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---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ========IN ATTESA DI REVISIONE======== | ||
+ | =====ELEMENTO ISOPARAMETRICO A 4 NODI: passaggio dal sistema naturale al sistema fisico===== | ||
+ | |||
+ | Utilizzando un elemento isoparametrico a 4 nodi, conviene introdurre un sistema di coordinate (o,ξ,η) detto **sistema di coordinate naturali**. | ||
+ | Definite le funzioni di mappatura come: | ||
+ | |||
+ | $$\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x(\xi \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi \eta )x_{i}\\ | ||
+ | |||
+ | y(\xi \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi \eta )y_{i} | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | |||
+ | \qquad(1)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | | ||
+ | |||
+ | dove (x,y) sono le coordinate del sistema fisico, $N_{i}(ξ, | ||
+ | Le funzioni di mappatura possono essere esplicitate in modo da ottenere una espressione del tipo: | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | $$\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x=\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \xi \eta +\delta\\ | ||
+ | y=\alpha '\xi +\beta' | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | \qquad(2)$$ | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | |||
+ | in cui $ \alpha \beta \gamma | ||
+ | |||
+ | Tali espressioni ci suggeriscono che tali funzioni seguono un comportamento lineare lungo sezioni ortogonali agli assi (ξ,η) del sistema naturale. Infatti, se considero il bordo tra i nodi 1 e 2 nel riferimento naturale, essendo un segmento ad η costante, viene trasformato linearmente ed i segmenti mostrati in figura sono perciò proporzionali. | ||
+ | |||
+ | $$\frac{a}{b}=\frac{a' | ||
+ | \qquad(3)$$ | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | Lo stesso si può dire per tutti i bordi dell' | ||
+ | |||
+ | Un punto medio del bordo rimarrà dunque un punto medio del bordo anche nel riferimento fisico. | ||
+ | Per le stesse ragioni anche gli assi ζ ed η vengono trasformati linearmente e conservano dunque la loro rettilineità. Sapendo inoltre che questi intersecano i bordi dell' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | $$Figura 1$$ | ||
+ | |||
+ | Ragionando in modo analogo è ancora possibile ricavare per via geometrica la posizione di un punto P dal sistema di riferimento naturale a quello fisico. Individuato P infatti come intersezione tra due rette parallele agli assi ζ ed η nel riferimento naturale esso corrisponderà all' | ||
+ | |||
+ | $$\frac{c}{d}=\frac{c' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====MATRICE RIGIDEZZA PER L' | ||
+ | {{ : | ||
+ | $$Figura 2$$ | ||
+ | |||
+ | Si considera un triangolo rettangolo sul piano naturale con cateti paralleli agli assi $(\xi , | ||
+ | L’area del triangolo risulta: | ||
+ | |||
+ | $$A_{\xi \eta }=\frac{1}{2}d\xi d\eta | ||
+ | \qquad(4)$$ | ||
+ | |||
+ | I nodi del triangolo nel sistema naturale hanno coordinate : | ||
+ | |||
+ | $Nodo_{1}=\xi ,\eta$ | ||
+ | |||
+ | $Nodo_{2}=\xi+d\xi ,\eta | ||
+ | \qquad(5)$ | ||
+ | |||
+ | $Nodo_{3}=\xi ,\eta +d\eta $ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Nel piano fisico , con le funzioni di mappatura le coordinate dei nodi del triangolo sono : | ||
+ | |||
+ | $Nodo_{1}=x(\xi, | ||
+ | |||
+ | $Nodo_{2}=x(\xi+d\xi, | ||
+ | | ||
+ | $Nodo_{3}=x(\xi, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Consideriamo come esempio : | ||
+ | |||
+ | $x(\xi ,\eta )=\sum_{i}^{3}N_{1}(\xi ,\eta )x_{i}$ | ||
+ | $$\qquad(7)$$ | ||
+ | $x(\xi+d\xi ,\eta )=\sum_{i}^{3}N_{1}(\xi+d\xi ,\eta )x_{i}$ | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | Con l’ipotesi che i lati del triangolo nel piano naturale siano piccoli si ha: | ||
+ | |||
+ | $d\xi ,d\eta < < 1$ | ||
+ | |||
+ | Sviluppando con Taylor le coordinate dei punti nel piano fisico (6), queste risultano essere | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $Nodo_{1}=x(\xi ,\eta ),(\xi ,\eta )$ | ||
+ | |||
