Es. 1
Le relazioni per ricavare le componenti di tensione dalle componenti di deformazione secondo ipotesi di stato piano di deformazione sono reperibili a p. 131, formule (4.8÷10). La componente $\epsilon_z$ è per ipotesi nulla.
In assenza di $\tau_{zx}$ e $\tau_{yz}$, una delle tre tensioni principali coincide con $\sigma_z$, le altre due sono da calcolarsi utilizzando ad es. la formula (2.1.3.4) p. 428.
La tensione equivalente secondo Tresca si può quindi derivare dalle tensioni principali come $$\sigma_\mathrm{eq.,Tresca}=\sigma_1-\sigma_3$$ se $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$.
La tensione equivalente secondo von Mises può essere derivata dalle tensioni principali utilizzando ad esempio la (2.1.5.17) a p. 441, o direttamente dalle componenti di tensione utilizzando la (2.1.5.19) a p. 442.
Es. 2
Siano $d$ il diametro del filo, $n$ il numero di spire, $R$ il raggio medio di spira, $G=\frac{E}{2\left(1+\nu\right)}$ il modulo di taglio.
L'altezza a pacco risulta pari a $nd$; il precarico della molla al montaggio $P_\mathrm{A}$ e in condizioni di massima compressione $P_\mathrm{B}$ sono calcolabili adattando la formula (2.7) p.646 $$ \ell_\mathrm{0}-\ell_\mathrm{A}=\frac{64 P_\mathrm{A} R^3 n}{Gd^4} $$ $$ \ell_\mathrm{0}-\ell_\mathrm{B}=\frac{64 P_\mathrm{B} R^3 n}{Gd^4} $$
Le tensioni taglianti1) superiori ed inferiori di ciclo sono ottenibili sostituendo nelle formule (2.3) p. 644 i valori di $P_\mathrm{B}$ e $P_\mathrm{A}$, rispettivamente.
Il ciclo risulta di natura pulsante, e dal diagramma di Goodman a p.251 la tensione tagliante critica per l'associato coeff. $K$ coincide con la tensione critica statica $\tau_s$ torsionale. Il coefficiente di sicurezza viene calcolato come rapporto $N=\frac{\tau_s}{\tau_\mathrm{sup}}$.
Es. 3
Il calcolo del momento flettente alla sezione interessata dallo spallamento si svolge in analogia all'esercizio svolto a p. 553 e sgg., sezione in corrispondenza dell'appoggio “A”.
Tale momento è composto da due componenti ortogonali: una prima componente è associata alle forze assiale e radiale trasmesse dall'ingranamento (carichi agenti sul “piano verticale” secondo la denominazione utilizzata nell'esercizio), mentre l'altra è associata alla forza tangenziale (carichi agenti sul “piano orizzontale” secondo la stessa denominazione).
Si ha quindi $M_f=\sqrt{M_\mathrm{pv}^2+M_\mathrm{po}^2}$, con $$M_\mathrm{pv}=F_\mathrm{r} \cdot c - F_\mathrm{a} \cdot R$$ $$M_\mathrm{po}=F_\mathrm{t} \cdot c$$ ove $R=\frac{D}{2}$ è un raggio primitivo nominale associato alla ruota conica.
Il momento torcente è invece associato alla sola componente tangenziale, da cui $M_t=F_\mathrm{t} \cdot R$.
Lo sforzo normale alla sezione in esame si può assumere compressivo e pari in modulo alla componente assiale $F_a$ dell'azione di ingranamento, oppure nullo; le due diverse interpretazioni sono legate alle modalità di posizionamento assiale della ruota sull'albero, non precisata nell'illustrazione. 2)
Le tensioni nominali si ottengono dividendo i momenti flettente e torcente e lo sforzo normale per $\frac{\pi a^3}{32}$, $\frac{\pi a^3}{16}$ e $\frac{\pi a^2}{4}$ rispettivamente, essendo $a$ il diametro dell'albero alla base dello spallamento.
Il fattore di forma a flessione si ottiene sulla base delle (5.5.1) e (5.5.2) a p.343, con rapporti adimensionali $s=1-\frac{a}{b}$ $t=\frac{1}{2}\frac{a}{r}\left(\frac{b}{a}-1\right)$, e coefficienti estratti dalla tabella di p. 344 associata al momento flettente.
Il fattore di sensibilità all'intaglio è derivabile dalla formula (4.2.2) p. 306 relativa agli acciai da bonifica (cfr. diagramma di Goodman del 40NiCrMo7 a p. 254).
Il fattore di effetto intaglio e le tensioni teoriche ed effettive sono quindi derivabili applicabili le consuete formule dei paragrafi 4.1 p. 292 e 4.3 p. 308, una volta osservato che la componente flessionale di tensione è caratterizzata da un ciclo affaticante all'inversione.
Es. 4
L'esercizio si svolge applicando la metodologia descritta nel paragrafo 2.4 p. 771.