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Es. 1
Il collegamento a cerniera rappresentato in figura trasmette complessivamente un'azione trattiva $F=14000N$.
Seguendo un'ideale linea di forza discendente dall'elemento superiore (bianco in figura) all'elemento inferiore (grigio in figura), la forza $F$ entrante dall'alto si ripartisce in maniera ragionevolmente uniforme sui cinque elementi ramo di forcella, ognuno dei quali si carica quindi di una forza $F/5$; tali azioni vengono quindi trasmesse al perno, ove idealmente si ricompongono in una risultante comune, e vengono quindi distribuite sui quattro elementi della cerniera inferiore, ognuno dei quali si carica quindi di una forza $F/4$, prima di confluire nell'unica azione trattiva $F$ verso il basso.
Essendo gli elementi assimilabili a rami di forcella geometricamente analoghi, i più tensionati risulteranno gli inferiori (porzione grigia cerniera), in quanto $F/4>F/5$. Sono quindi di interesse i punti critici A, B, e la sezione critica per il taglio di uno degli elementi inferiori della cerniera, assimilabili a ramo di forcella.
Le tensioni nominali associate sono quindi da calcolarsi secondo le usuali formule $$ \sigma_{nA}=\frac{\left(F/4\right)}{\left(w-d\right)s} , \quad \sigma_{nB}=p_c=\frac{\left(F/4\right)}{ds} , \quad \tau_\mathrm{rdf}=\frac{3}{2}\frac{\left(F/4\right)}{2 \left(h-\frac{d}{2}\right) s} $$ ove $(F/4)$ è il carico passante – nel caso in oggetto – per il singolo ramo di forcella, e ove la tensione nominale $\sigma_{nB}$ coincide per usuale definizione con la pressione di contatto media (carico su area diametrale) $p_c$.
I fattori di forma $\alpha_{kA},\alpha_{kB}$, che per indicazione $\eta_k=1$ da testo coincidono con i fattori di effetto intaglio $\beta_{kA},\beta_{kB}$, rispettivamente, sono reperibili dalle Figure 5.2.8 p. 329p (vecchia edizione), oppure 3.1 p. 315n (nuova edizione), entrando dall'asse delle ascisse con un rapporto $r_i/r_e=0.3077$; si ottengono in particolare $\alpha_{kA}=\alpha_{kA} \approx 4.11$ e $\alpha_{kB} \approx 1.54$, più un'implicita tolleranza associata alla lettura da grafico.
Si procede quindi al calcolo delle tensioni effettive in A e B, da confrontarsi con la tensione critica all'origine estratta dal diagramma di Goodman a flessione che meglio rappresenta del corrispondente a sforzo normale il gradiente tensionale tipico dell'intorno del foro (e degli intagli in generale).
Con riferimento alla verifica del perno, questo risulta sollecitato da forze trasversali alternate verso il basso, di entità $F/4$, e verso l'alto, di entità $F/5$, che producono sullo stesso momento flettente e taglio. Quest'ultimo, in particolare, raggiunge un valore massimo di $F/5$ in corrispondenza dei passaggi di portata estremali, vedasi
Le tensioni taglianti su tale sezione del perno sono quindi valutabili come $$ \tau_\mathrm{perno}=\frac{4}{3}\frac{\frac{F}{5}}{\frac{\pi d^2}{4}} $$
Es. 2
La coppia motrice trasmessa dagli avvolgimento $M_\mathrm{a}$ costituisce sollecitazione di momento torcente per la sezione dell'albero in corrispondenza del supporto superiore, e momento di riferimento per il calcolo delle forze di ingranamento al pignone superiore.
In particolare le forze tangenziali, radiali, e totali d'ingranamento sono calcolabili come, rispettivamente $$ \left\lbrace F_t, F_r, F \right\rbrace = \frac{2 M_\mathrm{a}}{D} \left\lbrace 1, \tan\alpha, \sqrt{1+\tan^2\alpha} \right\rbrace $$ ove $D$ è il diametro della circonferenza primitiva del pignone, e $\alpha$ è l'angolo di spinta.
