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wikipaom2015:lez14

Programma agli elementi finiti triangolari

Dimensionamento

La prima parte del programma si occupa della dichiarazione delle variabili necessarie per definire la struttura; i parametri NODES e NELEMS identificano una mesh di 9 nodi e 8 elementi.

    PARAMETER (NODES=9)
    PARAMETER (NELEMS=8)
    PARAMETER (IFMAX=3,ICNMAX=3)
    DIMENSION XY(2,NODES),NVERT(3,NELEMS),IFXY(IFMAX),FXY(2,IFMAX),
    ICNXY(2,ICNMAX),CNXY(2,ICNMAX),STRUTK(2*NODES,2*NODES),
    FORCE(2*NODES),UV(2*NODES)

IFMAX: numero di nodi caricati
ICNMAX: numero di nodi vincolati

La stringa “Dimension” permette al programma di allocare le matrici necessarie per i calcoli, dedicandogli un appropriato spazio in memoria.

XY: matrice che contiene le coordinate locali
NVERT: matrice che contiene il numero dei nodi ai tre vertici di ogni elemento
IFXY: vettore che contiene i nomi (i numeri) dei nodi caricati
FXY: matrice che contiene le componenti lungo x ed y delle forze applicate
ICNXY: matrice che contiene i nomi dei nodi vincolati e gli associa il tipo di vincolamento.

  1. vincolato solo lungo X
  2. vincolato solo lungo Y
  3. vincolato lungo X ed Y

CNXY: matrice che contiene gli spostamenti imposti lungo X ed Y
STRUTK: matrice di rigidezza dell'intera struttura
TK: vettore dei termini noti
FORCE: vettore delle forze imposte
UV: vettore spostamenti nodali

    DIMENSION D(3,3),B(3,6),BT(6,3),DB(3,6),ELK(6,6),IPOINT(6),
    DELTAEL(6),SIGMAEL(3)

Dopo il dimensionamento degli elementi variabili si termina l'allocazione di matrici e vettori defininendo le grandezze dipendenti dalla tipologia di risoluzione scelta (tria 3 nodi).

D: matrice di legame costitutivo (legge di Hooke), lavorando in 3D diventa una matrice 6×6
B: matrice che lega spostamenti e deformazione
BT: trasposta di B
DB: prodotto tra matrice D e B (matrice temporanea)
ELK: matrice di rigidezza degli elementi (aggiornata per ogni elemento, evitando così di avere un array in tre dimensioni 6x6xNELEMS)
IPOINT: mappatura dei gdl globali e locali per ogni elemento
DELTAEL: vettore di 6 spostamenti locali dei 3 vertici dell'elemento
SIGMAEL: vettore tre elementi che contiene la σx, la σy e la τxy

MAIN

    OPEN(1,FILE='mesh_tria_comp.dat',STATUS='OLD')
    OPEN(2,FILE='mesh_tria_comp.3.txt',STATUS='UNKNOWN')
    CALL READIN(YM,PR,ITDP,NODES,XY,NELEMS,NVERT,IFMAX,IFXY,FXY,
    ICNMAX,ICNXY,CNXY)
    CALL ECHO(YM,PR,ITDP,NODES,XY,NELEMS,NVERT,IFMAX,IFXY,FXY,ICNMAX,
    ICNXY,CNXY)
    CALL CLEAR(2*NODES,2*NODES,STRUTK)
    CALL CLEAR(2*NODES,1,FORCE)
C     CALL CLEAR(3,6,B)
C     CALL CLEAR(6,6,ELK)
    CALL DMAT(YM,PR,ITDP,D)
    

Subroutine Readin

Lettura del Modulo di Young e del Coefficiente di Poisson e scelta dello stato di Tensione o Deformazione Piana.
Lettura delle coordinate nodali e dei vertici degli elementi triangolari.
Lettura delle forze nodali e delle condizioni di vincolamento.

