wikitelaio2017:elemento_piastra_quad4
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---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Formulazione elemento piastra isoparametrico bilineare 4 nodi ====== | ||
+ | Analogo all' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | caso di pura curvatura $\kappa_{xy}$, | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | Schema geometrico | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Funzioni di interpolazione nodali ===== | ||
+ | |||
+ | per $i=1\ldots4$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | N_{i}(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Interpolazione di coordinate, spostamenti, | ||
+ | $$ | ||
+ | f(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | ove $\mathrm{N}(\xi, | ||
+ | * $x_i$, $y_i$, $z_i$ coordinate nodali in un sistema di riferimento $Cxyz$ __fisico__ ma __locale__, ossia rototraslato rispetto ad un sistema $OXYZ$ globale al fine di portare la direzione $z$ locale ad essere normale all' | ||
+ | * $u_i$, $v_i$, $w_i$ spostamenti nodali rispetto agli assi $xyz$; | ||
+ | * $\theta_{x, | ||
+ | Le funzioni spostamento $u(\xi, | ||
+ | |||
+ | In forma prodotto vettore riga / vettore colonna posso | ||
+ | |||
+ | ===== Titolo ===== | ||
+ | |||
+ | ==== Operatore differenziale per funzioni spostamento e rotazioni ==== | ||
+ | |||
+ | Operatore differenziale a partire da valori nodali $f_i$ di una funzione, $i= 1\ldots n$ con $n$ numero di nodi ovvero numero di funzioni di forma | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial f}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial f}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \eta} & | ||
+ | \end{bmatrix}^{-1} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots | ||
+ | \\ | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{Q}(\xi, | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \vdots | ||
+ | \\ | ||
+ | f_i | ||
+ | \\ | ||
+ | \vdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\mathrm{Q}(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Notiamo che la matrice jacobiana può essere definita sulla base di | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots | ||
+ | \\ | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{x} | ||
+ | , \quad | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial y}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots | ||
+ | \\ | ||
+ | \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{y} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Si può definire per blocchi | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{Q}(\xi, | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{0} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{v} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | ove $\mathrm{u}$ e $\mathrm{v}$ sono vettori colonna contenenti gli $n$ spostamenti nodali $u_i$ e $v_i$. | ||
+ | |||
+ | ==== Componenti di deformazione membranale e della curvatura ==== | ||
+ | |||
+ | Poiché le componenti membranali di deformazioni sono definite sulla base degli spostamenti al piano di riferimento abbiamo | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \bar{\epsilon}_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\epsilon}_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\gamma}_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 && 0 && 0 && 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && 0 && 0 && 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && 1 && 1 && 0 | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{H}^\prime} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial v}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{H}^\prime | ||
+ | \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{v} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Le componenti di curvatura sono invece definite sulla base delle sole rotazioni (e non delle di $w$), da cui | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \kappa_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 0 && | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 && -1 && | ||
+ | \\ | ||
+ | -1 && | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{H}^{\prime\prime}} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial r}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial r}{\partial y} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial s}{\partial x} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\partial s}{\partial y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{H}^{\prime\prime} | ||
+ | \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{r} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{s} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ==== Componenti di deformazione entro piano ==== | ||
+ | |||
+ | Nota quindi la relazione | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\epsilon}(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | valida per le componenti di deformazione entro piano al generico punto P | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\epsilon}= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \epsilon_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \epsilon_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \gamma_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | definite in funzione delle componenti (entro piano) di deformazione al punto Q, proiezione di P sul piano di riferimento ($z=0$ in Q) | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\bar{\epsilon}}= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \bar{\epsilon}_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\epsilon}_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \bar{\gamma}_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | e delle curvature locali | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\kappa}= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \kappa_x | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_y | ||
+ | \\ | ||
+ | \kappa_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Notiamo che mancano le componenti fuori piano $\epsilon_z, | ||
+ | |||
+ | possiamo definire per blocchi (1° blocco: 3x8, 2° blocco: 3x4, 3° blocco: 3x8) una matrice $\mathrm{B}^\prime(\xi, | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\epsilon}(\xi, | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | | ||
+ | & | ||
+ | | ||
+ | & | ||
+ | z \; \mathrm{H}^{\prime\prime} \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{v} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{w} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{r} | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{s} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | da cui, raccolti entro $\mathrm{d}$ i gg.d.l. nodali, | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\epsilon}(\xi, | ||
+ | \mathrm{B}^\prime(\xi, | ||
+ | \mathrm{d} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ovvero, separando i termini di $\mathrm{B}^\prime$ in due distinte matrici in base a loro ordine in $z$ | ||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\epsilon}(\xi, | ||
+ | \left( | ||
+ | \mathrm{B}^\prime_0(\xi, | ||
+ | + | ||
+ | \mathrm{B}^\prime_1(\xi, | ||
+ | \right) | ||
+ | \mathrm{d} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ==== Componenti di deformazione tagliante fuori piano ==== | ||
+ | |||
+ | Le componenti di deformazione $\gamma_{yz}$ e $\gamma_{zx}$ possono essere definite sulla base dello scostamento tra le derivate in $x,y$ dello spostamento normale al piano $w$ e le componenti di rotazione $r,s$; in particolare | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \gamma_{yz}= \frac{\partial w}{\partial y} - r, \quad | ||
+ | \gamma_{zx}= \frac{\partial w}{\partial x} + s | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | da cui | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \gamma_{zx} \\ \gamma_{yz} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \mathrm{Q} (\xi,\eta) \mathrm{w} | ||
+ | + | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 0 & +\mathrm{N}(\xi, | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{r} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ovvero | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \gamma_{zx} \\ \gamma_{yz} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underbrace{ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{Q} (\xi,\eta) & | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | 0 \\-\mathrm{N}(\xi, | ||
+ | \end{matrix} & | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \mathrm{N}(\xi, | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | }_{\mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta)} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \mathrm{u} \\ | ||
+ | \mathrm{v} \\ | ||
+ | \mathrm{w} \\ | ||
+ | \mathrm{r} \\ | ||
+ | \mathrm{s} | ||
+ | \end{bmatrix}= \mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta) \; \mathrm{d} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | con $\mathrm{B}^{\prime\prime}$ è definita per affiancamento di 5 blocchi 2x4. |
wikitelaio2017/elemento_piastra_quad4.txt · Ultima modifica: 2017/05/09 10:00 da ebertocchi