Tale carico $F$ è inversamente proporzionale al diametro $D$, e cresce con l'angolo di spinta $\alpha$. La condizione peggiorativa è quindi quando $D$ è al suo valore minimo di progetto, e $\alpha$ al suo valore massimo.
Il momento flettente massimo si ha in corrispondenza del supporto superiore e vale $M_f=F \cdot a$; le tensioni flessionali risultano quindi $$\sigma_f=\frac{F a}{\frac{\pi d^3}{32}}$$ con ciclo all'inversione.
Tali tensioni sono modulate all'inversione – il carico $F$, fisso rispetto a terra, risulta rotante per l'albero – e l'associata tensione critica è il limite di fatica all'inversione, che per dal diagramma di Goodman del C40 a p. 250 risulta essere 280 MPa.
Il valore massimo del taglio, pari a $F$, si osserva sul tratto lungo $a$ che va dal pignone al primo supporto, e – nello schema a supporti concentrati – interessa anche la sezione in cui il momento flettente è massimo. L'associato valore tensionale è $$\tau_T=\frac{4}{3}\frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$ ed è da confrontarsi con la il valore di tensione critica tagliante all'inversione, valutata in 160 MPa dal Goodman del momento torcente proprio del C40.
Il momento applicato $M_\mathrm{a}$ induce alla sezione in corrispondenza al supporto superiore una tensione tagliante da momento torcente pari a $$\tau_{M_t}=\frac{M_\mathrm{R}}{\frac{\pi d^3}{16}},$$ da confrontarsi con la controparte critica statica pari a 220 MPa.
L'utilizzo di un valore di tensione critica i) all'origine o ii) all'inversione potrebbe essere giustificato considerando una successione di cicli ripetuti di i) accensione/spegnimento o ii) inversione della coppia motrice; pur essendo tali valutazioni corrette, si preferisce supporre la frequenza di tali eventi sufficientemente ridotta (rispetto a quella di rotazione dell'albero) da poter trascurare la natura affaticante del momento torcente.
Il coefficiente di sicurezza $n$ dell'albero, valutata alla sezione posta in corrispondenza del supporto superiore, si ricava infine dalla formula (2.2.20) a p. 562. $$ \left(\frac{\sigma_f}{\sigma_{f,cr,inv}}\right)^2+\left(\frac{\tau_T}{\tau_{cr,inv}}+\frac{\tau_{M_t}}{\tau_{cr,stat}}\right)^2= \frac{1}{n^2} $$
Es. 3
Es. 4
Le componenti di azione interna (sforzo normale e momento flettente) e gli associati valori tensionali si calcolano – in assenza di foro di lubrificazione – secondo la trattazione del paragrafo 2.4 p. 771; in particolare:
- sforzo normale $N=\frac{F}{2}$, come da (2.4.5);
- momento flettente come da (2.4.3);
- tensioni di sforzo normale e flessionali come da (2.4.5).
Tali tensioni sono considerarsi tensioni nominali ai fini della valutazione dell'effetto intaglio indotto dal foro.
Considerando come indicato nel testo un comune fattore di forma , è possibile calcolare la tensione nominale totale sommando tensioni di sforzo normale e flessionali, e ricavare la tensione teorica totale moltiplicando tale valore nominale cumulativo per il valore $\alpha_k=$3 associato a foro piccolo.
Il fattore di sensibilità all'intaglio $\eta_k$ e il coefficiente di effetto intaglio $\beta_k$ si calcolano secondo la consueta trattazione ai paragrafi 4.2-4.4 p. 304 sgg.; la tensione effettiva totale si ottiene moltiplicando la tensione nominale totale per il $\beta_k$ trovato.
Il coefficiente di sicurezza si calcola come rapporto tra la tensione critica a flessione del materiale per cicli all'origine, e la tensione effettiva totale.