   SUBROUTINE READIN(YM,PR,ITDP,NODES,XY,NELEMS,NVERT,IFMAX,IFXY,
    FXY,ICNMAX,ICNXY,CNXY)
    DIMENSION XY(2,NODES),NVERT(3,NELEMS),IFXY(IFMAX),FXY(2,IFMAX),
    ICNXY(2,ICNMAX),CNXY(2,ICNMAX)
C     Lettura di YM, PR e ITDP:
    READ(1,*)YM,PR,ITDP
C     Lettura delle coordinate nodali (x,y):
    DO 10,I10=1,NODES
    READ(1,*)NODE,XY(1,I10),XY(2,I10)
    IF(I10.NE.NODE)THEN
    write(*,*) 'errore nella numerazione dei nodi sul file di input'
    stop
    END IF
 10 CONTINUE
C     Lettura dei vertici degli elementi triangolari:
    DO 20,I20=1,NELEMS
    READ(1,*)NELEM,NVERT(1,I20),NVERT(2,I20),NVERT(3,I20)
    IF(I20.NE.NELEM)THEN
    write(*,*) 'errore nella numerazione degli elementi'
    stop
    END IF
 20 CONTINUE
C     Lettura delle forze nodali:
    DO 30,I30=1,IFMAX
    READ(1,*)IFXY(I30),FXY(1,I30),FXY(2,I30)
 30 CONTINUE
C     Lettura delle condizioni di vincolamento:
    DO 40,I40=1,ICNMAX
    READ(1,*)ICNXY(1,I40),ICNXY(2,I40),CNXY(1,I40),CNXY(2,I40)
 40 CONTINUE
    RETURN
    END

Per ogni ciclo DO presente nella subroutine il programma esegue un controllo di sequenzialità dei parametri (coordianate nodali, spostamenti e forze applicate) dei file di input.

Subroutine Echo

Subroutine che controlla la correttezza di lettura dei dati di input.

   SUBROUTINE ECHO(YM,PR,ITDP,NODES,XY,NELEMS,NVERT,IFMAX,IFXY,FXY,
    ICNMAX,ICNXY,CNXY)
    DIMENSION XY(2,NODES),NVERT(3,NELEMS),IFXY(IFMAX),FXY(2,IFMAX),
    ICNXY(2,ICNMAX),CNXY(2,ICNMAX)
C     Controllo di YM e PR:
    WRITE(2,*)'MODULO DI YOUNG: ',YM
    WRITE(2,*)'COEFFICIENTE DI POISSON: ',PR
C     Controllo di ITDP:
    IF(ITDP.EQ.0)THEN
    WRITE(2,*)'STATO DI TENSIONE PIANA'
    END IF
    IF(ITDP.EQ.1)THEN
    WRITE(2,*)'STATO DI DEFORMAZIONE PIANA'
    END IF
C     Controllo delle coordinate nodali:
    WRITE(2,*)'NODO: X: Y: '
    DO 10,I10=1,NODES
    WRITE(2,*)I10,XY(1,I10),XY(2,I10)
 10 CONTINUE
C     Controllo dei vertici degli elementi trangolari:
    WRITE(2,*)'ELEMENTO: Vi: Vj: Vk: '
    DO 20,I20=1,NELEMS
    WRITE(2,*)I20,NVERT(1,I20),NVERT(2,I20),NVERT(3,I20)
 20 CONTINUE
C     Controllo delle forze:
    WRITE(2,*)'NODO: FX: FY: '
    DO 30,I30=1,IFMAX
    WRITE(2,*)IFXY(I30),FXY(1,I30),FXY(2,I30)
 30 CONTINUE
C     Controllo delle condizioni di vincolamento:
    WRITE(2,*)'NODO: TIPO VINCOLAMENTO: DELTAX: DELTAY: '
    DO 40,I40=1,ICNMAX
    WRITE(2,*)ICNXY(1,I40),ICNXY(2,I40),CNXY(1,I40),CNXY(2,I40)
 40 CONTINUE
    RETURN
    END
    

Subroutine Clear

Inizializzazione a zero degli elementi di una matrice.

   SUBROUTINE CLEAR(K1,K2,A)
    DIMENSION A(K1,K2)
    DO 10,I10=1,K1
    DO 20,I20=1,K2
    A(I10,I20)=0.
 20 CONTINUE
 10 CONTINUE
    RETURN
    END

Subroutine Dmat

Costruzione della matrice D di applicazione del legame Hookeano tra tensioni e deformazioni: σ = D * ε.