+ | $Nodo_{2}=x(\xi ,\eta )+\frac{\delta x}{\delta \xi }|(\xi \eta )d\xi ,y(\xi \eta )+\frac{\delta y}{\delta \xi }|(\xi \eta )d\xi\qquad(8)$ | ||
+ | |||
+ | $Nodo_{3}=x(\xi ,\eta )+\frac{\delta x}{\delta\eta}|(\xi \eta)d\eta, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Con queste coordinate è possibile calcolare l’area del triangolo nel piano fisico : | ||
+ | |||
+ | $$A_{xy}=\frac{1}{2!} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & 1\\ | ||
+ | x & x+\frac{\delta x}{\delta \xi }d\xi & x+\frac{\delta x}{\delta \xi }d\eta\\ | ||
+ | y & y+\frac{\delta y}{\delta \xi }d\xi & y+\frac{\delta y}{\delta \eta }d\eta | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(9)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Sottraendo alla seconda riga la prima moltiplicata per x [ R2 / (R2 - x*R1)] e alla terza riga la prima moltiplicata per y [ R3 / (R3 - y*R1)] si ottiene: | ||
+ | $$A_{xy}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} | ||
+ | 1 & | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(-1)^{2}\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta x}{\delta \xi }d\xi & | ||
+ | \frac{\delta y}{\delta \xi }d\xi & \frac{\delta y}{\delta \eta }d\eta | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(10)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Essendo $(d\xi , d\eta)$due scalari , ed essendo presenti indistintamente | ||
+ | |||
+ | $$A_{xy}=\frac{1}{2}d\xi d\eta\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta x}{\delta \xi } & | ||
+ | \frac{\delta y}{\delta \xi } & \frac{\delta y}{\delta \eta } | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(11)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Dove: | ||
+ | |||
+ | $\frac{1}{2}d\xi d\eta=A_{\xi \eta }$ | ||
+ | |||
+ | e | ||
+ | |||
+ | $$\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta x}{\delta \xi } & | ||
+ | \frac{\delta y}{\delta \xi } & \frac{\delta y}{\delta \eta } | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(12)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | rappresenta la matrice Jacobiana trasposta , il cui determinante chiameremo Jacobiano | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Per quanto riguarda le deformazioni, | ||
+ | |||
+ | $$\underline{\varepsilon }\begin{bmatrix} | ||
+ | \varepsilon _{x}\\ | ||
+ | \varepsilon _{y}\\ | ||
+ | \varepsilon _{xy} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & | ||
+ | 0& | ||
+ | 0 & | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta y}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta y} | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(13)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | La matrice 3x4 viene indicata come $\underline{H}$, | ||
+ | Come già visto, | ||
+ | |||
+ | $$\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \xi }\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \eta } | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\underline{J}\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta x}\\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta y }\ | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(14)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Supponendo $\underline{J}$ invertibile , ossia$\left | \underline{J} \right |\neq 0$ per ogni valore , è lecito scrivere | ||
+ | |||
+ | $$\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\underline{J}^{-1} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \xi }\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \eta } | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(15)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\underline{J}^{-1} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \xi }\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \eta } | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(16)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | considerando che: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{J}^{-1} | ||
+ | =\frac{1}{\left | \underline{J} \right |} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | J_{22} & -J_{12}\\ | ||
