Lo scopo di questa analisi è quello di trovare le soluzioni ad un sistema elastico massivo ad n gradi di libertà sottoposto ad una forzante di forma armonica.

L'equazione di equilibrio dinamico del sistema è così definita:

$$\underline{\underline{M}}\ddot{x} + \underline{\underline{C}}\dot{x} + \underline{\underline{K}}x = F(t)$$

dove:

• $x=x(t)$ è la risposta nel tempo del sistema, ovvero il vettore dei gradi di libertà del sistema.
• $\underline{\underline{M}}$ matrice di massa di sistema, simmetrica, a termini reali e definita positiva
• $\underline{\underline{C}}$ matrice di smorzamento viscoso, simmetrica, a termini reali e semidefinita positiva
• $\underline{\underline{K}}$ matrice di rigidezza di sistema, simmetrica e semidefinita positiva: in genere composta da termini reali, può contenere termini coplessi nel caso siano inclusi in essa dei termini di smorzamento strutturale.
• $\underline{\underline{M}}\ddot{x}$ sono le forze esterne da applicare alla struttura per avere l'accelerazione $\ddot{x}$
• $\underline{\underline{C}}\dot{x}$ sono le forze esterne da applicare alla struttura per mantenere la velocità $\dot{x}$ in presenza di dissipazioni.
• $\underline{\underline{K}}x$ sono le forze esterne da applicare alla struttura per equilibrare le reazioni elastiche date dagli spostamenti $x$.

Affinché ci sia equilibrio dinamico istantaneo per la struttura, l'equazione deve essere soddisfatta per ogni istante di tempo t. Il primo membro dell'equazione tiene conto delle azioni inerziali, viscose ed elastiche, oltre che delle reazioni vincolari. Concentriamoci ora brevemente sul vettore F(t). E' necessario tenere presente che in questo termine noto possono rientrare non solo le componenti di forza esterne, ma anche i contributi degli spostamenti imposti.

Se le forze esterne $F(t)$ sono pari alla somma dei tre contributi a primo membro si ha l'equilibrio dinamico.

Per semplicità andremo a trattare solo il caso di sistemi lineari, in modo da poter utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti. Possiamo infatti scomporre la generica forzante periodica (tramite espansione in serie di Fourier) in una somma di contributi a diverse armoniche, risolvere ogni singolo problema (uno per ogni armonica) e in fine ricomporre le soluzioni per trovare la nostra risposta $x(t)$ complessiva.

La forzante sarà della forma:

$$F(t)=\overline{f}e^{jwt}$$

la quale contiene al suo interno sia la parte reale, ossia la quota “fisicamente applicata ai nodi nel tempo”, sia la parte complessa che tiene conto delle eventuali differenze di fase tra le eccitazioni.

La nostra risposta sarà della stessa forma:

$$x(t)=\overline{x}e^{jwt}$$

Si procede andando a sostituire la soluzione nell'equazione di equilibrio; dovendo l'equazione di equilibrio valere per ogni istante di tempo t, è possibile semplificare i termini $e^{jwt}$ ottenendo:

$$(-\omega ^2\underline{\underline{M}}+j\omega \underline{\underline{C}}+\underline{\underline{K}})\overline{x}=\overline{f}$$

Questa equazione rappresenta un sistema di $n$ equazioni in $n$ incognite (complesse) che ci restituiranno $2n$ soluzioni, i moduli e la fase delle risposte $x(t)$.

La matrice di sistema è $(-\omega ^2\underline{\underline{M}}+j\omega \underline{\underline{C}}+\underline{\underline{K}})$, dove $\underline{\underline{M}}$, $\underline{\underline{C}}$ e $\underline{\underline{K}}$ sono matrici reali. Può la matrice di sistema essere singolare? In generale no, poiché anche se $\underline{\underline{K}}$ dovesse essere singolare (moti di corpo rigido), il contributo di $\underline{\underline{M}}$ non sarebbe nullo, in quanto non esistono moti a cui non sia associata una certa energia cinetica. Perciò, la matrice di sistema si annulla solo in corrispondenza di alcuni specifici valori di $\omega$.

Vediamo ora il comportamento del sistema per valori estremi di $\omega$, ovvero $\omega$ che tende a zero e $\omega$ che tende a infinito. Per $\omega \approx 0$, le azioni inerziali e viscose risultano trascurabili rispetto alle reazioni elastiche e l'equazione di equilibrio si può scrivere come:

$$\overline{x}=\underline{\underline{K^{-1}}}\overline f$$

che rispecchia praticamente la soluzione del problema statico associato. In questo caso, si ha che la risposta è in fase con l'eccitazione.

Per $\omega$ molto grande, le azioni inerziali diventano predominanti e l'equazione diviene:

$$\overline{x}=-\omega ^2\underline{\underline{M^{-1}}}\overline f$$

Al contrario del caso precedente, a causa del segno meno, la risposta del sistema risulterà essere tendenzialmente in controfase rispetto all'eccitazione.

Se mi interessa valutare il comportamento della struttura a fronte di sollecitazioni che siano modulate a $\omega$ diverse, è necessario semplicemente ripetere la soluzione del nostro sistema di equazioni per ogni valore di interesse di $\omega$. I risultati andranno poi raccolti in un grafico, detto “grafico di risposta in frequenza”. Sull'asse delle ascisse si individuano le varie pulsazioni, mentre sull'asse delle ordinate verrà riportato uno scalare di interesse, come ad esempio il modulo della risposta oppure la Von Mises (nel punto in cui è massima nella struttura).

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