   SUBROUTINE DMAT(YM,PR,ITDP,D)
    DIMENSION D(3,3)
    IF(ITDP.EQ.0)GO TO 100
    IF(ITDP.EQ.1)GO TO 200
C     Per Stato di Tensione Piana:
100 CONTINUE
    CTP=YM/(1-PR**2)
    G=YM/(2*(1+PR))
C     Struttura della matrice D per Stato di Tensione Piana:
C                     | 1*CTP    PR*CTP   0 |
C                D =  | PR*CTP   1*CTP    0 |
C                     | 0          0      G |
    D(1,1)=1.
    D(1,2)=PR
    D(2,1)=PR
    D(2,2)=1.
    DO 10,I10=1,2
    DO 20,I20=1,2
    D(I10,I20)=D(I10,I20)*CTP
 20 CONTINUE
 10 CONTINUE
    D(1,3)=0.
    D(2,3)=0.
    D(3,1)=0.
    D(3,2)=0.
    D(3,3)=G
    GOTO 300
C     Per Stato di Deformazione Piana:
200 CONTINUE
    CDP=YM*(1-PR)/((1+PR)*(1-2*PR))
    CPR=PR/(1-PR)
    G=YM/((1+PR)*2)
C     Struttura della matrice D per Stato di Deformazione Piana:
C                     | 1*CDP     CDP*CPR   0 |
C                D =  | CDP*CPR    1*CDP    0 |
C                     | 0            0      G |
    D(1,1)=1.
    D(1,2)=CPR
    D(2,1)=CPR
    D(2,2)=1.
    DO 30,I30=1,2
    DO 40,I40=1,2
    D(I30,I40)=D(I30,I40)*CDP
 40 CONTINUE
 30 CONTINUE
    D(1,3)=0.
    D(2,3)=0.
    D(3,1)=0.
    D(3,2)=0.
    D(3,3)=G
    GOTO 300
300 CONTINUE 
    RETURN
    END

Per decidere il tipo di legame costitutivo da applicare per la generazione della matrice D, la subroutine legge il valore di ITDP attraverso due costrutti IF: questo genere di approccio potrebbe portare ad errore nel caso in cui ITDP fosse uguale a qualunque altro numero che non sia zero o uno, in quanto la sub continuerebbe con l'esecuzione delle istruzioni nell'ordine in cui sono fornite; assocerebbe quindi ad uno stato tensionale sconosciuto (ITDP diverso da 0 e 1) lo stato di tensione piana (poiché è il primo che legge).

MAIN

 DO 10,I10=1,NELEMS
    XI=XY(1,NVERT(1,I10))
    YI=XY(2,NVERT(1,I10))                     !CALL AREA, KELMAT
    XJ=XY(1,NVERT(2,I10))                     !POINTVT eASSEMBL
    YJ=XY(2,NVERT(2,I10))                     !sono dentro lo stesso
    XK=XY(1,NVERT(3,I10))                     !ciclo DO 10, cos
    YK=XY(2,NVERT(3,I10))                     !vengono calcolati per
    CALL AREA(XI,YI,XJ,YJ,XK,YK,I10,TWODEL)   !ogni elemento.
    CALL KELMAT(XI,YI,XJ,YJ,XK,YK,TWODEL,I10,D,ELK)
C     *****Assemblaggio***********
    CALL POINTVT(NELEMS,I10,NVERT,IPOINT)
    CALL ASSEMBL(ELK,NODES,IPOINT,STRUTK)
 10 CONTINUE
 

DO principale per la costruzione della matrice di rigidezza dell'elemento generico I10. Scorro tutti gli elementi (I10=1,NELEMS); per ogni elemento prendo il nome dei nodi che gli appartengono dalla matrice NVERT. Scelto il nodo, prendo le coordinate x e y all'interno della matrice XY (scegliendo tra la riga 1 o la riga 2).

Subroutine Area

Calcolo della superficie DEL di ciascun elemento finito triangolare a partire dalle coordinate nodali dei vertici. Controllo di dimensioni e segno dell'area calcolata. Le coordinate nodali vengono prese, come di consueto, in verso antiorario. Con TWODEL si identifica il doppio della superficie.

