Es. 1

Le relazioni per ricavare le componenti di tensione dalle componenti di deformazione secondo ipotesi di stato piano di deformazione sono reperibili a p. 131, formule (4.8÷10). La componente $\epsilon_z$ è per ipotesi nulla.

In assenza di $\tau_{zx}$ e $\tau_{yz}$, una delle tre tensioni principali coincide con $\sigma_z$, le altre due sono da calcolarsi utilizzando ad es. la formula (2.1.3.4) p. 428.

La tensione equivalente secondo Tresca si può quindi derivare dalle tensioni principali come $$\sigma_\mathrm{eq.,Tresca}=\sigma_1-\sigma_3$$ se $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$.

La tensione equivalente secondo von Mises può essere derivata dalle tensioni principali utilizzando ad esempio la (2.1.5.17) a p. 441, o direttamente dalle componenti di tensione utilizzando la (2.1.5.19) a p. 442.

Es. 2

Siano $d$ il diametro del filo, $n$ il numero di spire, $R$ il raggio medio di spira, $G=\frac{E}{2\left(1+\nu\right)}$ il modulo di taglio.

L'altezza a pacco risulta pari a $nd$; il precarico della molla al montaggio $P_\mathrm{A}$ e in condizioni di massima compressione $P_\mathrm{B}$ sono calcolabili adattando la formula (2.7) p.646 $$ \ell_\mathrm{0}-\ell_\mathrm{A}=\frac{64 P_\mathrm{A} R^3 n}{Gd^4} $$ $$ \ell_\mathrm{0}-\ell_\mathrm{B}=\frac{64 P_\mathrm{B} R^3 n}{Gd^4} $$

Le tensioni taglianti¹⁾ superiori ed inferiori di ciclo sono ottenibili sostituendo nelle formule (2.3) p. 644 i valori di $P_\mathrm{B}$ e $P_\mathrm{A}$, rispettivamente.

Il ciclo risulta di natura pulsante, e dal diagramma di Goodman a p.251 la tensione tagliante critica per l'associato coeff. $K$ coincide con la tensione critica statica $\tau_s$ torsionale. Il coefficiente di sicurezza viene calcolato come rapporto $N=\frac{\tau_s}{\tau_\mathrm{sup}}$.

Es. 3

Il calcolo del momento flettente alla sezione interessata dallo spallamento si svolge in analogia all'esercizio svolto a p. 553 e sgg., sezione in corrispondenza dell'appoggio “A”.

Tale momento è composto da due componenti ortogonali: una prima componente è associata alle forze assiale e radiale trasmesse dall'ingranamento (carichi agenti sul “piano verticale” secondo la denominazione utilizzata nell'esercizio), mentre l'altra è associata alla forza tangenziale (carichi agenti sul “piano orizzontale” secondo la stessa denominazione).

Si ha quindi $M_f=\sqrt{M_\mathrm{pv}^2+M_\mathrm{po}^2}$, con $$M_\mathrm{pv}=F_\mathrm{r} \cdot c - F_\mathrm{a} \cdot R$$ $$M_\mathrm{po}=F_\mathrm{t} \cdot c$$ ove $R=\frac{D}{2}$ è un raggio primitivo nominale associato alla ruota conica.

Il momento torcente è invece associato alla sola componente tangenziale, da cui $M_t=F_\mathrm{t} \cdot R$.

Lo sforzo normale alla sezione in esame è compressivo e pari in modulo alla componente assiale $F_a$ dell'azione di ingranamento²⁾.

Le tensioni nominali si ottengono dividendo i momenti flettente e torcente e lo sforzo normale per $\frac{\pi a^3}{32}$, $\frac{\pi a^3}{16}$ e $\frac{\pi a^2}{4}$ rispettivamente.

Il fattore di forma a flessione si ottiene sulla base delle (5.5.1) e (5.5.2) a p.343, con coefficienti estratti dalla tabella di p. 344 associata al momento flettente.

Il fattore di sensibilità all'intaglio è derivabile dalla formula (4.2.2) p. 306 relativa agli acciai da bonifica (cfr. diagramma di Goodman del 40NiCrMo7 a p. 254).

Es. 4

xxx

¹⁾

dovute all'effetto combianato di momento torcente e taglio; qui tensione tagliante è – come nell'uso comune – sinonimo di tensione tangenziale, e non indica un riferimento alla sola componente Taglio dell'azione interna.

²⁾

si assume in tale maniera che la battuta assiale tra ruota e spallamento sia inattiva (ossia sia presente un piccolo gioco), e la ruota sia assialmente posizionata sull'albero ad esempio per forzamento. Se viceversa si assume che la forza assiale si scarichi all'albero tramite la battuta allo spallamento, allora lo sforzo normale alla sezione in esame è nullo.