+ | -J_{21} & | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Utilizzando la matrice $\underline{J}^{-1}$ si può inserire il vettore a 4 componenti trovato nella (13) | ||
+ | |||
+ | $$\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta y}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta x}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta y} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \underline{J_{11}^{-1}} & | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | 0 & 0& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \xi}\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \eta}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \xi}\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \eta} | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(17)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | La matrice 4x4 trovata nell' | ||
+ | |||
+ | Per esplicitare il vettore a 4 componenti a destra nulla (17) attraverso le funzioni di forma, si ricava che: | ||
+ | |||
+ | $\frac{\delta u}{\delta\xi}=\sum_{i}^{4}\frac{\delta N_{i}}{\delta \xi }u_{i}$ | ||
+ | |||
+ | $\frac{\delta u}{\delta\eta}=\sum_{i}^{4}\frac{\delta N_{i}}{\delta \eta }u_{i}$ | ||
+ | |||
+ | $\frac{\delta v}{\delta\xi}=\sum_{i}^{4}\frac{\delta N_{i}}{\delta \xi }v_{i}$ | ||
+ | |||
+ | $\frac{\delta v}{\delta\eta}=\sum_{i}^{4}\frac{\delta N_{i}}{\delta \eta }v_{i}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | con: | ||
+ | $$\underline{N}=\begin{bmatrix} | ||
+ | N_{1} & | ||
+ | 0 & | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Il vettore sopra citato nella (17) può essere scritto in forma matriciale come: | ||
+ | |||
+ | $$\begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \xi }\\ | ||
+ | \frac{\delta u}{\delta \eta }\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \xi }\\ | ||
+ | \frac{\delta v}{\delta \eta } | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \underline{Q}(\xi ,\eta) | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | u_{1}\\ | ||
+ | v_{1}\\ | ||
+ | u_{2}\\ | ||
+ | v_{2}\\ | ||
+ | u_{3}\\ | ||
+ | v_{3}\\ | ||
+ | u_{4}\\ | ||
+ | v_{4} | ||
+ | \end{bmatrix}\qquad(18)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Il vettore a destra sulla (18) si indica come | ||
+ | $\underline{\delta }$ | ||
+ | e | ||
+ | $\underline{Q}(\xi ,\eta )$ | ||
+ | |||
+ | ed è una matrice 4x8 così descritta: | ||
+ | |||
+ | $$\underline{Q}(\xi ,\eta )= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\delta N_{1}}{\delta \xi } & | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | 0& | ||
+ | \end{bmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Possono essere descritte a questo punto le deformazioni nel sistema naturale come: | ||
+ | |||
+ | $\underline{\varepsilon }=\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}(\xi ,\eta )\cdot \underline{Q}(\xi ,\eta )\cdot \underline{\delta }\qquad(19)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | L’energia potenziale elastica dell’elemento isoparametrico a 4 nodi (U) può essere scritta come: | ||
+ | |||
+ | $U=\iint_{a_{xy}}^{ }\frac{1}{2}\underline{\varepsilon }^{T}\cdot \underline{\sigma }\cdot da_{xy}\qquad(20)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Ricordando che $a_{xy}=a_{\xi \eta }\left | J \right |$ la (20) può essere scritta come: | ||
+ | |||
+ | $U=\iint_{a_{\xi \eta }}^{ }\frac{1}{2}\underline{\varepsilon }^{T}\cdot \underline{\sigma }\cdot \left | J(\xi \eta ) \right |da_{\xi \eta }\qquad(21)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Utilizzando la (19) ed introducendo la matrice D del legame costitutivo che lega e tensioni alle deformazioni ,tali che: | ||
+ | |||
+ | $\underline{\sigma }=\underline{D}\cdot \underline{\varepsilon }\qquad(22)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | La (21) può essere scritta come: | ||
+ | |||
+ | $U=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\underline{\delta }^{T}\cdot \underline{Q}^{T}\cdot \underline{J_{inv}^{*T}}\cdot \underline{H}^{T}\cdot \underline{D}\cdot \underline{H}\underline{J_{inv}^{*}}\cdot \underline{Q}\cdot \underline{\delta }\cdot \left | \underline{J} \right |d\xi d\eta \qquad(23)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ponendo | ||
