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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== Fonti di non linearità ======
+===== Le grandi rotazioni =====
+Se nei modelli non è possibile approssimare, uso le funzioni trigonometriche nello sviluppo completo $\left(\sin\theta\approx\theta \ \ e\ \cos\theta\approx0\right)$.
+Le funzioni trigonometriche non sono lineari, perciò danno la Non Linearità.
+Esempio: piccolo tubo incastrato a un estremo e con una coppia torcente all’estremità libera.
+{{:wikipaom2016:trave_mt.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:trave_mt.pdf|sorgente ipe}}\\
+la faccia terminale:\\
+{{:wikipaom2016:albero.torcente.png|}}
+{{:wikipaom2016:albero.torcente.pdf|sorgente ipe}}\\
+La sezione ruota e la rotazione varia da un valore = 0 nell’incastro a un valore massimo nell’estremo.
+Viene preso ogni nodo al centro della sezione dello spessore; si sposta in due direzioni:
+- direzione tangenziale: per cui  uso l’ipotesi di linearizzazione a piccole rotazioni;
+- direzione circonferenziale: nella componente y ha un termine dell’ordine di $\cos\theta $, che linearizzato è uguale a 0. Perciò mi muovo solo lungo la tangente.
+Detto AB il diametro iniziale e CD il diametro finale, traccio la deformata.
+Se nel tubo è inserito un manicotto, quest’ultimo è montato con gioco ma non ruota solidale al tubo. Il tubo ruotando fa aumentare il diametro. Secondo l’ipotesi lineare si crea interferenza a causa dell’allargamento del diametro del tubo.
+===== Grandi spostamenti ====
+Esempio trave caricata in estremità con un carico P:
+{{:wikipaom2016:trave_sbalzo.png| }}
+{{ :wikipaom2016:trave_sbalzo_2.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:trave_gioco.pdf|sorgente ipe }}
+{{ :wikipaom2016:trave_gioco.pdf|sorgente ipe}}\\
+La sua deformata in forma linearizzata è un puro spostamento in direzione verticale.
+Se si aumenta il carico e poi lo si scala, si ottiene la deformata scalando lo spostamento per il lambda.
+In questa configurazione, la trave si è vistosamente allungata e perciò siamo in presenza di uno sforzo normale, cosa che in forma lineare non si verifica. Ogni tratto di trave nasce orizzontatale e subisce una rotazione (ottenuta muovendo il punto lungo la tangente) aumentando anche di estensione.
+Per carichi molto elevati con materiale che può subire grandi deformazioni:
+la trave tende a divenire quasi verticale, quindi prevale lo sforzo normale rispetto al momento flettente.
+===== Comportamento non-lineare del materiale =====
+{{:wikipaom2016:sforzo.deformazione.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:sforzo.deformazione.pdf|sorgente ipe}}\\
+Il materiale a un certo punto devia dalla linearità dando luogo a una curva ingegneristica sigma-epsilon (to stress to strain), monotona decrescente.
+Tale comportamento è non lineare perché per deformare ottengo una tensione  non scalata. Non è detto che un comportamento non lineare sia non elastico. Se la curva è non lineare ma la deformata è pienamente reversibile, come ad esempio nel caso delle gomme, il materiale è elastico e reversibile ma non lineare.
+===== Fenomeni di contatto =====
+Ipotizzo di avere una trave con un carico applicato all’estremità;
+{{:wikipaom2016:trave_gioco.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:trave_gioco.pdf|sorgente ipe}}\\
+Ma sul punto mediano della trave, c’è la possibilità di un appoggio, tra la trave e l’appoggio ho g = gioco iniziale, mentre δ = spostamento sotto il carico.
+Diagramma carico-spostamento della struttura:
+Aumento man mano il carico (variabile indipendente) durante la mia simulazione, mentre δ è la variabile dipendente.
+{{:wikipaom2016:delta_p.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:delta_p.pdf|sorgente ipe}}\\
+Per piccoli carichi ( nell’intorno dello zero, carichi infinitesimi) : il gioco finito non viene annullato.
+è come se non ci fosse l’appoggio. La pendenza $k_{1}$ segue la legge: $\frac{P}{k_{1}}=\delta$.
+Poi avrò un livello di carico di transizione dal regime 1 al 2 $P\left(1\rightarrow2\right)$ ---> condizione di sfioramento:
+I due punti si toccano ma senza trasferimento di carico ""sistema formula"" è una condizione singolare nello stesso istante.
+Questo vale solo per il carico di transizione ---> reazione di contatto.
+Poi il sistema va in appoggio: quindi si considera un appoggio intermedio.
+Viene messo un carrello (no attrito) che si sposta in direzione normale al contatto fra i due corpi.
