Generalmente un componente meccanico è sottoposto a stati di tensione e deformazione triassiali; tuttavia in alcuni casi, è possibile semplificare le analisi sperimentali e agli elementi finiti considerando il suo stato di tensione o di deformazione come piano. E' possibile dare una interpretazione matematica e una fisica.

Si consideri un corpo piano e sia z l'asse perpendicolare alla faccia del corpo. Da un punto di vista matematico si parla di stato tensionale piano se si ha, per tutti i punti del corpo :

$$\sigma_{z}=0$$

$$\tau_{zx}=\tau_{zy}=0$$

Invece si parla di deformazione piana se :

$$\varepsilon_{z}=0$$

$$\gamma_{zx}=\gamma_{zy}=0$$

Da un punto di vista fisico, affinché un corpo tridimensionale possa considerarsi in uno stato di tensione o deformazione piana è necessario (ma non sufficiente) che esista una direzione z tale per cui le sezioni del corpo perpendicolari a z risultano tutte geometricamente uguali tra loro e caricate nello stesso modo (si consideri come esempio un tubo in pressione avente asse z: le sezioni ortogonali all'asse del tubo sono geometricamente uguali e ugualmente caricate).

Ulteriori condizioni necessarie affinché si possa parlare di stato tensionale piano sono:

• Piccolo spessore del corpo in direzione z;
• Caricamento giacente nel piano xy;
• Eventuali reazioni vincolari agenti nel piano xy e non in direzione z.

Consideriamo corpi di piccolo spessore (lastre) rappresentati in fig.1, che soddisfano la condizione necessaria sopra citata.

Analizzando i corpi (a), (b) e ( c), possiamo dire che essi sono sottoposti a uno stato di tensione piano in quanto, le tensioni $\sigma_{z}$, $\tau_{zx}$, $\tau_{zy}$ sono nulle su tutti i punti delle facce e trascurabili sui punti interni, essendo lo spessore del corpo molto piccolo.

$$Fig.1$$

Il corpo (d) invece è formato da una lastra ancorata ad un basamento supposto rigido e indeformabile. Lo spessore della lastra non può variare in direzione z in prossimità del basamento e questo genera delle tensioni $\sigma_{z}$ trattive che impediscono allo spessore di diminuire. Il caricamento quindi non giace nel piano xy e di conseguenza lo stato tensionale non può essere considerato piano.

Le condizioni aggiuntive necessarie per affermare di trovarsi in uno stato di deformazione piana sono:

• Spessore elevato del corpo in direzione z;
• Carico giacente nel piano xy.

L’instaurarsi dello stato di deformazione piana è facilitato da uno stato di tensione fortemente non uniforme nel piano xy (in alcune zone risultano sottocaricate rispetto ad altre).

Consideriamo in fig.2(a) un cilindro di grosso spessore in direzione z, deformabile e inserito tra due piani rigidi. Il contatto tra cilindro e piani è ritenuto senza attrito per semplicità (contatto Hertziano). Questo corpo soddisfa la condizione necessaria di stato tensionale o deformazione piana, in quanto, le sezioni perpendicolari a z del cilindro sono tutte geometricamente uguali (Fig.2(b),( c)) e la pressione di contatto può essere considerata approssimativamente uniforme in direzione z.

$$Fig. 2$$

Il cilindro è soggetto prevalentemente ad uno stato di deformazione piana; considerando infatti per semplicità che sia fatto di gomma (materiale molto deformabile), la zona centrale della sezione perpendicolare a z risulta sottocaricata rispetto alle porzioni di cilindro a contatto con i piani e si comporta come rigida e trattiene gli strati di materiali adiacenti in tutte le direzioni, quindi anche in direzione laterale x e in direzione assiale z.

