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wikipaom2016:lez6

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ebertocchi [Deformazioni]
Linea 1: Linea 1:
 +
 +$$
 +  \newcommand{\vec}[1]{\smash{\underline{#1}}}
 +  \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}}
 +$$
 +
 +
 +
 +
 +====== Lezione 6 ======
 +
 +
 +===== Costruzione della matrice rigidezza vincolata =====
 +
 +Prendendo in esame la stessa struttura si illustra un esempio di costruzione della “Matrice di rigidezza vincolata”. Nel caso specifico si considerano vincolati i nodi “1” e “4” rispettivamente con carrello e cerniera, corrispondenti ai gradi di libertà “2”, “7” e “8”.
 +
 +{{  :wikipaom2016:paomlez06_immagine1.png?300 |}}
 +
 +La struttura è a elementi triangolari, caricata sul nodo 2 da $Px$ e $Py$.
 +Possiamo associare a ogni elemento triangolare una matrice rigidezza 6x6; gli elementi della matrice dell'elemento 1,2 e 3 sono rispettivamente $a_{ij}$ , $b_{ij}$ , $c_{ij}$.
 +I contributi delle matrici di rigidezza di ogni elemento possono essere assemblati nella matrice rigidezza dell'intera struttura; le matrici rigidezza di ogni elemento possono essere costruite mediante equazioni di equilibrio ad ogni nodo dell'elemento a cui appartiene.
 +Vediamo il procedimento per determinare la matrice rigidezza dell'elemento 1.
 +I nodi dell'elemento 1 sono 4,5,2 a cui associamo una nomenclatura locale rispettivamente $i,j,k$.
 +Per ogni nodo scriviamo l'equazioni di equilibrio lungo l'asse $x$ e l'asse $y$.
 +
 +{{  :wikipaom2016:paomlez06_immagine2.jpg?450 |}}
 +
 +La prima riga contiene i contributi alle reazioni elastiche sul nodo 4.
 +Le righe della matrice dell'elemento sono legate alle equazioni di equilibrio, le colonne invece sono associate a specifiche incognite di spostamento $u$.
 +Per trasportare gli elementi dalla matrice locale alla matrice globale possiamo rifarci a una regola pratica:
 +Chiamando "**l**" il nodo locale, il nodo globale sarà:
 +  * 2l - 1 per la direzione $x$
 +  * 2l     per la direzione $y$
 +
 +{{  :wikipaom2016:paomlez06_immagine3.jpg?450 |}}
 +
 +Ad esempio la 1° riga della matrice di rigidezza dell'elemento 1 andrà a finire nella 7° riga della matrice di rigidezza globale, la 2° riga alla 8° della matrice globale e così via.
 +Analogamente si procede per le colonne
 +
 +Ripetendo il procedimento per gli altri 2 elementi, otteniamo la matrice di rigidezza globale andando a sostituire e quindi sommare i termini $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ nella loro posizione globale. Notiamo che gli elementi diagonali delle matrici locali rimangono sulla diagonale della matrice globale.
 +La matrice di rigidezza globale è una matrice singolare e simmetrica.
 +La matrice globale si presenta nella seguente forma:
 +
 +{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-0.png?500 |}}
 +
 +Introduciamo i vincoli per il nodo 4, i quali devono essere considerati uno per volta.
 +
 +Gli spostamenti imposti sono:$ u_4=0, v_4=0,v_1=0 $.
 +Partiamo dallo spostamento in direzione x, procedo cancellando il vincolo e inserendo un vincolo cinematico ossia:
 +$u_4=\bar{u}_4$
 +Tolto così il vincolo ho imposto un vincolo cinematico e quindi considerando nello specifico il grado di libertà “7”, si annullano tutti gli elementi della settima riga tranne quello diagonale posto uguale a “1”. In questo modo senza togliere il carattere di incognita ad $u_4$, risulta essere pari a zero indipendentemente dagli altri valori.