      SUBROUTINE AREA(XI,YI,XJ,YJ,XK,YK,NELEM,TWODEL)
      TWODEL=XJ*YK+XK*YI+XI*YJ-(XK*YJ+XI*YK+XJ*YI)
      AREAMIN=1.E-6
C     Controllo sulle dimensioni dell'area calcolata:
      IF(ABS((TWODEL/2)).LE.AREAMIN)THEN
      WRITE(*,*)'ATTENZIONE! AREA DELL*ELEMENTO TROPPO PICCOLA'
      WRITE(*,*)NELEM
      WRITE(*,*)'AREA=',TWODEL/2
      END IF
C     Controllo sul segno dell'area calcolata:
      IF((TWODEL/2).LT.-AREAMIN)THEN
      WRITE(*,*)'ATTENZIONE! AREA DELL*ELEMENTO NEGATIVA'
      WRITE(*,*)NELEM
      WRITE(*,*)'AREA=',TWODEL/2
      END IF
      RETURN
      END

TWODEL è il determinante della matrice delle coordinate locali. La subroutine effettua un controllo sulle dimensioni minime dell'area per permettere una corretta esecuzione dei calcoli successivi.
NB: La mantissa di un numero di macchina dedica 7 bit per la codifica dell'esponente, perciò sommando due numeri con eccessiva differenza tra ordini di grandezza (es. 1 + 1e-8 = 1) potrebbe venire a perdersi il minore.

Subroutine Kelmat

Costruzione della matrice di rigidezza ELK di ciascun elemento finito triangolare attraverso la formula: F = ELK * DELTA ⇒ ELK = A * (BT * D * B). Le coordinate nodali vengono prese, come di consueto, in verso antiorario.

    SUBROUTINE KELMAT(XI,YI,XJ,YJ,XK,YK,TWODEL,NELEM,D,ELK)
    DIMENSION B(3,6),BT(6,3),D(3,3),DB(3,6),ELK(6,6)
    CALL CLEAR(3,6,B)
    CALL BMAT(XI,YI,XJ,YJ,XK,YK,TWODEL,B)
    CALL PRODMAT(3,3,6,D,B,DB)
    CALL TRSPMAT(3,6,B,BT)
    CALL PRODMAT(6,3,6,BT,DB,ELK)
    DEL=TWODEL/2
    DO 10,I10=1,6
    DO 20,I20=1,6
    ELK(I10,I20)=DEL*ELK(I10,I20)
 20 CONTINUE
 10 CONTINUE
    RETURN
    END
    

La matrice D, passata dal main, viene allocata in memoria al lancio della subroutine, mentre la matrice B (locale) richiede un allocamento all'inizio della subroutine, con relativa chiamata della subroutine CLEAR per inizializzazione della matrice stessa.

Subroutine Pointvt

Costruzione del vettore puntatore IPOINT necessario ad effettuare l'assemblaggio della matrice ELK di rigidezza di ciascun elemento finito triangolare (NELEM) nella matrice STRUTK di rigidezza globale della struttura.

    SUBROUTINE POINTVT(NELEMS,NELEM,NVERT,IPOINT)
    DIMENSION NVERT(3,NELEMS),IPOINT(6)
    IPOINT(1)=NVERT(1,NELEM)*2-1
    IPOINT(2)=NVERT(1,NELEM)*2
    IPOINT(3)=NVERT(2,NELEM)*2-1
    IPOINT(4)=NVERT(2,NELEM)*2
    IPOINT(5)=NVERT(3,NELEM)*2-1
    IPOINT(6)=NVERT(3,NELEM)*2
    RETURN
    END
    

Subroutine Assembl

Assemblaggio della matrice ELK di rigidezza di ciascun elemento finito triangolare nella matrice STRUTK di rigidezza globale della struttura.
La matrice STRUTK viene inzializzata a zero nel MAIN PROGRAM, pertanto si ritiene superflua la sua inizializzazione in questa subroutine.

    SUBROUTINE ASSEMBL(ELK,NODES,IPOINT,STRUTK)
    DIMENSION ELK(6,6),IPOINT(6),STRUTK(2*NODES,2*NODES)
    DO 10,I10=1,6
    DO 20,I20=1,6
    IND10=IPOINT(I10)
    IND20=IPOINT(I20)
    STRUTK(IND10,IND20)=STRUTK(IND10,IND20)+ELK(I10,I20)
 20 CONTINUE
 10 CONTINUE
    RETURN
    END
    

Nota: il vettore NODES viene utilizzato unicamente per il dimensionamento della matrice STRUTK. La riga fondamentale della sub è quella che associa ad un valore della matrice di rigidezza globale della struttura il suo vecchio valore + il valore da aggiungere dovuto al nodo considerato, dato che al valore del termine STRUTK(I10,I20) della matrice di rigidezza globale contribuiscono in genere più elementi finiti.

MAIN

C  Per il Caricamento si richiama questa sub
   CALL FORCES(IFMAX,IFXY,FXY,NODES,FORCE) 
    

Subroutine Forces

Riempimento del vettore globale delle forze nodali FORCE.

