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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== SIMMETRIA MATRICE DI RIGIDEZZA ======
+La simmetria della matrice di rigidezza dell'elemento $\underline{\underline{K_{el}}}$ si dimostra per mezzo del Teorema di Betti (o della reciprocità).
+===== TEOREMA DI BETTI =====
+  * __Ipotesi__: struttura elastica
+Si considerino le due condizioni di carico A e B applicate ad una trave incastrata-incastrata come in figura:
+{{:wikipaom2016:caricoa.jpg?400|}}  {{:wikipaom2016:caricob.jpg?400|}}
+__Preesiste lo stato di carico A__
+In seguito all'applicazione della forza P si determinano: un cedimento $δ_{PP}$ nel punto di applicazione di P e un cedimento $δ_{QP}$ in un altro punto della trave.
+Con l'applicazione dello stato di carico B in aggiunta ad A, i punti di applicazione delle forze del sistema preesistente (A) si spostano di una quantità $δ_{PQ}$, pertanto tali forze compiono un lavoro detto lavoro indiretto: $L_A=P⋅δ_{PQ}$
+__Preesiste lo stato di carico B__
+In seguito all'applicazione della forza P si determinano: un cedimento $δ_{QQ}$ nel punto di applicazione di Q e un cedimento $δ_{PQ}$ in un altro punto della trave.
+Con l'applicazione dello stato di carico A in aggiunta a B, i punti di applicazione delle forze del sistema preesistente (B) si spostano di una quantità $δ_{QP}$, pertanto tali forze compiono un lavoro indiretto: $L_B=Q⋅δ_{QP}$
+__Per il teorema di Betti i due lavori indiretti risultano essere uguali__:    $P⋅δ_{PQ} = Q⋅δ_{QP}$
+==== Applicazione del teorema di Betti all'elemento finito ====
+Il nostro caso di interesse è la struttura dell'elemento finito triangolare, pertanto andiamo ad applicare il teorema di Betti al caso in figura:
+{{:wikipaom2016:elema.jpg?500|}} {{:wikipaom2016:elemb.jpg?500|}}
+Si impone che lo stato di carico A sia caratterizzato da una uno spostamento non nullo sul nodo 3 in direzione x($u_3$), mentre risulteranno nulli gli altri spostamenti.
+Si considera la matrice di rigidezza [6 x 6] e la si moltiplica  per il vettore spostamento voluto:{{:wikipaom2016:matricea.jpg?500|}}
+l'unica colonna non nulla della matrice rigidezza sarà la quinta, cosicché la forza che bilancia il sistema sarà data da $K_{2,5}⋅u_3$
+Lo stato di carico B è invece caratterizzato da uno spostamento non nullo sul nodo 1 in direzione y ($v_1$) mentre gli altri spostamenti sono nulli.
+Procedendo analogamente al caso precedente si moltiplica la matrice rigidezza per il vettore spostamento.
+{{:wikipaom2016:matriceb.jpg?500|}} \\
+L'unica colonna non nulla della matrice rigidezza sarà la seconda quindi la forza che bilancia lo spostamento imposto sarà
+$K_{5,2}⋅v_1$.
+Si applica a questo punto il **teorema di Betti**: \\
+Supposto preesistente lo stato di carico A, si applica successivamente lo stato di carico B.
+Le forze di A(**$K_{2,5}⋅u_3$**) compiranno lavoro sugli spostamenti indotti da B(**$v_1$**), cosicché il lavoro indiretto sarà dato da: \\
+$L_{B}=K_{2,5}⋅u_3⋅v_1$ \\
+Supponendo preesistente lo stato di carico B ed applicando successivamente A, si ottiene la situazione duale tale per cui il lavoro indiretto sarà: \\ $L_{A}=K_{5,2}⋅v_1⋅u_3$ \\
+Imponendo infine la condizione del teorema secondo cui i lavori indiretti sono uguali, si ottiene: \\
+$L_{B}=L_{A} ⇒ K_{2,5}=K_{5,2}$
+====== TRASFORMAZIONE DI COORDINATE ======
+Considero una generica struttura $FEM$
+corpo elastico vincolato
+{{:wikipaom2015:corpo_elastico.png|(rette dei vincoli diverse da x e y)}}
+{{:wikipaom2015:corpo_elastico.pdf|sorgente ipe}}
+(rette dei vincoli diverse da x e y)
+il nodo ha un suo spostamento $\delta$ rappresentato da due componenti lungo $x$, $y$ (in coordinate globali)
+$\vec{\delta}=u\widehat{x}+v\widehat{y}$
+è possibile definire un sistema di coordinate diverso anche solo per il singolo nodo o una famiglia di nodi, in questo caso è possibile definire $\vec{\delta}$ come:
+$\vec{\delta}=p\widehat{r}+q\widehat{s}$
+dove \\
+$\widehat{r}=r_{x}\widehat{x}+r_{y}\widehat{y}$              $(a)$ \\
+$\widehat{s}=s_{x}\widehat{x}+s_{y}\widehat{y}$              $(b)$ \\
+e $r_{x}=<\widehat{r}, \widehat{x}>, s_{x}=<\widehat{s}, \widehat{y}>$ sono i coseni direttori.