I fenomeni di “baffo” assiali (Fig. 2(g)) e laterali (Fig. 2(f)) nelle zone di contatto molto caricate, chiamati in gergo EFFETTO POISSON, sono più visibili quanto più ci si allontana dalla sezione di mezzeria, ove sono nulli per motivi di simmetria, ma sono comunque piccoli e sfavoriti, in virtù di:

• Trattenimento da parte della zona centrale sottocaricata, che non si allunga né si accorcia (Fig. 2(e));
• Considerevole lunghezza del corpo, che determinerebbe deformazioni fisicamente inaccettabili in corrispondenza delle due facce piane

Per capire quello di cui stiamo parlando immaginiamo di tagliare il cilindro con piani perpendicolari alle facce piane, ottenendo un fascio di elementi a sezione piccolissima e a elevato sviluppo assiale (Fig.2(h)). In questo modo, a meno di attriti tra le superfici laterali degli elementini, si annullano le tensioni tangenziali $\tau_{zx}$ e $\tau_{zy}$ ed anche l’azione frenante in senso assiale. L’ingobbarsi delle sezioni perpendicolari all’asse z è sicuramente maggiore di quello che si ha nel cilindro continuo, schiacciato tra due piastre. Pur essendo presente lo scorrimento assiale, possiamo dunque concludere che è accettabile l’ipotesi di deformazione piana nella zona centrale del corpo (Fig.2(i)) poiché il fenomeno risulta trascurabile. Più specificatamente dalla Fig.2(i) si nota che la parte centrale del cilindro è soggetta ad uno stato di deformazione piana, le facce frontali ad uno stato di tensione piana ed esistono poi due zone di transizione tra uno stato e l’altro, alle estremità del cilindro.

Possiamo osservare lo stesso fenomeno nella Fig.3, dove sono presenti due rulli metallici ricoperti da un sottile strato elastomerico che si comporta come lo strato tensionalmente attivo del cilindro nel caso precedente: l’anima metallica trattiene lo scorrimento assiale del materiale e di conseguenza nello strato elastomerico, lontano dalle facce frontali, nasce uno stato prevalente di deformazione piana.

$$Fig.3$$

In fig.4(a) possiamo vedere il caso di una mensola deformabile soggetta a carico uniformemente distribuito lungo l’estremità, simile al caso di un dente di ingranaggio caricato in punta. Le sezioni della mensola perpendicolari a z sono tutte geometricamente uguali e ugualmente caricate (Fig.4(b),( c)) e quindi risulta soddisfatta la condizione necessaria perché si verifichi uno stato di tensione o di deformazione piana. Il materiale in cui la mensola è incastrata è sottotensionato sia rispetto alla mensola che al materiale nella zona dell’incastro: vedremo che sarà presente uno stato di deformazione piana.

$$Fig.4$$

Consideriamo al solito il corpo costituito da materiale molto deformabile; la zona poco prima della mensola rimane indeformata: la zona sottotensionata si deforma poco ed effettua trattenimento sulle zone adiacenti tensionalmente attive in tutte le direzioni, cosa che favorisce l'instaurarsi di uno stato di deformazione piana nei pressi dell'incastro. Tale trattenimento non riesce ad esercitarsi anche sui tratti “lontani” di mensola, i quali però si trovano ancora in deformazione piana a causa dell'ingobbarsi delle sezioni sul piano xy.

Inoltre a causa dell’inflessione dovuta al carico, le fibre della mensola in direzione x, giacenti sulla faccia superiore sono caricate in trazione e tendono quindi a contrarre la loro sezione trasversale: ; le fibre sulla faccia inferiore invece sono compresse in direzione x e tendono quindi ad allargarla (Fig.4(d)). Si genera quindi un effetto sella, ben visibile se si flette una gomma da cancellare.

Gli ingobbamenti sono tanto maggiori quanto più ci si allontana lungo z dalla mezzeria della mensola (Fig. 4© e Fig. 4(e)). Si ha un flusso di materiale in direzione z nelle zone sopra e sotto il piano medio della mensola, il quale, essendo scarico, contiene punti che non fluiscono lateralmente. Tali flussi si ostacolano a vicenda, specie se lo spessore della mensola in direzione z è abbastanza elevato. Nel caso della gomma da cancellare sottoposta a flessione, si osservi che, essendo il suo spessore in direzione z non troppo grosso, l'effetto sella è ben più marcato (fig. 5).

$$Fig. 5$$

In conclusione si può affermare che la zona centrale della mensola lavora in deformazione piana, le facce laterali lavorano in tensione piana ed esiste una zona di transizione tra deformazione e tensione piana (Fig.4(l) ed (m)).

