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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== Formulazione elemento piastra isoparametrico bilineare 4 nodi ======
+Analogo all'elemento 75 di MSC.Marc.
+{{ :wikitelaio2017:modi_piastra_mindlin_v002.pdf | modi deformativi piastra alla Reissner-Mindlin}}
+----
+caso di pura curvatura $\kappa_{xy}$, come da modello FEM prima lezione MARC
+{{ :wikipaom2017:curvatura_torsionale_o_flessionale_anticlastica_kappaxy.odt |}}
+{{ :wikipaom2017:curvatura_torsionale_o_flessionale_anticlastica_kappaxy.pdf |}}
+----
+Schema geometrico
+{{ :wikipaom2017:piastra_mindlin.pdf | schema corretto piastra}}
+===== Funzioni di interpolazione nodali =====
+per $i=1\ldots4$
+$$
+N_{i}(\xi,\eta)=\frac{1}{4}\left(1 \pm \xi \right)\left(1 \pm \eta \right)
+$$
+Interpolazione di coordinate, spostamenti, rotazioni
+$$
+f(\xi,\eta)=\sum_i N_i(\xi,\eta) f_i  = \mathrm{N} (\xi,\eta) \; \mathrm{f}
+$$
+ove $\mathrm{N}(\xi,\eta)$ è un vettore riga, $\mathrm{f}$ è un vettore colonna di termini $f_i$ che possono essere
+  * $x_i$, $y_i$, $z_i$ coordinate nodali in un sistema di riferimento $Cxyz$ __fisico__ ma __locale__, ossia rototraslato rispetto ad un sistema $OXYZ$ globale al fine di portare la direzione $z$ locale ad essere normale all'elemento ((secondo una qualche definizione di ortogonalità tra direzione ed elemento, definizione non banale nel caso di elementi a nodi non complanari.))
+  * $u_i$, $v_i$, $w_i$ spostamenti nodali rispetto agli assi $xyz$;
+  * $\theta_{x,i} \equiv \theta_i \equiv r_i$, $\theta_{y,i} \equiv \phi_i \equiv s_i$, rotazioni nodali rispetto agli assi $xy$;
+Le funzioni spostamento $u(\xi,\eta)$,$v(\xi,\eta)$ e $w(\xi,\eta)$ sono riferite ai punti dul piano di riferimento.
+In forma prodotto vettore riga / vettore colonna posso
+===== Titolo =====
+==== Operatore differenziale per funzioni spostamento e rotazioni ====
+Operatore differenziale a partire da valori nodali $f_i$ di una funzione, $i= 1\ldots n$ con $n$ numero di nodi ovvero numero di funzioni di forma
+$$
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial f}{\partial x}
+\\
+\frac{\partial f}{\partial y}
+\end{bmatrix}
+=
+\underbrace{
+  \begin{bmatrix}
+    \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
+    \\
+    \frac{\partial x}{\partial \eta} &\frac{\partial y}{\partial \eta}
+    \end{bmatrix}^{-1}
+    \begin{bmatrix}
+    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots
+    \\
+    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots
+  \end{bmatrix}
+}_{\mathrm{Q}(\xi,\eta)}
+  \begin{bmatrix}
+    \vdots
+    \\
+    f_i
+    \\
+    \vdots
+  \end{bmatrix}
+=\mathrm{Q}(\xi,\eta) \mathrm{f}
+$$
+Notiamo che la matrice jacobiana può essere definita sulla base di
+$$
+  \begin{bmatrix}
+    \frac{\partial x}{\partial \xi}
+    \\
+    \frac{\partial x}{\partial \eta}
+  \end{bmatrix}
+  =
+  \begin{bmatrix}
+    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots
+    \\
+    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots
+  \end{bmatrix}
+  \mathrm{x}
+, \quad
+  \begin{bmatrix}
+    \frac{\partial y}{\partial \xi}
+    \\
+    \frac{\partial y}{\partial \eta}
+  \end{bmatrix}
+  =
+  \begin{bmatrix}
+    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots
+    \\
+    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots
+  \end{bmatrix}
+  \mathrm{y}
+$$
+Si può definire per blocchi
+$$
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial u}{\partial x}
+\\
+\frac{\partial u}{\partial y}
+\\
+\frac{\partial v}{\partial x}
+\\
+\frac{\partial v}{\partial y}
+\end{bmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{bmatrix}
+  \mathrm{Q}(\xi,\eta) && \mathrm{0}
+  \\
+  \mathrm{0}           && \mathrm{Q}(\xi,\eta)
+\end{bmatrix}
+}_{\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)}
+\begin{bmatrix}
+  \mathrm{u}
+  \\
+  \mathrm{v}
+\end{bmatrix}
+$$
+ove $\mathrm{u}$ e $\mathrm{v}$ sono vettori colonna contenenti gli $n$ spostamenti nodali $u_i$ e  $v_i$.