+Si prendono le forme $(a)$, $(b)$ e si definiscono imponendo il prodotto scalare.
+$\vec{\delta}=pr_{x}\widehat{x}+pr_{y}\widehat{y}+qs_{x}\widehat{y}+qs_{y}\widehat{y}=(pr_{x}+qs_{x})\widehat{x}+(pr_{y}+qs_{y})\widehat{y}$
+$u=pr_{x}+qx_{x}$
+$v=pr_{y}+qs_{y}$
+$$\begin{pmatrix}
+u\\
+v
+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+r_{x} & s_{x}\\
+ r_{y}&s_{y}
+\end{pmatrix}\binom{p}{q}$$
+che è la matrice di trasformazione da coordinate locali a coordinate globali. In generale si dispongono per colonne le componenti dei versori del sistema di partenza scomposte secondo il sistema di destinazione; inoltre si dimostra che per l'operazione inversa, l'inversa della matrice di trasformazione coincide con la sua trasposta.\\
+$$\begin{pmatrix}
+p\\
+q
+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+r_{x} & r_{y}\\
+ s_{x}&s_{y}
+\end{pmatrix}\binom{u}{v}$$ \\
+Parto dalle incognite di un sistema $FEM$ cioè gli spostamenti
+$\begin{pmatrix}
+u_{1}\\
+v_{1}\\
+.\\
+.\\
+.\\
+u_{i-1}\\
+v_{i-1}
+\end{pmatrix}$
+dove $v_{i-1}$ è l'ultimo nodo delle coordinate globali.
+{{:wikipaom2015:matricet.png?800|}}
+$\underline{\delta}$ può essere scritto in funzione di un vettore simile, identico fino a $v_{i-1}$ e identico da $u_{i+1}$ a $u_{N}$.
+In questo modo viene semplice imporre $u_{N}=0$
+tutti gli elementi non diagonali (al di fuori dei quadratini (vedi matrice di trasformazione) sono elementi nulli.\\
+Intorno alla diagonale ho dei blocchi di matrici con elementi diagonali pari a $1$, quindi $u_{1}$ e $v_{1}$ sono moltiplicati per la matrice identità e danno come risultato $u_{1}$ $v_{1}$.\\
+Ogni blocco può contenere un'ipotetica trasformazione di riferimento da riferimento globale a un qualsiasi sistema locale.\\
+$\underline{\delta}=\underline{\underline{T}}\underline{{\delta}}^*$ \\
+$\underline{\underline{k}}\underline{\underline{T}}\underline{\underline{\delta}}=\underline{{f}}$
+facendo così perdo la simmetria della matrice; per recuperarla si premoltiplicano ambo i membri per $\underline{\underline{T}}^T$:
+$\underline{\underline{T}}^T\underline{\underline{k}}\underline{\underline{T}}\underline{\underline{\delta}}=\underline{{f}}\underline{\underline{T}}^T$   o in forma più compatta:$\underline{\underline{k}}'\underline{{\delta}}'=\underline{{f}}'$
+Può essere utile a volta imporre vincoli cinematica con spostamenti non nulli, per esempio nel caso del tubo pressurizzato.
+{{:wikipaom2015:struttura_pressione.png|}}
+{{:wikipaom2015:struttura_pressione.pdf|sorgente ipe}}
+vincolando isostaticamente vedo che il sistema si sposta:  $-u_{k}=u_{j}$ e $v_{l}=-v_{i}$\\
+considere i quattro nodi $i$, $j$, $k$, $l$
+===== Servo-link (o Multi-Point Constraint) =====
+E'possibile in generale ottenere lo stesso risultato imponendo delle condizioni di forma, ossia si impongono dei vincoli tra il grado di libertà $j-esimo$ e gli altri $i-j$.\\
+$\delta_j=\sum_{i \neq j} \alpha_{ji} \delta_i + \Delta\delta_j$ \\
+Dal punto di vista matematico introduco una caratteristica di dipendenza $\delta_{j}$ detta "$servo-link$" tra i gradi di libertà. Il termine $\Delta\delta_j$ rappresenta uno spostamento relativo tra il termine di combinazione lineare e l'effettiva dislocazione del nodo; esso potrà essere successivamente annullato attraverso un vincolamento del gdl.\\
+Si procede partendo da un vettore degli spostamenti $\vec{\delta}$.\\
+{{:wikipaom2015:matrice2gruppo3.png|}}
+$\Rightarrow$ $\underline{\delta}=\underline{\underline{L}}\underline{\delta}^{*}$
+inserisco questa forma nel sistema di equazioni di equilibrio nodali.\\
+$\underline{\underline{K}}\underline{\underline{L}}\underline{\delta}*=\underline{F}$
+Si nota che si è persa la simmetria e si ha un numero di incognite maggiore.\\
+Come già fatto si premoltiplicano per $L^{T}$ ambo i membri:\\
+$ \underline{\underline{L}}^T\underline{\underline{K}}\underline{\underline{L}}\underline{\delta}^*= \underline{\underline{L}}^T\underline{F}$ , ovvero in forma più compatta: $\underline{\underline{K}}'\underline{\delta}^*=\underline{F}'$\\
+La premoltiplicazione per $L^T$ è inoltre necessaria per mantenere una definizione coerente di lavoro virtuale delle forze esterne.