 +
 +{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-1.png?450 |}}
 +
 +Si esegue la medesima operazione sulla colonna “7” (essendo tutti termini noti) collocando gli elementi della stessa nel vettore dei termini noti, in questo modo si recupera la simmetria della matrice.
 +
 +{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-2.png?450 |}} 
 +
 +{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-3.png?450 |}}
 +
 +Si ottiene così il sistema matriciale vincolato relativo al grado di libertà "7"
 +
 +{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-4.png?450 |}}
 +
 +Si effettuano le stesse operazioni per i gradi di libertà "2" e "8" relativi ai restanti vincoli scelti ( $v_4=\bar{v}_4$, $v_1=\bar{v}_1$)
 +
 +{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-5.png?450 |}}
 +
 +La matrice ottenuta è la "**Matrice rigidezza vincolata**".
 +Al termine noto è presente una quota parte delle reazioni elastiche degli elementi associati a uno spostamento.
 +La matrice di rigidezza si può risolvere mediante un qualsiasi metodo di calcolo numerico.
 +
 +===== Calcolo delle reazioni vincolari =====
 +Prendiamo un sistema previncolamento
 +
 +$$
 +\mat{K} \vec{\delta} = \vec{P}
 +$$
 +Consideriamo il sistema vincolato del tipo:
 +$$
 +\mat{K}^v \vec{\delta}^* = \vec{P}^v
 +$$
 +
 +La soluzione avrà forma del tipo  $ \vec{δ}^* = \mat{[K^v]}^{-1} \vec{P}^v $.
 +Perciò essendo
 +$$ \mat{K}\vec{\delta}^* \neq \vec{P} $$
 +possiamo scrivere che
 +$$ \mat{K}\vec{\delta}^* = \vec{P} + \vec{R} $$
 +dove $\vec{R}$ è vettore reazione vincolare.
 +La differenza tra le reazioni elastiche e le azioni esterne non sarà mai nulla poichè raccolgono l'errore numerico di calcolo.
 +Dagli spostamenti nodali della struttura otteniamo gli spostamenti nodali elemento per elemento da cui ricaviamo le deformazioni e le tensioni.
 +
 +
 +{{:wikipaom2015:assemblaggio_da_prof.pdf|procedura asseblaggio (ipe,pdf)}}
 +
 +
 +===== Elemento isoparametrico a 4 nodi =====
 +
 +Consideriamo questo elemento quadrilatero liberamente distorto nello spazio fisico $x,y$ (il corrispettivo nel 3D è il tetraedro a 8 nodi).
 +
 +{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine4.jpg?300 |}}
 +
 +Costruisco le funzioni di interpolazioni sullo spazio fisico come:
 +$$ u(x,y)=ax+by+cxy+d $$
 +dove $u$ è lo spostamento
 +
 +La funzione di interpolazione può essere espressa anche in forma lineare del tipo
 +$ u(x,y)=ax+by+d+cx^2 $ oppure $ u(x,y)=ax+by+d+cy^2 $ 
 +
 +Dato che i termini non possono essere più di quattro devo scegliere una delle due forme, per cui non compaiono entrambi i termini al quadrato.
 +Avrò un sistema del tipo
 +$$ \left\{\begin{matrix}
 +u(x_i,y_i)= u_i
 +\\u(x_j,y_j)= u_j 
 +\\ u(x_k,y_k)= u_k
 +\\ u(x_l,y_l)= u_l
 +
 +\end{matrix}\right. $$
 +
 +
 +Queste 4 equazioni ci permettono di definire i coefficienti $ a,b,c,d $.
 +Procedendo in questa maniera tuttavia riusciamo a definire correttamente solo elementi rettangolari non distorti. Infatti non si rispetta la continuità tra lato e lato e si ha la generazione di tagli e sovrappozione di materiale.
 +
 +**Abbandoniamo questo tipo di approccio.**
 +Procederemo con un altra procedura più generale e generalizzabile.
