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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | |||
+ | ===== Lezione 11 ===== | ||
+ | == A cura di Nicolò Vincenzi e Marco Tambara == | ||
+ | |||
+ | Consideriamo una piastra infinita avente un foro di raggio unitario, oppure, in maniera analoga, una piastra finita con foro infinitesimo. | ||
+ | {{ : | ||
+ | Il caricamento a cui la piastra è soggetta può essere di due tipi: | ||
+ | * Locale se il foro è pressurizzato; | ||
+ | * A remoto se si applica una tensione molto distante dal foro. | ||
+ | |||
+ | Vogliamo risolvere quest' | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Per fare questo si devono risolvere 3 insiemi di equazioni: | ||
+ | * Equilibrio nel continuo | ||
+ | * Legame costitutivo | ||
+ | * Compatibilità cinematica | ||
+ | |||
+ | === Equilibrio nel continuo === | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Facendo riferimento all' | ||
+ | \begin{equation}\label{1} | ||
+ | q_x\, dx dy + dy\, ( \sigma_x|_{x+dx} - \sigma_x|_x) + dx\, (\tau_{xy}|_{y+dy}- \tau_{xy}|_y)=0 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Per proseguire si ipotizza che le funzioni che descrivono le tensioni siano differenziabili, | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \sigma_x|_{x+dx}= &\ \sigma_x|_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}\, dx + o(dx)\\ | ||
+ | \tau_{xy}|_{y+dy}= &\ \tau_{xy}|_y + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}\, dy + o(dy) | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Eliminando i termini di ordine superiore al primo, sostituendo all' | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \left\{ | ||
+ | \begin{aligned} | ||
+ | \frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} = - q_x \\ | ||
+ | \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} = - q_y | ||
+ | \end{aligned} | ||
+ | \right. | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | === Legame costitutivo === | ||
+ | Le equazioni del legame costitutivo sono: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \sigma_x\\ | ||
+ | \sigma_y\\ | ||
+ | \tau_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underline{\underline{D}} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \epsilon_x\\ | ||
+ | \epsilon_y\\ | ||
+ | \gamma_{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | === Compatibilità cinematica === | ||
+ | Le equazioni di compatibilità cinematica sono ($u$ è lo spostamento lungo $x$ e $v$ lungo $y$): | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \epsilon_x=& | ||
+ | \epsilon_y=& | ||
+ | \gamma_{xy}=& | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | Dalle equazioni dell' | ||
+ | |||
+ | [[restricted: | ||
+ | |||
+ | ===== Analisi delle condizioni al contorno ===== | ||
+ | |||
+ | === Condizioni al bordo interno === | ||
+ | |||
+ | Nel caso in cui il foro fosse pressurizzato, | ||
+ | Per dare un significato fisico a queste condizioni si immagini un albero accoppiato con interferenza nel foro. La pressione di contatto che si sviluppa rappresenta la $\sigma_r$. Inoltre tale albero viene fatto ruotare nel foro. L' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | === Condizioni al bordo esterno === | ||
+ | |||
+ | Il bordo esterno, in direzione $x$, è caricato da una $\sigma_{x_{ff}}$ (//far field//), il cui valore è definito come: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \sigma_{x_{ff}}=\lim_{r\to\infty} \sigma_x | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | In maniera analoga, in direzione $y$ si ha: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \sigma_{y_{ff}}=\lim_{r\to\infty} \sigma_y | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | e le forze tangenziali sono: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \tau_{{xy}_{ff}}=\lim_{r\to\infty} \tau_{{xy}_{ff}} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Queste condizioni al contorno sono cartesiane e conviene passare alle condizioni polari. Per fare ciò consideriamo la figura | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Il triangoli hanno ipotenusa di lunghezza unitaria e quindi i due cateti sono uno il coseno e l' | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \sigma_t=& | ||