+Ho una reazione vincolare R. L’evoluzione continua è un tratto rettilineo con pendenza $k_{2}$, che è tipica del sistema.
+$\frac{P}{k_{2}}=\delta$
+Ho un sistema con comportamento lineare a tratti e rettilineo se esiste un g preesistente maggiore di 0.
+Se g = 0 inizialmente, per carichi positivi ho un comportamento di tipo 2 con $k_{2}$ e 1, per carichi opposti a quelli disegnati (negativi) ho comportamento di tipo 1 con $k_{1}$  e la transizione si ha nell’intorno del gioco.
+Secondo la convenzione dei segni:
+Condizioni di Signorini
+$$ \left\{\begin{matrix}
+R\geq0
+\\ \ \ \ \ g\left(P\right)\geq0\ \ \ \ \ \ \ per\ \ \ evitare\ \ \ la\ \ \ compenetrazione
+\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R\left(P\right)g\left(P\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ Condizione\ \ \ di\ \ \ ortogonalità
+\\
+\end{matrix}\right. $$
+Le tre condizioni devono valere in ogni punto.
+Se introduco l’attrito e le leggi di Coulomb:
+$\parallel\vec{\tau}\parallel\leq p \ f $
+dove $p$ è la pressione di contatto al punto mentre $f$ è il coefficiente di attrito.
+L’attrito introduce fenomeni non lineari impliciti.
+Caricamento proporzionale:
+$\vec{\tau}\left(P\right)=\vec{\alpha} \ P $
+$p\left(P\right)=\beta \ P$
+è la condizione: metto
+$\parallel\alpha\parallel\leq\beta \ f$
+ Indica che per un generico $ P > 0 $ è sempre verificato, mentre per $ P=0 $ mai.
+Questo vuol dire che ho la non linearità nella condizione di scarico.
+I fenomeni di attrito introducono effetti di non linearità e le relative forme di dissipazione energetiche corrispondono a delle non-potenzialità (energetiche).
+===== Carichi in funzione della posizione del punto di applicazione =====
+Per via dell’attrito e delle deformazioni plastiche, il comportamento del sistema è funzione della storia del carico e non dipende solamente dal carico istantaneo.
+Come esempio abbiamo considerato una sezione della membrana di un palloncino (di sezione a+da) alla quale viene applicata una pressione (p+dp). Il relativo carico risultante (p+dp)*(a+da) introdurrà un termine quadratico (da*dp) il quale introduce una non-linearità.
+===== Gestione della non-linearità : Metodo di Newton-Rhapson ======
+[[https://cdm.ing.unimo.it/files/progettazione_assistita/dispensa_progettazione_assistita_v2.pdf|dispensa Progettazione Assistita]] con trattazione algoritmo N-R.
+{{:wikipaom2015:nr-2d_v1.pdf|costruzione grafica per N-R 2d}}
+{{:wikipaom2015:nr-1d.pdf|costruzione grafica per N-R 1d}}
+Si consideri un sistema lineare di n equazioni
+**R(u) = F (u)**
+nelle n componenti incognite del vettore u, con
+**R : u → R<sup>n</sup> , u ∈ C ⊆ R**
+**F : u → R<sup>n</sup> , u ∈ C ⊆ R**
+funzioni vettoriali di variabile vettoriale.
+Nel caso specifico della soluzione di sistemi di equazioni derivate dagli equilibri nodali di strutture discretizzate con metodo FEM, si definiscono le seguenti grandezze:
+   * u: vettore contenente le componenti di spostamento/rotazione nodale dalla configurazione indeformata (incognite);
+   *  F(u): vettore contenente le componenti di forza/coppia nodale applicate dall'esterno sul sistema, supposte note per una data configurazione della struttura.
+   * R(u): vettore contenente le componenti di azione nodale (uguali e contrarie alle reazioni elastiche della struttura costretta in stato deformato) necessarie a mantenere la struttura in equilibrio nello stato deformativo associato al vettore spostamenti nodali u.
+Nel caso particolare di sistema elastico lineare si ha che:
+**R(u) = K * u**
+con K matrice di rigidezza.
+Si nota che tale interpretazione dei termini dell’equazione **R(u) = F(u)** è appropriata nel caso le condizioni al contorno siano alle sole forze.
+Nel caso in cui siano definiti vincoli di spostamento nodale imposto, alcune coppie di termini coniugati Ri(u)-Fi(u) risulteranno modificate in quanto all'equazione di equilibrio i-esima si sostituisce l’identità cinematica tra spostamenti incognito ed imposto.
+Una scrittura alternativa prevede la definizione e l’annullamento di un termine di residuo
+**r(u) = R(u) − F(u) = 0**
+Tale scrittura permette di riassumere in un unico termine le variazioni in u di forze e reazioni elastiche, per cui risulta vantaggioso procedere con tale notazione.