 +Per costruire la teoria dell'elemento isoparametrico a 4 nodi occorre affiancare al piano fisico un sistema di coordinate naturali e perciò un sistema naturale $ \xi $ e $ \eta $
 +{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine5.png?300 |}}
 +
 +Nel sistema di coordinate naturali l'elemento è sempre un quadrato che si estende su $ \xi $ e $ \eta $ da -1 a +1.
 +Per ogni punto del piano naturale esiste un corrispondente sul piano fisico.
 +{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine6.png?550 |}}
 +
 +Definisco perciò le funzioni di mappatura:
 +$ x(\xi , \eta) $
 +$ y(\xi ,\eta) $
 +
 +Otteniamo così l'associazione di ogni punto del piano naturale alla sua immagine sul piano fisico. Le relazioni scritte sono biunivoche perciò possiamo definire anche una mappatura inversa.
 +{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine7.jpg?250 |}}
 +
 +Definisco le funzioni come combinazione lineare delle coordinate dei nodi(x,y) sul piano fisico pesate mediante le funzioni di forma.
 +Scrivo la funzione di forma al nodo 1:
 +$$ N_1(\xi,\eta)=a\xi + b\eta +c\xi\eta+d $$
 +
 +L'elemento risulta non distorcersi mai sul paino naturale. Imponendo dei valori sui 4 nodi ottengo i coefficienti $ a,b,c,d $.
 +
 +Consideriamo il nodo 1. Sapendo che le funzioni di forma valgono 1 sul nodo stesso e 0 sui restanti ottengo che:
 +$$
 +\left\{\begin{matrix}
 +N_1(-1,-1)=1
 +\\ N_1(1,-1)=0
 +\\ N_1(1,1)=0
 +\\ N_1(-1,1)=0
 +
 +\end{matrix}\right. $$
 +
 +Risolvendo il sistema ottengo $N_1$:
 +$$ N_1= \frac{1}{4} (1-\xi)(1-\eta) $$
 +
 +Possiamo perciò definire così le funzioni di forma:
 +$$ N_{1,2,3,4}= \frac{1}{4} (1\pm \xi)(1\pm \eta) $$
 +
 +Correggendo il segno in base alla caratteristica della funzione di essere unitaria sul nodo stesso e nulla sugli altri.
 +
 +Consideriamo la funzione di forma al nodo 1
 +
 +{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine8.jpg?300 |}}
 +
 +Nel sistema di coordinate naturali almeno uno tra \xi e \eta rimane costante.
 +In generale la funzione di forma è bilineare ma fissando uno tra $\xi$ e $\eta$ si può considerare lineare sui 4 lati nel sistema di coordinate naturali.
 +Rappresentiamo perciò l'andamento della funzione di forma $ N_1 $:
 +
 +{{ :wikipaom2015:figura_2_wiki11.jpg?300 |}}
 +
 +Possiamo trovare il valore della funzione di forma in un punto generico:
 +  * Prendo e traccio la parallela a uno dei due assi passante per quel punto;
 +  * Definisco perciò due punti sui lati;
 +  * Associati a quei due punti ho due valori della funzione di forma;
 +  * Interpolo linearmente i due valori di N trovati;
 +  * Ottengo il valore della funzione di forma associata al generico punto.
 +
 +{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine9.jpg?350 |}}
 +
 +Si può notare come ognuno dei nodi viene mappato in se stesso.
 +
 +$$ \left\{\begin{matrix}
 +x(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)x_1 +N_2(\xi, \eta)x_2 +N_3(\xi, \eta)x_3 +N_4(\xi, \eta)x_4
 +\\ y(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)y_1 +N_2(\xi, \eta)y_2 +N_3(\xi, \eta)y_3 +N_4(\xi, \eta)y_4
 +
 +\end{matrix}\right. $$
 +
 +In generale risulta che la mappatura è di semplice stesura solo dal piano naturale a quello fisico, il contrario invece è più complesso.