    SUBROUTINE FORCES(IFMAX,IFXY,FXY,NODES,FORCE)
    DIMENSION IFXY(IFMAX),FXY(2,IFMAX),FORCE(2*NODES)
    DO 10,I10=1,IFMAX
    INDX=IFXY(I10)*2-1
    INDY=IFXY(I10)*2
    FORCE(INDX)=FXY(1,I10)
    FORCE(INDY)=FXY(2,I10)
 10 CONTINUE
    RETURN
    END
    

Dove la sub importa dal main il numero di nodi caricati (IFMAX), il vettore contenente il nome dei nodi caricati (IFXY) e la matrice contenente i valori delle forze lungo x e y per ogni singolo nodo. Il ciclo DO legge i nodi caricati e salva i valori delle forze nel vettore dei termini noti.

MAIN

C Vincolamento
  CALL CNSTNG(ICNMAX,ICNXY,CNXY,NODES,FORCE,STRUTK)
    

Subroutine Cnstng

Imposizione delle condizioni di vincolamento specifiche alla matrice STRUTK di rigidezza globale della struttura ed al vettore globale delle forze nodali FORCE.

      SUBROUTINE CNSTNG(ICNMAX,ICNXY,CNXY,NODES,FORCE,STRUTK)
      DIMENSION ICNXY(2,ICNMAX),CNXY(2,ICNMAX),FORCE(2*NODES),
     $STRUTK(2*NODES,2*NODES)
      DO 10,I10=1,ICNMAX
      IF(ICNXY(2,I10).EQ.1)GO TO 100
      IF(ICNXY(2,I10).EQ.2)GO TO 200
      IF(ICNXY(2,I10).EQ.3)GO TO 300
      WRITE(*,*)'ERRORE NEL VINCOLAMENTO DEL NODO',I10
      WRITE(*,*)'L*INDICE DI VINCOLAMENTO DEVE ESSERE 1, 2 o 3'
      STOP
C     Per vincolamento di x:
  100 CONTINUE
      INDX=ICNXY(1,I10)*2-1
      DO 110,I110=1,2*NODES
      STRUTK(INDX,I110)=0.
      FORCE(I110)=FORCE(I110)-STRUTK(I110,INDX)*CNXY(1,I10)
      STRUTK(I110,INDX)=0.
  110 CONTINUE
      STRUTK(INDX,INDX)=1.
      FORCE(INDX)=CNXY(1,I10)
      GO TO 10
C   Per vincolamento di y:
  200 CONTINUE
      INDY=ICNXY(1,I10)*2
      DO 210,I210=1,2*NODES
      STRUTK(INDY,I210)=0.
      FORCE(I210)=FORCE(I210)-STRUTK(I210,INDY)*CNXY(2,I10)
      STRUTK(I210,INDY)=0.
  210 CONTINUE
      STRUTK(INDY,INDY)=1.
      FORCE(INDY)=CNXY(2,I10)
      GO TO 10
C     Per vincolamento di x e y:
  300 CONTINUE
      INDX=ICNXY(1,I10)*2-1
      INDY=ICNXY(1,I10)*2
      DO 310,I310=1,2*NODES
      STRUTK(INDX,I310)=0.
      STRUTK(INDY,I310)=0.
      FORCE(I310)=FORCE(I310)-STRUTK(I310,INDX)*CNXY(1,I10)-
     $STRUTK(I310,INDY)*CNXY(2,I10)
      STRUTK(I310,INDX)=0.
      STRUTK(I310,INDY)=0.
  310 CONTINUE
      STRUTK(INDX,INDX)=1.
      STRUTK(INDY,INDY)=1.
      FORCE(INDX)=CNXY(1,I10)
      FORCE(INDY)=CNXY(2,I10)
      GO TO 10
   10 CONTINUE
      RETURN
      END
    

La subroutine importa il numero di nodi vincolati con il tipo di vincolo ad essi assegnato dal main. Le operazioni che permettono la modifica della matrice di rigidezza mantenendo la sua simmetria sono:
1_annullare tutti i coefficienti della matrice di rigidezza corrispondente alla riga ed alla colonna del grado di libertà vincolato, tranne il termine diagonale che verrà posto uguale ad 1.
2_si impone il temine noto corrispondente al grado di libertà vincolato pari al valore dello spostamento imposto.
3_si sottrae da tutti gli altri termini noti il contributo dovuto al prodotto tra i termini della colonna annullati ed il valore imposto dal nostro grado di libertà.
La subroutine considera in maniera distinta i 3 tipi di problema: vincolamento lungo x, vincolamento lungo y, vincolamento lungo x ed y.
Per ogni tipo di vincolamento la sub rimanda alle operazioni di modifica della matrice STRUTK attraverso 3 diversi GOTO: questo modo di operare rende ridondante il codice, rischiando di moltiplicare eventuali errori tra le diverse operazioni, sarebbe stato più consono un costrutto del tipo IF-ELSE IF- ELSE- ENDIF.