+Vincolando un grado di libertà si perde un'equazione che impone la cinematica.\\
+Supponiamo che $F$ di partenza descriva una struttura con un carico applicato in corrispondenza del grado di libertà vincolato. Analizzando $\delta$ risulta, in componenti, che: \\
+${F_i}^*=F_i +\alpha_{ji}, i≠j$ ;  ${F_i}^*=F_i$
+Il carico $F$, che è applicato al nodo reso dipendente, viene implicitamente ripartito su tutti gli altri nodi con quei coefficienti $\alpha$.\\
+Quindi vediamo che quello che era nato come un vincolo di dipendenza cinematica, è un oggetto che posso anche usare per spalmare un carico su più nodi.\
+Proviamo a pensare ad un esempio.
+Supponiamo io abbia una struttura di questo tipo:
+{{:wikipaom2015:esempio_3d.png|}}
+{{:wikipaom2015:esempio_3d.pdf|sorgente ipe}}
+ho degli elementi hex8, esaedri ad $8$ nodi (estensione tridimensionale dell'isoparametrico $4$ nodi), che compongono una specie di colonna.\\
+Voglio spalmare un carico $P$ tra questi quattro nodi ($1$, $2$, $3$ ,$4$ in figura).\\
+Quello che posso fare è creare un **ulteriore** nodo $5$ al centro (ho quindi una struttura a 12+1 nodi), in qualche modo svincolato dalla struttura (non è collegato a nessun elemento), in cui dico ad esempio che lo spostamento in direzione $x$ del nodo $5$ è uguale alla media degli spostamenti $1$, $2$, $3$, $4$, quindi:
+$u_{5}=\frac{1}{4}u_{1}+\frac{1}{4}u_{2}+\frac{1}{4}u_{3}+\frac{1}{4}u_{4}$
+Stessa cosa per lo spostamento in direzione $y$:
+$v_{5}=\frac{1}{4}v_{1}+\frac{1}{4}v_{2}+\frac{1}{4}v_{3}+\frac{1}{4}v_{4}$
+Idem per lo spostamento in direzione $z$:
+$w_{5}=\frac{1}{4}w_{1}+\frac{1}{4}w_{2}+\frac{1}{4}w_{3}+\frac{1}{4}w_{4}$
+In pratica dico che quel nodo si sposta come la media degli altri.\\
+Ovviamente risulta che una volta che rendo questo nodo dipendente, non posso più vincolarlo ulteriormente, cioè non posso dire in contemporanea che $u_{5}$ sia uguale a quanto appena scritto nella formula, ma anche che $u_{5}=0$.\\ Sono due opposizioni che, in via teorica, potrebbero essere non compatibili. Un nodo può essere reso dipendente una sola volta.\\
+Quindi quando un grado di libertà viene reso dipendente con una qualche relazione cinematica, il suo valore non può più essere imposto, non può più essere reso dipendente da nient'altro.\\
+Se faccio una cosa di questo tipo ed applico un carico $P$ in direzione $y$ al nodo $5$, per questa trasformazione io ottengo che quel carico $P$ viene suddiviso $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$ sui nodi $1$, $2$, $3$, $4$.\\
+Quindi gli stessi pesi che definiscono la dipendenza cinematica, per via di questa trasformazione definiscono anche la  distribuzione del carico che era originariamente applicato a quel grado di libertà. Quel grado di libertà lo tolgo dal sistema, però ciò che era applicato a quel carico non lo elimino, ma semplicemente lo spalmo, sulla base di quegli stessi pesi, sugli altri $4$ nodi.\\
+Vedremo che questa formulazione si può generalizzare, ed otterremo in forma più generica un vincolo di carico distribuito.\\
+L'importante è che si mantiene sempre una sostanziale corrispondenza tra un vincolo cinematico e una ripartizione delle forze agenti sul grado di libertà vincolato. Un vincolo cinematico ha sempre una ripercussione sulla distribuzione delle forze.\\
+Esiste anche un'altra forma per ottenere lo stesso effetto, che mantiene la matrice nelle dimensioni originali.\\
+L'idea è questa. Lo stesso effetto di vincolamento, che è descritto qui, lo si può scrivere in una forma sostanzialmente analoga, ma che non cambia il numero di incognite, prendendo questa equazione e scrivendola in una forma modificata:
+$\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i+\Delta\delta_{j}$
+considerando $\Delta\delta_{j}=0$ imposto per vincolamento ha lo stesso effetto della forma $\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i$.\\
+$\Delta\delta_{j}$ rimane un'incognita del problema.
+----
+Materiale di riferimento:\\
+{{:wikipaom2016:dispensa_progettazione_assistita.pdf|versiona aggiornata lucidi links}} (con vari errori corretti)
+{{:wikipaom2016:dispensa_pa.zip|sorgenti latex}}
+~~DISCUSSION~~