+ | \end{align} | ||
+ | In maniera analoga si ottiene la seconda | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \sigma_r= \cos^2 \theta \sigma_x+ \sin^2 \theta \sigma_y+2 \cos \theta \sin \theta \tau_{xy} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Nello scrivere le tensioni FarField nel sistema di riferimento polore si utilizza il codice fornito di Maxima: | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | In questo programma viene utilizzato il comando " | ||
+ | Nel programma è usato anche il comando " | ||
+ | |||
+ | =====Soluzione al problema elastico===== | ||
+ | |||
+ | Si dimostra (vedi Jr. Barber, Elasticity, Pag 49) che è possibile ottenere l' | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \nabla^4 \phi=0 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Risolverla significa identificare una funzione che soddisfi le condizioni al contorno. Questa soluzione è una combinazione lineare di una serie di funzioni note, dette soluzioni di Mitchell. (vedi Jr. Barber, Elasticity, Pag 119) | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | In questa tabella sono riportate le soluzioni plausibili $\phi$ e le relative espressioni di tensione radiale $\sigma_{rr}$, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | A pagina 144 dello stesso Barber sono inoltre riportati gli andamenti delle deformazioni che si verificano con le medesime funzioni soluzione. | ||
+ | |||
+ | Di tutte queste funzioni solo alcune sono compatibili con le condizioni al contorno. | ||
+ | * La seconda funzione $\phi=r^2ln(r)$ dalla tabella a pag 133 ha un andamento della deformazione tangenziale $u_\theta$ lineare in $\theta$. Ciò implica un andamento non periodico della deformazione, | ||
+ | * dalla $5^a$ alla $12^a$ soluzione abbiamo dei termini in $\theta$ mentre in maxima abbiamo manipolato le condizioni al contorno ottenendo termini in $2\theta$. Di conseguenza queste saranno scartate. | ||
+ | * Le soluzioni successive sono, per il motivo sopra espresso, accettabili solo con indice $n=2$. Delle stesse però la $13^a$ e la $17^a$ sono da escudere perchè presentano un termine in $r^2$ che non verifica la condizione al contorno per $r\rightarrow\infty$. Infatti: $$\sigma_r=r^2\rightarrow\infty\neq\cos(2\theta)$$ | ||
+ | |||
+ | Concludendo sono rimaste nove funzioni che rispettano le condizioni al contorno. | ||
+ | $\phi=$ | ||
+ | * $r^2$ | ||
+ | * $ln(r)$ | ||
+ | * $\theta$ | ||
+ | * $r^{-n+2}\cos\, | ||
+ | * $r^{n}\cos\, | ||
+ | * $r^{-n}\cos\, | ||
+ | * $r^{-n+2}\sin\, | ||
+ | * $r^{n}\sin\, | ||
+ | * $r^{-n}\sin\, | ||
+ | Queste saranno combinate linearmente e i coefficenti necessari saranno estrapolati mediante Maxima. | ||
+ | |||
+ | =====sezione Docente===== | ||
+ | * Elenco puntatoComponenti di tensione da definizione cartesiana a polare, per equilibrio. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | testo di riferimento: | ||
+ | |||
+ | [[restricted: | ||
+ | |||
+ | Argomenti di riferimento: | ||
+ | * rotazione del sistema di riferimento per le componenti di tensione, p. 9 (27 pdf), da utilizzarsi nel passaggio da tensioni in coordinate cartesiane a tensioni in coordinate polari; | ||
+ | * operatore laplaciano e bilaplaciano, | ||
+ | * costante di Kolosov per tensione e deformazione piana, definizione delle comp. di deformazione p.43 (59 pdf); | ||
+ | * Airy stress function $\phi$, p. 46 (62 pdf); | ||
+ | * derivazione di $\sigma_{rr}, | ||
+ | * termini della soluzione di Michell, componenti di tensione p. 119 (133); | ||
+ | * termini della soluzione di Michell, spostamenti p. 130 (144). | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
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+ | ~~DISCUSSION~~ |
wikipaom2018/lez_2018-03-22.txt · Ultima modifica: 2018/06/12 10:47 da ebertocchi