+==== Componenti di deformazione membranale e della curvatura ====
+Poiché le componenti membranali di deformazioni sono definite sulla base degli spostamenti al piano di riferimento abbiamo
+$$
+\begin{bmatrix}
+  \bar{\epsilon}_x
+  \\
+  \bar{\epsilon}_y
+  \\
+  \bar{\gamma}_{xy}
+\end{bmatrix}
+=
+\underbrace{
+  \begin{bmatrix}
+&& 0 && 0 && 0
+    \\
+&& 0 && 0 && 1
+    \\
+&& 1 && 1 && 0
+  \end{bmatrix}
+}_{\mathrm{H}^\prime}
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial u}{\partial x}
+\\
+\frac{\partial u}{\partial y}
+\\
+\frac{\partial v}{\partial x}
+\\
+\frac{\partial v}{\partial y}
+\end{bmatrix}
+=
+\mathrm{H}^\prime
+\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
+\begin{bmatrix}
+  \mathrm{u}
+  \\
+  \mathrm{v}
+\end{bmatrix}
+$$
+Le componenti di curvatura sono invece definite sulla base delle sole rotazioni (e non delle di $w$), da cui
+$$
+\begin{bmatrix}
+  \kappa_x
+  \\
+  \kappa_y
+  \\
+  \kappa_{xy}
+\end{bmatrix}
+=
+\underbrace{
+  \begin{bmatrix}
+&&  0 && +1 &&  0
+    \\
+&& -1 &&  0 &&  0
+    \\
+    -1 &&  0 &&  0 && +1
+  \end{bmatrix}
+}_{\mathrm{H}^{\prime\prime}}
+\begin{bmatrix}
+\frac{\partial r}{\partial x}
+\\
+\frac{\partial r}{\partial y}
+\\
+\frac{\partial s}{\partial x}
+\\
+\frac{\partial s}{\partial y}
+\end{bmatrix}
+=
+\mathrm{H}^{\prime\prime}
+\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
+\begin{bmatrix}
+  \mathrm{r}
+  \\
+  \mathrm{s}
+\end{bmatrix}
+$$
+==== Componenti di deformazione entro piano ====
+Nota quindi la relazione
+$$
+\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=\underline{\bar{\epsilon}}(\xi,\eta) + z \underline{\kappa} (\xi,\eta)
+$$
+valida per le componenti di deformazione entro piano al generico punto P
+$$
+\underline{\epsilon}=
+\begin{bmatrix}
+  \epsilon_x
+  \\
+  \epsilon_y
+  \\
+  \gamma_{xy}
+\end{bmatrix}
+$$
+definite in funzione delle componenti (entro piano) di deformazione al punto Q, proiezione di P sul piano di riferimento ($z=0$ in Q)
+$$
+\underline{\bar{\epsilon}}=
+\begin{bmatrix}
+  \bar{\epsilon}_x
+  \\
+  \bar{\epsilon}_y
+  \\
+  \bar{\gamma}_{xy}
+\end{bmatrix}
+$$
+e delle curvature locali
+$$
+\underline{\kappa}=
+\begin{bmatrix}
+  \kappa_x
+  \\
+  \kappa_y
+  \\
+  \kappa_{xy}
+\end{bmatrix}
+$$
+Notiamo che mancano le componenti fuori piano $\epsilon_z, \gamma_{zx}, \gamma_{yz}$ che normalmente caratterizzano lo stato deformativo di un punto entro un corpo deformabile.
+possiamo definire per blocchi (1° blocco: 3x8, 2° blocco: 3x4, 3° blocco: 3x8) una matrice $\mathrm{B}^\prime(\xi,\eta,z)$ 3x20 di legame spostamenti - deformazioni
+$$
+\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=
+\begin{bmatrix}
+ \mathrm{H}^\prime \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
+ &
+ \mathrm{0}
+ &
+ z \; \mathrm{H}^{\prime\prime} \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+  \mathrm{u}
+  \\
+  \mathrm{v}
+  \\
+  \mathrm{w}
+  \\
+  \mathrm{r}
+  \\
+  \mathrm{s}
+\end{bmatrix}
+$$
+da cui, raccolti entro $\mathrm{d}$ i gg.d.l. nodali,
+$$
+\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=
+\mathrm{B}^\prime(\xi,\eta,z)
+\mathrm{d}
+$$
+ovvero, separando i termini di $\mathrm{B}^\prime$ in due distinte matrici in base a loro ordine in $z$
+$$
+\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=
+\left(
+  \mathrm{B}^\prime_0(\xi,\eta)
+  +
+  \mathrm{B}^\prime_1(\xi,\eta) z
+\right)
+\mathrm{d}
+$$
+==== Componenti di deformazione tagliante fuori piano ====
+Le componenti di deformazione $\gamma_{yz}$ e $\gamma_{zx}$ possono essere definite sulla base dello scostamento tra le derivate in $x,y$ dello spostamento normale al piano $w$ e le componenti di rotazione $r,s$; in particolare
+$$
+\gamma_{yz}= \frac{\partial w}{\partial y} - r, \quad
+\gamma_{zx}= \frac{\partial w}{\partial x} + s
+$$
+da cui
+$$
+\begin{bmatrix}
+\gamma_{zx} \\ \gamma_{yz}
+\end{bmatrix}
+=
+\mathrm{Q} (\xi,\eta) \mathrm{w}
++
+\begin{bmatrix}
+&  +\mathrm{N}(\xi,\eta)  \\ -\mathrm{N}(\xi,\eta) & 0
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+\mathrm{r}  \\ \mathrm{s}
+\end{bmatrix}
+$$
+ovvero
+$$
+\begin{bmatrix}
+\gamma_{zx} \\ \gamma_{yz}
+\end{bmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{bmatrix}
+\mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{Q} (\xi,\eta) &
+\begin{matrix}
+\\-\mathrm{N}(\xi,\eta)
+\end{matrix} &
+\begin{matrix}
+\mathrm{N}(\xi,\eta) \\ 0
+\end{matrix}
+\end{bmatrix}
+}_{\mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta)}
+\begin{bmatrix}
+\mathrm{u} \\
+\mathrm{v} \\
+\mathrm{w} \\
+\mathrm{r} \\
+\mathrm{s}
+\end{bmatrix}= \mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta) \; \mathrm{d}
+$$
+con $\mathrm{B}^{\prime\prime}$ è definita per affiancamento di 5 blocchi 2x4.