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====== Azione interna in travi spaziali: stato tensionale e deformativo ======
Con particolare riferimento a profilati in parete sottile.

===== Richiami di teoria dell'elasticità =====
==== Stato tensionale ====


{{ :wikipaom2016:25_02_2016_fig2.jpg |}}

==== Stato deformativo ====
FIXME


==== Legame costitutivo ====

Legame tra componenti di tensione e componenti di deformazione per un materiale elastico lineare isotropo

$$
\def\X{\frac{E\left(1-\nu\right)}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}}
\def\Y{\frac{E\nu               }{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}}
\begin{bmatrix}
    \sigma_{x}\\
    \sigma_{y}\\
    \sigma_{z}\\
    \tau_{xy} \\
    \tau_{yz} \\
    \tau_{zx}    
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
    \X&\Y&\Y&0&0&0 \\
    \Y&\X&\Y&0&0&0 \\
    \Y&\Y&\X&0&0&0 \\
    0 &0 &0 &G&0&0 \\
    0 &0 &0 &0&G&0 \\
    0 &0 &0 &0&0&G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    \epsilon_{x}\\
    \epsilon_{y}\\
    \epsilon_{z}\\
    \gamma_{xy} \\
    \gamma_{yz} \\
    \gamma_{zx}    
\end{bmatrix}
$$

$$
\def\X{\frac{1}   {E}}
\def\Y{\frac{-\nu}{E}}
\def\Z{\frac{1}  {G}}
\begin{bmatrix}
    \epsilon_{x}\\
    \epsilon_{y}\\
    \epsilon_{z}\\
    \gamma_{xy} \\
    \gamma_{yz} \\
    \gamma_{zx}    
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
    \X&\Y&\Y&0&0&0 \\
    \Y&\X&\Y&0&0&0 \\
    \Y&\Y&\X&0&0&0 \\
    0 &0 &0 &\Z&0&0 \\
    0 &0 &0 &0&\Z&0 \\
    0 &0 &0 &0&0&\Z
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    \sigma_{x}\\
    \sigma_{y}\\
    \sigma_{z}\\
    \tau_{xy} \\
    \tau_{yz} \\
    \tau_{zx}    
\end{bmatrix}
$$

Si noti che: 
  *//E// rappresenta il modulo di Young, 
  *$\nu$ rappresenta il coefficiente di Poisson (per i materiali di nostro interesse, principalmente metallici, vale circa 0,3)
  *//G// rappresenta il modulo di taglio, legato a //E// e $\nu$ dalla relazione:

$$
G=\frac{E}{2\left ( 1+\nu  \right )}
$$


===== Sforzo normale e momento flettente (puro) =====
Si considera uno stato tensionale uniassiale $\sigma_z = E \epsilon_z$.


===== Taglio =====
Applicazione della formula di Jourawski a sezioni in parete sottile aperta e chiusa.

==== Taglio in sezioni sottili aperte ====
Applicazione di Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del centro di taglio

==== Taglio in sezioni sottili chiuse ====
Applicazione di  Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del parametro incognito $\tau_c t_c$. 

Energia potenziale elastica di un concio di trave in taglio/torsione, $\tau \equiv \tau_{zs}$ con $s$ ascissa curvilinea a scorrere sulla parete sottile a partire dal punto di taglio C.


Definizione $\tau(s)$ sui tratti della sezione in parete sottile
$$
\tau\left(s \right )t\left(s \right )=\iint_{A^\star}\frac{d \sigma_z}{dz} d A - \tau_C t_C = \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C
$$

Suppongo qui $\sigma_z$ uniforme lungo lo spessore (stato di taglio membranale).

Energia associata alla combinazione taglio / momento torcente indotto dal carico traverso se applicato con braccio $d$ rispetto al centro di taglio

$$
U = \oint \frac{\tau^2(s)}{2G} t(s) ds=\oint \frac{\left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C \right)^2}{2G} t(s) ds
=\frac{1}{2}T_y v_C + \underbrace{ \frac{1}{2} \underbrace{T_y d}_{M_t} \theta}_{\geq 0}
$$
ove $v_C$ è lo spostamento in direzione y del centro di taglio


Essendo l'energia relativa al momento torcente $\geq 0$, il caso a $d$ nullo è un minimo dell'energia potenziale elastica.

$$
\frac{\partial U}{\partial t_C \tau_C} = 0
$$

$$
\frac{\partial U}{\partial \left(\tau_C t_C \right )}
=
\oint \frac{

 +2\left(
  \tau_C t_C
  \right)
 - 2 
      \left(
        \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) \;d \cdot 
      \right)
}{2G} t\; ds =0
$$
e quindi
$$

  \tau_C t_C
=

\frac{
\oint \frac{

 

        \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t \;d \cdot 

}{G} t\; ds 
}{\oint \frac{
t
}{G} \; ds 
}
$$

===== Torsione =====
====== PATTUME ======
Lucidi della lezione

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{{:wikitelaio2017:img014.jpg?200|}}

Lucidi e appunti spicci

{{:wikitelaio2017:0593_001.jpg?200|}}
{{:wikitelaio2017:0593_002.jpg?200|}}
{{:wikitelaio2017:0592_003.jpg?200|}}
{{:wikitelaio2017:0592_004.jpg?200|}}

Materiale di riferimento/approfondimento per sezioni in parete sottile chiusa e aperta a torsione

[[http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/IAST.Lect08.d/IAST.Lect08.pdf| C. Felippa, Torsion Of Open Thin Wall (OTW) Sections]]
[[http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/IAST.Lect09.d/IAST.Lect09.pdf| C. Felippa, Torsion Of Closed Thin Wall (CTW) Sections]]