MAIN

C Soluzione in termini di spostamenti nodali
    CALL GAUSS(2*NODES,STRUTK,FORCE,UV)
    WRITE(2,*)'inodo Ux Uy'
    DO 20,I20=1,NODES
    WRITE(2,*)I20,UV(I20*2-1),UV(I20*2)
 20 CONTINUE
 

Subroutine Gauss

Risoluzione di un sistema algebrico lineare di N equazioni in N incognite attraverso il metodo di Gauss (triangolarizzazione della matrice dei coefficienti).
La matrice dei coefficienti viene denominata C; il vettore dei termini noti B ed il vettore delle incognite V.

      SUBROUTINE GAUSS(N,C,B,V)
      DIMENSION C(N,N),B(N),V(N)
C     Processo di triangolarizzazione della matrice dei coefficienti:
      DO 10,IMAIN=1,N-1
      IBETTER=IMAIN
      DO 101,ITRYME=IMAIN+1,N         !DO 101 scorre tutte le righe
      VALBETTER=ABS(C(IBETTER,IMAIN)) !dalla IMAIN fino all'ultima.
      VALTRYME=ABS(C(ITRYME,IMAIN))
      IF(VALBETTER.LT.VALTRYME)THEN   !Se VALBETTER<VALTRYME, allora
      IBETTER=ITRYME                  !pongo che ITRYME divenga la
      END IF                          !riga "migliore" (con valore
  101 CONTINUE                        !assoluto maggiore).
C
C                                     !Scambio delle righe: si porta la
      IF(IBETTER.NE.IMAIN)THEN        !riga con valore assoluto maggiore
C                                     !alla riga IMAIN.
      DO 102,ISWAP=IMAIN,N            !DO 102 permette di scorrere
      TEMP=C(IMAIN,ISWAP)             !tutti gli elementi della riga
      C(IMAIN,ISWAP)=C(IBETTER,ISWAP) !(per spostare la riga si deve
      C(IBETTER,ISWAP)=TEMP           !infatti spostare un elemento per
  102 CONTINUE                        !volta).
      TEMP=B(IMAIN)
      B(IMAIN)=B(IBETTER)             !Allo stesso modo si scambiano i
      B(IBETTER)=TEMP                 !valori dei termini noti.
      END IF
C
      DO 103,ITRIANGLEME=IMAIN+1,N
      RATIO=-C(ITRIANGLEME,IMAIN)/C(IMAIN,IMAIN)
      C(ITRIANGLEME,IMAIN)=0.
      DO 104,ISCROLL=IMAIN+1,N
      C(ITRIANGLEME,ISCROLL)=C(ITRIANGLEME,ISCROLL)+
     $RATIO*C(IMAIN,ISCROLL)
  104 CONTINUE
      B(ITRIANGLEME)=B(ITRIANGLEME)+RATIO*B(IMAIN)
  103 CONTINUE
   10 CONTINUE
C     A questo punto la matrice dei coefficienti dovrebbe essere stata
C     triangolarizzata.
C
C     Risoluzione del sistema di equazioni:
C     Risoluzione dell'ultima equazione del sistema:
      V(N)=B(N)/C(N,N)
C     Risoluzione delle altre equazioni:
      DO 20,IEQNSCROLL=N-1,1,-1
      SOMMA=0.
      DO 202,ISOMMA=IEQNSCROLL+1,N
      SOMMA=SOMMA+C(IEQNSCROLL,ISOMMA)*V(ISOMMA)
  202 CONTINUE
      V(IEQNSCROLL)=(B(IEQNSCROLL)-SOMMA)/(C(IEQNSCROLL,IEQNSCROLL))
   20 CONTINUE
      RETURN
      END
    

