgersi scorrendo sui lati $\mathrm{ij}$, | ||
+ | |||
+ | Nel caso $q_x$ o $s_x$ risultino costanti è possibile estrarli dagli integrali ed utilizzare le proprietà integrali della funzione di forma $N_j$ associata al nodo $\mathrm{j}$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{ | ||
+ | \iint_{\mathrm{area}} N_j(x,y) dA | ||
+ | }{A} = \frac{1}{3} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{ | ||
+ | \int_{\mathrm{ij}} N_j(x,y) dl | ||
+ | }{l^{\mathrm{ij}}} = | ||
+ | \frac{ | ||
+ | \int_{\mathrm{jk}} N_j(x,y) dl | ||
+ | }{l^{\mathrm{jk}}} = \frac{1}{2} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{ | ||
+ | \int_{\mathrm{ki}} N_j(x,y) dl | ||
+ | }{l^{\mathrm{ki}}} = 0 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ove $l^\mathrm{ij}$, | ||
+ | |||
+ | Si ottengono quindi le relazioni semplificate descritte nel paragrafo seguente. | ||
+ | ==== Caso particolare: | ||
+ | |||
+ | Consideriamo uno spostamento virtuale del seguente tipo, in cui solo il nodo $j$ si muove nella sola direzione $x$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Il lato $ik$, per qualunque azione su di esso applicata, non da alcun contributo al lavoro virtuale poichè non subisce spostamento. Se $q_x$ e $q_y$, come anche $s_x$ e $s_y$, sono costanti, posso allora considerare non tanto la loro distribuzione, | ||
+ | |||
+ | Il lavoro virtuale che ciascuna di queste forze compie sarà pari alla forza per l'area su cui agiscono, moltiplicata per lo spostamento che subisce il punto d' | ||
+ | |||
+ | Poichè lo spostamento imposto al nodo $j$ è unitario in direzione $x$, quello compiuto dai punti di centro lato, in cui è applicata $s_x$ sarà pari ad 1/2, mentre quello compiuto dal baricentro, in cui è applicata $q_x$ è pari ad 1/3. | ||
+ | Quindi il lavoro complessivo sarà la somma di tutti questi lavori. | ||
+ | |||
+ | Il carico su di un nodo può essere pensato come distribuito su di un' | ||
+ | |||
+ | C'è perfetta equivalenza tra un carico concentrato sul nodo e un carico distribuito sulla corrispondente area di pertinenza (o sul lato che delimita tale area). | ||
+ | |||
+ | Si preda in considerazione 1/3 dell' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Tale modello ad aree di influenza nodale **non** risulta coerente con la definizione energetica nel caso di carichi variabili nello spazio, ad esempio ad andamento lineare in $x$ o $y$; l' | ||
+ | |||
+ | Si prenda in esame il seguente esempio riportato in figura. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si può dire che per via dell' | ||
+ | |||
+ | La forza nodale complessiva sarà la somma delle risultanti delle singole azioni pesate in base agli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Sorgenti ipe: | ||
+ | {{ : | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Altro ===== | ||
+ | |||
+ | {{: |