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{{ :wikipaom2017:nonlinear_bars_for_inst_v008.wxmx | foglio di calcolo maxima}} analisi elemento barra incernierata

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ali e rinforzi spess. 4mm, anima spessore 2mm, 60000N di carico distribuito sulla campata.

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Struttura di esempio:
  * struttura tubolare a schema piramidale.
    * base 600x750 mm
    * altezza 600 mm
  * sezioni tubolari con diametro esterno 12mm, spessore di parete 2 mm; quindi piuttosto snelle.
  * alluminio 6060 T6, E=70000 MPA, ys~Rp02=165 MPa
  * giunzioni modellate per collasso nodale - continuità di rotazioni e spostamenti.
  * appoggiata sui quattro vertici della base, con posizionamento isostatico.
  * caricata da un carico verticale di 1000N compressivo applicato al vertice della struttura.

Note sul modello specifico:
  * si inseriscono tra i risultati le caratteristiche di sollecitazione su trave "beam orientation vector", "beam axial force",... 
  * la sezione ha (vedi guida elemento) 16 punti di integrazione sulla circonferenza (layers); richiedere in output una "equivalent von Mises stress" con opzione "max & min" sui layer per verificare lo stato tensionale del materiale.
  * si rileva un fattore di amplificazione del carico applicato (1000N) a criticità di 8.462
  * si rileva un abbassamento del punto di applicazione della forza a 1000N di 0.07020mm


Il sistema è in equilibrio tuttavia non è posizionato nello spazio, quindi sono stati aggiunti i seguenti __vincoli di posizionamento__:
  * due vincoli di posizionamento in direzione x (un carrello in direzione x ed un carrello in direzione y che bloccano le traslazioni in x e la rotazione z).
  * un vincolo di posizionamento in direzione y sul nodo centrale.

La struttura ha due piani di simmetria (xz e yz), quindi le deformate sono simmetriche a meno di un moto di corpo rigido non generalmente simmetrico.

La sezione ha area 62.84mm^2 e snervamento compressivo sotto sforzo normale di 10367 N.

Notare che su uno dei montanti è possibile preimpostare una perturbazione della rettilineità di entità 1mm.

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===== Linearized Pre-Buckling Analysis: =====
Note per lo studio individuale

  * struttura discretizzata in configurazione **indeformata** **precaricata**;
  * dato un sistema di carichi/vincoli di cui alcuni potenzialmente non omogenei, calcolo lo stato di precarico con un precalcolo lineare elastico. Ottengo in questo caso uno stato tensionale $\underline{\sigma}^0 = \left[\sigma_x^0 \sigma_y^0 \sigma_z^0 \tau_{xy}^0 \tau_{yz}^0 \tau_{zx}^0\right]^T$, che nel caso dell'elemento puntone si riduce ad uno sforzo normale $N^0 = \sigma^0 A$;
  * noto il precarico, calcolo la matrice di rigidezza "geometrica" o di "precarico" $K_{G}$ associata a tale condizione di precarico indotta dal sistema di carichi applicati sulla base del lavoro che tale precarico, //supposto costante//, compie sugli spostamenti infinitesimi a partire dalla configurazione indeformata. 
  * Il sistema deve essere considerato in **grandi rotazioni** (funzioni trigonometriche espanse in serie di taylor almeno al //secondo// ordine) al fine di poter estrarre la matrice di rigidezza "geometrica" o di "precarico". Tale matrice scala scalando il precarico e quindi i carichi applicati.
  * Compongo la matrice di rigidezza dell'elemento non precaricato (matrice di rigidezza relativa all'elasticità del materiale) con la matrice di rigidezza geometrica, scalata per un fattore $\lambda$
  * ottengo una matrice di rigidezza combinata nella forma $ K = K_{el} + \lambda K_{G} $ e un sistema di equazioni di perturbazione dell'equilibrio iniziale nella forma $$ \left(K_{el} + \lambda K_{G}\right) \underline{\Delta u} = \underline{\Delta F} $$ ove $\underline{\Delta u}$ è una perturbazione della configurazione iniziale in termini di spostamento, in risposta ad una perturbazione \underline{\Delta F} delle forze esterne.
  * nel caso la matrice di sistema risulti singolare, ovvero sia $\lambda_i$ t.c. $$ \det\left(K_{el} + \lambda_i K_{G}\right)=0$$, si ammettono soluzioni in termini di perturbazione agli spostamenti non nulla a fronte di un'assenza di perturbazione delle azioni esterne. Il problema si riduce ad un'estrazione di coppie di autovalori generalizzati $\lambda_i$ e autovettori $\underline{v}_i$ t.c. $$ \left(K_{el} + \lambda_i K_{G}\right) \underline{v}_i = \underline{0} $$.
  * tale problema generalizzato agli autovalori/autovettori può essere ricondotto ad un problema agli autovalori "standard" premoltiplicanto per $K_{el}^{-1}$ (dovrebbe risultare invertibile in assenza di moti di corpo rigido residui) e procedendo ad un'inversione della forma dell'autovalore, ottenendo dopo semplici passaggi $$ \left( K_{el}^{-1} K_G - \mu_i I  \right) \underline{v} = \underline{0} $$ ove $\mu_i = -\frac{1}{\lambda_i}$
  * I fattori $\lambda_i$ sono fattori di amplificazione del precarico (e quindi del sistema di carico che lo ha generato) che rendono singolare la matrice di sistema e aprono a soluzioni distinte rispetto a quella prevista per evoluzione continua dalla condizione di piccoli carichi. 

Forma alternativa implementata in MSC.Marc, in coda ad analisi nonlineari:
  * Si considerano due condizioni di equilibrio carico/spostamenti distinte $\underline{P}_0,\underline{u}_0$ e $\underline{P}_1,\underline{u}_1$, tipicamente estratte da due step successivi del caricamento incrementale introdotto per agevolare il N-R.
  * Si considerano le due matrici di rigidezza $K_0$ e $K_1$ associate a tali condizioni di carico.
  * Si suppone un'evoluzione lineare della matrice di rigidezza con l'evolvere del carico, per cui si associa alla condizione di carico $\underline{P}^\lambda=\underline{P}_0+\lambda \left( \underline{P}_1 - \underline{P}_0 \right)$ la stima della matrice di rigidezza tangente come $K_t^\lambda = K_0 + \lambda \left( K_1 - K_0 \right)$.
  * Si procede quindi in maniera analoga alla procedente andando ad impostare il problema agli autovalori generalizzato $$ \left(K_0 + \lambda_i \left( K_1 - K_0 \right)\right) \underline v_i = \underline{0} $$ da cui le coppie di fattore critico di amplificazione $\lambda_i$ e tangente al ramo di soluzione biforcato $\underline{v}_i$. Tale soluzione diventa repentinamente ammessibile in sovrapposizione a quella associata al ramo già percorso una volta raggiunto lo stato di carico $$\underline{P}^i=\underline{P}_0+\lambda_i \left( \underline{P}_1 - \underline{P}_0 \right)$$

Si usa chiamare //primo carico critico// il primo punto di biforcazione incontrato incrementando i carichi dalla condizione iniziale di sistema scarico (non precaricato). Non è detto sia il carico critico //minore//.