+Il metodo Newton-Raphson è costruito a partire dallo sviluppo in serie di Taylor al primo ordine dell’equazione  'r(u) = 0' di un punto di iterato i-esimo u^i, ossia:
+**r (u<sup>*</sup>) = r (u<sup>i</sup>) + Jr (u<sup>i</sup>) · (u<sup>*</sup> - u<sup>i</sup>) + o (u<sup>*</sup> − u<sup>i</sup>) = 0.**
+==== METODO DI NEWTON-RAPHSON ====
+Si considera il problema monodimensionale di un albero rotante con velocità ''Ω'' con una massa con eccentricità ''δ''
+{{https://cdm.ing.unimo.it/.mediawiki/images/8/84/Massa_eccentrica.png?350x200}}
+Tale problema è prettamente "Non Lineare" infatti: per piccoli spostamenti lavora a flessione, mentre per spostamenti via via crescenti, tende a deformarsi come riportato nella figura di seguito.
+{{https://cdm.ing.unimo.it/.mediawiki/images/c/cc/Grandi_deformazioni.png?350x200}}
+L'eccessiva deformazione, ripercuotendosi anche sui  vincoli, fa si che la trave lavori prevalentemente a trazione. La sua rigidezza, in questo caso, è molto maggiore nel caso di sollecitazione a pura flessione.
+Si parla in questo caso di **Stiffening**, ovvero di situazioni in cui la rigidezza cresce al crescere della deformazione.
+Un altro aspetto da considerare è la forza centrifuga, dovuta alla massa eccentrica mantenuta in rotazione, che inizialmente vale:
+ **F = m Ω<sup>2</sup> δ**
+e, dopo la deformazione:
+ **F(u) = m Ω<sup>2</sup> (δ + u)**
+ **R(u) = K u + g(u)**
+Nel caso particolare in esame "K = (6 E J)/lsup>3</sup><"
+In questo caso R(u) e F(u) sono funzioni scalari di variabili scalari.
+Nel caso generale per risolvere il sistema di equazioni non lineari si procede come illustrato di seguito:
+ **R(u) = F(u)**     sistema di equazioni non lineari
+Si tratta il caso bidimensionale le cui proprietà si riscontrano nel caso ad "n" dimensioni.
+Si accorpano le funzioni "R" ed "F" in una funzione residuo: **r(u) = R(u) - F(u)**
+L'equilibro è soddisfatto se **r(u) = 0** pertanto si risolve il sistema di equazioni non lineari
+ **r<sub>1</sub>(u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>) = 0**
+ **r<sub>2</sub>(u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>) = 0**
+L'algoritmo di **Newton - Raphson** è un metodo iterativo con il quale si ricerca la soluzione approssimata della soluzione esatta incognita.
+Come meglio sarà comprensibile nella trattazione del caso monodimensionale è un metodo simile al metodo delle tangenti.
+Si sceglie un punto di partenza **u<sub>1</sub><sup>i</sup>** e **u<sub>2</sub><sup>i</sup>**, sia (**u<sub>1</sub><sup>*</sup>**,**u<sub>2</sub><sup>*</sup>)** la soluzione esatta del sistema, vale:
+ **r<sub>1</sub>(u<sub>1</sub><sup>*</sup>,*u<sub>2</sub><sup>*</sup>) = r<sub>1</sub>(u<sub>1</sub><sup>i</sup>,u<sub>2</sub><sup>i</sup>) + [∂r<sub>1</sub>/∂u<sub>1</sub>] *(u<sub>1</sub><sup>*</sup> - (u<sub>i</sub><sup>1</sup>) + [∂r<sub>1</sub>/∂u<sub>2</sub>] * (u<sub>2</sub><sup>*</sup> - u<sub>2</sub><sup>i</sup>) + o(u<sup>*</sup>-u<sub>i</sub>)**
+Per l'iterazione, togliendo l'infinitesimo, al posto della soluzione esatta si sostituisce la soluzione approssimata ponendo **u<sup>*</sup> = u<sup>i+1</sup>** lo stesso vale per la seconda equazione del sistema.
+Quindi in forma vettoriale si risolve
+**r (u<sup>i</sup>) + Jr (u<sup>i+1</sup> - u<sup>i</sup>) = 0**
+La matrice del sistema **Jr** è analoga alla matrice di rigidezza.
+Una volta definito il passo di iterazione, a partire da **u<sup>i</sup>** si va a risolvere l'equazione:
+$$
+u_{i+1} = u_i - J_r \backslash r(u_i)
+$$
+~~DISCUSSION~~