MAIN

C  Postprocessor per calcolare le tensioni

    WRITE(2,*)'ielem SigmaX SigmaY Txy EqVonMises'
    DO 30,I30=1,NELEMS
    XI=XY(1,NVERT(1,I30))
    YI=XY(2,NVERT(1,I30))
    XJ=XY(1,NVERT(2,I30))
    YJ=XY(2,NVERT(2,I30))
    XK=XY(1,NVERT(3,I30))
    YK=XY(2,NVERT(3,I30))
    CALL BMAT(XI,YI,XJ,YJ,XK,YK,TWODEL,B)
    CALL PRODMAT(3,3,6,D,B,DB)            !Prodotto tra matrice D e B
    DELTAEL(1)=UV(2*NVERT(1,I30)-1)
    DELTAEL(2)=UV(2*NVERT(1,I30))       !Riempie il vettore DELTAEL,
    DELTAEL(3)=UV(2*NVERT(2,I30)-1)     !che contiene gli spostamenti
    DELTAEL(4)=UV(2*NVERT(2,I30))       !nodali (x,y) dei 3 nodi di
    DELTAEL(5)=UV(2*NVERT(3,I30)-1)     !ogni elemento.
    DELTAEL(6)=UV(2*NVERT(3,I30))
    CALL PRODMAT(3,6,1,DB,DELTAEL,SIGMAEL)
    

Subroutine Bmat

Costruzione della matrice B di collegamento tra gli spostamenti nodali e le deformazioni di ciascun elemento finito triangolare attraverso la formula: EPSILON = B * DELTA.
Le coordinate nodali vengono prese, come di consueto, in verso antiorario.
Infine, poichéŠ i termini nulli, sempre nelle stesse posizioni, vengono gi… inizializzati a zero inizialmente, se ne riportano le rispettive assegnazioni in commento.

    SUBROUTINE BMAT(XI,YI,XJ,YJ,XK,YK,TWODEL,B)
    DIMENSION B(3,6)
    AI=XJ*YK-XK*YJ   !
    AJ=XK*YI-XI*YK   ! Questi valori servono per il calcolo dell'area.
    AK=XI*YJ-XJ*YI   !
    BI=YJ-YK
    BJ=YK-YI
    BK=YI-YJ
    CI=XK-XJ
    CJ=XI-XK
    CK=XJ-XI
    B(1,1)=BI
    B(1,2)=0.
    B(1,3)=BJ
    B(1,4)=0.
    B(1,5)=BK
    B(1,6)=0.
    B(2,1)=0.
    B(2,2)=CI
    B(2,3)=0.
    B(2,4)=CJ
    B(2,5)=0.
    B(2,6)=CK
    B(3,1)=CI
    B(3,2)=BI
    B(3,3)=CJ
    B(3,4)=BJ
    B(3,5)=CK
    B(3,6)=BK
    TWODEL=AI+AJ+AK
    DO 10,I10=1,3
    DO 20,I20=1,6
    B(I10,I20)=B(I10,I20)/TWODEL
 20 CONTINUE
 10 CONTINUE
    RETURN
    END
    

Subroutine Prodmat

Esecuzione del prodotto AB di due matrici A e B.

    SUBROUTINE PRODMAT(K1,K2,K3,A,B,AB)
    DIMENSION A(K1,K2),B(K2,K3),AB(K1,K3)
    DO 10,I10=1,K1
    DO 30,I30=1,K3
    AB(I10,I30)=0.   !Inizializzazione a zero della matrice prodotto.
    DO 20,I20=1,K2
    AB(I10,I30)=AB(I10,I30)+A(I10,I20)*B(I20,I30)   !Prodotto.
 20 CONTINUE
 30 CONTINUE
 10 CONTINUE
    RETURN
    END
    

Nota: date due matrici quadrate di ordine “n”, la complessità computazionale del calcolo del loro prodotto risulta di n^3 (oneroso per il calcolatore).

MAIN

C  Calcolo della tensione ideale secondo von Mises (solo in pstress)
    SIGID1=SQRT(SIGMAEL(1)**2+SIGMAEL(2)**2-SIGMAEL(1)*SIGMAEL(2)+
    $3.*SIGMAEL(3)**2)
    WRITE(2,*)I30,'    ',SIGMAEL(1),'  ',SIGMAEL(2),
    $'  ',SIGMAEL(3),'  ',SIGID1
 30 CONTINUE
    STOP
    END
wikipaom2015/lez14.txt · Ultima modifica: 2015/04/27 22:20 da 166078