+ | |||
+ | $\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}\cdot \underline{Q}\cdot \underline{\delta }=\underline{B}(\xi \eta )\qquad(24)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | la (23) può essere scritta come : | ||
+ | |||
+ | $U=\frac{1}{2}\underline{\delta }^{T}\left ( \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \underline{B}^{T}\cdot \underline{D}\cdot \underline{B}\left | \underline{J} \right |d\xi d\eta \right )\underline{\delta }\qquad(25)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | //(Si è potuto portare fuori $\underline{\delta }^{T}$ ed anche $\underline{\delta }$ in quanto non dipendenti dalle variabili di integrazione $(\xi, | ||
+ | // | ||
+ | |||
+ | Ponendo: | ||
+ | |||
+ | $\underline{K}=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \underline{B}^{T}\cdot \underline{D}\cdot \underline{B}\left | \underline{J} \right |d\xi d\eta$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | dove K rappresenta la matrice rigidezza dell’elemento, | ||
+ | |||
+ | $U=\frac{1}{2}\underline{\delta }^{T}\cdot \underline{K}\cdot\underline{\delta }\qquad(26)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | A differenza dal caso relativo all' | ||
+ | Viene perciò utilizzato il **il metodo della quadratura di Gauss** secondo il quale: | ||
+ | |||
+ | $\underline{K}=\sum_{l=1}^{4}W_{l}\underline{B}^{T}(\xi_{l} \eta_{l} )\cdot \underline{D_{\left [ l \right ]}}\cdot \underline{B}(\xi_{l} \eta_{l} )$ | ||
+ | |||
+ | dove i punti candidati ad essere punti di integrazione di Gauss sono: | ||
+ | |||
+ | $P_{1}=(\frac{1}{\sqrt{3}}; | ||
+ | |||
+ | $P_{2}=(\frac{1}{\sqrt{3}}; | ||
+ | |||
+ | $P_{3}=(-\frac{1}{\sqrt{3}}; | ||
+ | |||
+ | $P_{4}=(-\frac{1}{\sqrt{3}}; | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | $$Figura 3$$ | ||
+ | |||
+ | $W_{i}$ è il peso specifico dell' | ||
+ | La matrice $\underline{D}$ è la matrice che esprime il legame costitutivo e può essere eventualmente funzione dei punti di Gauss; si può dunque pensare che un elemento isoparametrico a 4 nodi possa avere globalmente un comportamento elastoplastico espresso mediante i propri punti di Gauss che singolarmente possono avere differenti matrici $\underline{D}$. | ||
+ | Si preferisce, tuttavia, evitare elementi parzialmente plasticizzati sfruttando elementi triangolari aventi un unico nodo e un' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Il software //Mark// utilizza due modalità di integrazione gaussiana a seconda del numero di punti di Gauss sfruttati: //Full Integration// | ||
+ | |||
+ | **Full Integration**: | ||
+ | |||
+ | **Reduced Integration**: | ||
+ | |||
+ | Un caso in cui si ha questa peculiarità è quello relativo al fenomeno dello //Shear Locking// analizzato di seguito. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====SHEAR LOCKING==== | ||
+ | Lo Shear Locking è un fenomeno che si manifesta nella teoria dell' | ||
+ | Si prenda come esempio un elemento di trave soggetto a flessione pura. | ||
+ | La //fig.4// mostra la soluzione esatta delle deformata dell' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | $$Figura 4$$ | ||
+ | |||
+ | D' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | $$Figura 5$$ | ||
+ | |||
+ | La figura successiva mostra invece un concio in cui viene applicata la sola deformazione angolare comparsa nella deformazione a trapezio $\gamma _{xy}$ | ||
+ | |||
+ | Da cui a livello energetico ne deriva: | ||
+ | |||
+ | $E_{anodi}=E_{esatta}+E_{\gamma }$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ossia: l' | ||
+ | Accade infatti che all' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | $$Figura 6$$ | ||
+ | |||
+ | Ora, con una ipotetica Full Integration secondo 4 punti di Gauss come in //Fig.6//, vengono prese in considerazione inevitabilmente le $\tau _{xy}$ provocanti quell' | ||
+ | Utilizzando, | ||
+ | Tuttavia se da una parte l' | ||
+ | |||
+ | ~~DISCUSSION~~ |