Consideriamo in Fig. 6(a) uno spinotto automobilistico cavo soggetto alla pressione di ovalizzazione.

$$Fig. 6$$

La sezione circolare si deforma in una sezione ellittica avente semiasse orizzontale maggiore. Lo schiacciamento tende ad allungare le fibre interne e ad accorciare quelle esterne. Si generano pertanto delle tensioni circonferenziali trattive nei punti B-C-F-G e tensioni compressive nei punti A-D-E-H (Fig. 6( c)).

Gli allungamenti e gli accorciamenti delle fibre circonferenziali generano rispettivamente, per effetto Poisson, contrazioni e dilatazioni assiali (in direzione z) (Fig. 6(d)). Pertanto lo spinotto si allunga assialmente nei punti A-D-E-H e si accorcia nei punti B-C-F-G. Vi sono poi quattro zone di transizione (si rappresenta unicamente quella compresa tra I e L) che non si allungano né si accorciano. Ne segue che le varie sezioni dello spinotto tendono ad ingobbarsi tanto più quanto ci si allontana dalla mezzeria stessa (che si mantiene indeformata), ostacolandosi a vicenda e favorendo l’instaurarsi della deformazione piana.

• Corpi di spessore sottile che non lavorano totalmente in tensione piana

$$Fig.7$$

In Fig. 7(b) si ha una lastra sottile, caricata nel piano xy, con un intaglio a spigolo vivo. Nella zona dell'intaglio si hanno valori di tensione matematicamente infiniti. La zona sottocaricata è immediatamente adiacente: si hanno quindi dei gradienti di tensione elevati che trattengono le fibre nella zona dell'intaglio, impedendo loro di variare il loro spessore. Pertanto la zona dell'intaglio si trova in uno stato intermedio tra tensione e deformazione piana: la tensione piana si ha solo nella zona lontana dall'intaglio.

Nel caso della lastra sottile di fig. 7(a), si ha un (seppur piccolo) raggio dell'intaglio; l'effetto intaglio si fa sentire meno e si hanno perciò valori meno elevati di gradienti di tensione. Il corpo non è comunque interamente in tensione piana, anche se ci si avvicina maggiormente a tale condizione rispetto al caso di Fig. 7(b).

In Fig. 7( c) si ha una situazione analoga: in questo caso però l'elevato gradiente di tensione è causato dalla presenza del carico concentrato, e non dalla presenza di intagli.

• Corpi di grosso spessore che non lavorano totalmente in deformazione piana

$$Fig.8$$

Consideriamo (Fig. 8(a)) un tubo di grosso spessore (estensione) in direzione z, dotato di soffietti di dilatazione laterali agli estremi. Pur essendo la lunghezza assiale z elevata, il tubo non lavora in deformazione piana, bensì in tensione piana. Le tensioni radiali e circonferenziali dovute alla pressione interna agenti sul piano xy variano con il raggio, ma la deformazione assiale che tali tensioni generano è indipendente dal raggio, cioè costante sul piano xy delle sezioni. Pertanto le sezioni non si ingobbano e non nascono effetti di trattenimento che favorirebbero l'instaurarsi della deformazione piana. Il tubo è libero, grazie ai soffietti, di allungarsi o accorciarsi alle sue estremità: lavora dunque in tensione piana.

