wikipaom2016:maxima
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Esercizio maglia di catena ====== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si vuole valutare lo stato tensionale di una maglia di catena in trazione mediante la teoria della trave: tale struttura può essere risolta anche col Metodo degli Elementi Finiti, ma con opportune considerazioni risulta più semplice da risolvere come trave. | ||
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+ | {{: | ||
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+ | L'asse della maglia può essere pensato composto da due tratti rettilinei, ciascuno di lunghezza 2L, e da due semicirconferenze di raggio r. La sezione è circolare di diametro d. | ||
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+ | Sulla maglia agiscono due carichi concentrati di intensità P alle estremità. La struttura presenta carichi ma non vincoli, ciononostante il problema ha senso, in quanto i carichi esterni sono in equilibrio. Per prima cosa si valutano le deformazioni. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
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+ | Il corpo presenta due piani di simmetria ortogonali al piano x-y, come si nota in figura 2. | ||
+ | |||
+ | Poiché il sistema risulta simmetrico e caricato simmetricamente, | ||
+ | Per ogni piano di simmetria si identificano 3 direzioni: una ortogonale e due parallele. I vincoli di simmetria hanno il compito di bloccare gli spostamenti in direzione normale e le rotazioni entropiano. | ||
+ | |||
+ | $u_{\perp}=0$ | ||
+ | $\theta_{\parallel, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si noti che nella figura 4 il carico passa da P a P/2 in quanto l’altra metà del carico è applicata nel punto simmetrico ad A. | ||
+ | |||
+ | Considerate tali tali condizioni sugli spostamenti, | ||
+ | In questo modo la struttura risulta una volta iperstatica. Per renderla isostatica si sostituisce un doppio pendolo con un carrello e si introduce l’incognita iperstatica C legata alla coppia del punto in cui è stato eliminato il vincolo. Per garantire la compatibilità cinematica si pone $$\theta=0$$ | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | A questo punto si può risolvere la struttura mediante il Teorema di Castigliano. | ||
+ | |||
+ | TEOREMA DI CASTIGLIANO | ||
+ | |||
+ | Formula per calcolare l' | ||
+ | Si suppone che x,y siano assi principali d' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \def\d{\, | ||
+ | U= | ||
+ | \int_{l} | ||
+ | | ||
+ | + \frac{M_{f, | ||
+ | + \frac{N | ||
+ | +\eta_{x}\frac{T_{ | ||
+ | +\eta_{y}\frac{T_{ | ||
+ | + \frac{M_{t | ||
+ | \d l | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Utilizzando il Teorema di Castigliano è possibile calcolare l’allungamento totale δ, incognita del problema in esame. Tale teorema vale su ipotesi di sistemi elastici lineari ed enuncia che: | ||
+ | |||
+ | //“lo spostamento δ misurato al punto di applicazione della forza P, ha direzione e verso di P e modulo: | ||
+ | |||
+ | $$ \delta = \frac{\partial U}{\partial P} $$ "// | ||
+ | |||
+ | La coppia C genera una rotazione ϴ della sezione a cui è applicata, calcolabile attraverso il teorema di Castigliano: | ||
+ | |||
+ | //“la rotazione di una sezione a cui è applicata una coppia C ha direzione e verso della coppia e modulo: | ||
+ | |||
+ | $$ \theta = \frac{\partial U}{\partial C} $$ "// | ||
+ | |||
+ | Essendo questo un problema piano, l' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \def\d{\, | ||
+ | U= | ||
+ | \int_{l} | ||
+ | | ||
+ | + \frac{N | ||
+ | +\eta\frac{T^2}{2 G A} | ||
+ | \d l | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Si introduce l' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \def\d{\, | ||
+ | U= | ||
+ | \int_{l} | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | \d l | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Si dovrà in seguito valutare se tale ipotesi è verificata per maglie di catena normalmente utilizzate. | ||
+ | |||
+ | Dalle equazioni di equilibrio alla traslazione verticale ed orizzontale e alla rotazione attorno al punto O si ricavano i valori delle reazioni vincolari in funzione di C e di P/2. | ||
+ | |||
+ | A questo punto risulta semplice ricavare l' | ||
+ | |||
+ | Derivando quest' | ||
+ | |||
+ | Si può quindi calcolare l' | ||
+ | |||
+ | ===== Risoluzione del problema mediante il manipolatore algebrico Maxima ===== | ||
+ | |||
+ | **1 Pulizia della memoria** | ||
+ | |||
+ | Prima di iniziare un nuovo lavoro, è consigliabile pulire la memoria con il seguente comando: | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | **2 Equilibrio** | ||
+ | |||
+ | Per assegnare il nome " | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | Si definiscono eqtx, eqty, eqr0 le equazioni di equilibrio rispettivamente alla traslazione orizzontale, | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | {{wikipaom2016: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Si crea una lista, di nome eq, che comprende il set di equazioni: | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | Analogamente si sarebbe potuto sfruttare il comando " | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | Mediante | ||
+ | assegnate. Il comando restituisce la lista delle variabili ottenute sotto forma di ipotesi: | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | I risultati ottenuti con " | ||
+ | risoluzione del sistema solamente sotto una lista di ipotesi. In questo modo si possono | ||
+ | impostare una serie di ipotesi e decidere di volta in volta quale utilizzare, oppure | ||
+ | risolvere lo stesso problema sotto ipotesi diverse. La sostituzione non è definitiva. | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | Si può assegnare ad una lista di variabili la loro valutazione sotto certe ipotesi, e in questo caso la sostituzione è definitiva: | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | | ||
+ | In alternativa si possono sostituire automaticamente tutti i risultati nelle rispettive variabili con il | ||
+ | comando " | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | **3 Momento Flettente** | ||
+ | |||
+ | Si calcola il momento flettente del quarto di maglia come somma dei momenti flettenti relativi al tratto rettilineo (1) e al tratto curvo (2): | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | {{wikipaom2016: | ||
+ | |||
+ | **NB:Nel disegno sopra a sinistra l' | ||
+ | |||
+ | **4 Energia potenziale elastica** | ||
+ | |||
+ | Si ricava l' espressione dell’ energia potenziale elastica U dei due tratti, utilizzando il comando di integrazione " | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | **5 Rotazione** | ||
+ | |||
+ | Utilizzando il teorema di Castigliano, | ||
+ | Il comando di derivazione è "diff( funzione , variabile , ordine di derivazione )" | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | **6 Equazione di compatibilità** | ||
+ | |||
+ | Per l' | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | **7 Coppia** | ||
+ | |||
+ | Si risolve l' | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | **8 Energia potenziale elastica totale e spostamento** | ||
+ | |||
+ | Si vuole ricavare la deformazione dell' | ||
+ | Il comando " | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | **9 Confronto** | ||
+ | |||
+ | Definendo il modulo della catena come la distanza tra i punti di contatto maglia-maglia, | ||
+ | si può confrontare la deformazione di quest' | ||
+ | tondino dello stesso materiale e di pari sezione. | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | Si introducono le formule di A e J relative alla sezione circolare in esame: | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | Si definisce il parametro k come il rapporto tra la deformazione della maglia e quella | ||
+ | del tondino di riferimento: | ||
+ | |||
+ | {{wiki: | ||
+ | |||
+ | Si ottiene una relazione che dipende solamente dai tre parametri l, r e d caratteristici | ||
+ | della maglia. | ||
+ | |||
+ | ~~DISCUSSION~~ |