In Fig.8(b) è rappresentata una trave in grosso spessore nelle direzioni z e x, soggetta a trazione lungo y. In questo caso si genera nel corpo uno stato tensionale uniforme monodimensionale in direzione y e quindi non avvengono ingobbamenti delle sezioni. Esse si contraggono in direzione x ed y finchè non si instaura ovunque nel corpo uno stato di tensione piana. La trave è quindi in tensione piana sia relativamente alla direzione x che alla direzione z. Poiché i piani perpendicolari alla direzione z traslano senza ingobbarsi, si ha per tutti i punti del corpo una condizione detta di DEFORMAZIONE PIANA GENERALIZZATA, in cui $\varepsilon_{z}=cost$ e $\gamma_{zx}=\gamma_{zy}=0$

La Fig.8( c) è una trave a sezione quadrata schiacciata tra due piani assunti rigidi (si consideri per semplicità attrito nullo). In questo caso non vi sono zone adiacenti altamente caricate e debolmente caricate, ma lo stato tensionale è compressivo uniforme in direzione y. Non essendoci ingobbamenti delle sezioni lo stato tensionale dei punti interni rimane uguale a quello sulle pareti non caricate, per cui la trave risulta in tensione piana sia in direzione x che in direzione z.

$$Fig.9$$

Si consideri ora in Fig. 9 un pannello di elevata estensione z sottoposto a flessione. L'andamento delle tensioni è a farfalla, ma il tratto centrale di polistirolo, essendo molto deformabile, assorbe poco carico, che si distribuisce invece quasi interamente sulle lamine metalliche (più rigide). La lamina superiore è soggetta a compressione semplice in direzione x, mentre quella inferiore a trazione semplice. Lo strato centrale di polistirolo non è in grado di impedire le contrazioni in direzione z delle due lamine derivanti dalle tensioni di flessione. Pertanto le lamine metalliche, nonostante lo spessore elevato del pannello in direzione z, lavorano in tensione piana nelle direzioni x ed y.

È un teorema che vale per casi piani (sia TP che DP) e risponde alla domanda se le tensioni, nel piano delle tensioni, sono indipendenti da E e da $\nu$, lo stato tensionale è lo stesso per stato di TP e per stato di DP.

Nota: le condizioni al contorno sono sulle tensioni o sulle forze, e non sugli spostamenti.

È molto importante per le guarnizioni elastomeriche dove $\nu = 4,999... $ , quindi è virtualmente incomprimibile, ma non si comporterà mai come perfettamente incomprimibile.

$$Fig.10$$

In Fig.10 sono riportati alcuni esempi piani di applicabilità del teorema di Mitchell.

L’esempio (a) è un disco pieno, caricato: le tensioni sono indipendenti dalle costanti elastiche E e $\nu$, e tensione piana e deformazione piana producono le stesse tensioni nel piano delle tensioni, anche se frecce diverse.

L'esempio (b) invece è un tubo (corpo non semplicemente connesso), con caricamento sui singoli contorni a risultante nulla, perchè autoequilibrato. Anche in questo caso vale il teorema: tensione piana e deformazione piana producono le stesse tensioni nel piano delle tensioni, ma non lo stesso aumento del diametro del tubo.

Il caso (d) simula un dente di un ingranaggio a denti diritti, caricato in vicinanza della testa. Il teorema non vale perché parte delle condizioni al contorno è sugli spostamenti, e quindi dipende da E e da $\nu$.

Il caso (e) rappresenta un piede di biella, con questo caricamento (cioè lo spinotto lo tira in sù) tipico del punto morto superiore all'incrocio. Anche in questo caso non vale il teorema di Mitchell perché la risultante dei carichi sui singoli contorni non è nulla e dipende da $\nu$.

Nella figura (g) è rappresentato un collegamento poligonale tipo chiave a brugola. La risultante della pressione di contatto tra maschio e femmina al bordo interno della femmina produce una coppia pura. Se la coppia equilibrante è imposta tramite forze applicate al bordo esterno della femmina e non tramite vincolamento, il teorema vale (anche se c'è la coppia).

Per concludere, nella figura (h), è schematizzato il corpo di una pompa a ingranaggi, caricato dalla distribuzione di pressione del fluido pressurizzato. In questo caso il teorema non vale perché parzialmente vincolato e perché la risultante del carico nella cavità del corpo non è nulla.