 +Le funzioni di forma sono anche utili per mappare gli spostamenti
 +$$
 +\left\{\begin{matrix}
 +u(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)u_1 +N_2(\xi, \eta)u_2 +N_3(\xi, \eta)u_3 +N_4(\xi, \eta)u_4
 +\\ v(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)v_1 +N_2(\xi, \eta)v_2 +N_3(\xi, \eta)v_3 +N_4(\xi, \eta)v_4
 +
 +\end{matrix}\right.
 +$$
 +dove $ u_i $ è lo spostamento lungo $x$ del nodo i-esimo, e $ v_i $ è lo spostamento lungo $y$ del nodo i-esimo.
 +
 +In generale possiamo dire che se uno più funzioni di forma per definire le coordinate $(x,y)$ rispetto a quelle usate per gli spostamenti $(u,v)$ ho elementi detti superparametrici, nel caso inverso invece elementi subparametrici.
 +Gli elementi isoparametrici sono elementi per cui l'interpolazione delle coordinate nodali per passare dal sistema naturale(dove l'elemento è non distorto) al sistema fisico (dove l'elemento è geometricamente distorto) e l'interpolazione degli spostamenti da sistema naturale a sistema fisico si ottengono tramite le stesse funzioni di forma.
 +==== Deformazioni====
 +Ottenuti gli spostamenti posso ricavare le deformazioni, tramite queste le tensioni. 
 +Attraverso tensioni e deformazioni posso ricavare l'energia potenziale elastica interna e la matrice rigidezza.
 +Tuttavia le deformazioni sono definite sul piano naturale e non su quello fisico.
 +Si vogliono calcolare le deformazioni generalizzate $\epsilon_x , \epsilon_y, \gamma_{x,y}$ a partire dagli spostamenti globali $u$ e $v$:
 +
 +
 +$ \epsilon_x=\frac{\partial u(\xi,\eta)}{\partial x} $
 +
 +
 +$ \epsilon_y=\frac{\partial u(\xi,\eta)}{\partial y} $
 +
 +$ \gamma_{xy}=\frac{ \partial u(\xi,\eta) }{ \partial x } +\frac{\partial v(\xi,\eta)}{ \partial y }
 +$
 +
 +La deformazione in direzione $ x $ è:
 +$$
 +\epsilon_x=\frac{\partial u(\xi,\eta)}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} 
 +$$
 +
 +Il problema è che le derivate $\frac{\partial \xi}{\partial x}, \frac{\partial \eta}{\partial x} $ non sono facili da calcolare in quanto è disponibile solo x in funzione di $\xi$ e $\eta$, non il viceversa. Si decide quindi di utilizzare il seguente approccio solo sugli spostamenti $u$, quelli per $v$ sono analoghi.
 +
 +$$
 +\left\{\begin{matrix}
 +\frac{\partial u}{\partial \xi}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \xi}
 +\\ \frac{\partial u}{\partial \eta}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \eta}
 +
 +\end{matrix}\right.
 +$$
 +
 +dove i termini $\frac{\partial u}{\partial \xi} ,\frac{\partial x}{\partial \xi}, \frac{\partial y}{\partial \xi},\frac{\partial u}{\partial \eta} ,\frac{\partial x}{\partial \eta}, \frac{\partial y}{\partial \eta} $ sono di facile soluzione.
 +Il sistema è di due equazioni in due incognite e si può scrivere in forma matriciale:
 +$$
 +\begin{bmatrix}
 +\frac{\partial u}{\partial \xi}
 +\\\frac{\partial u }{\partial \eta} 
 +
 +\end{bmatrix} =
 +\begin{bmatrix}
 +\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
 +\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} 
 +\end{bmatrix}
 +\cdot 
 +\begin{bmatrix}
 +\frac{\partial u}{\partial x}
 +\\\frac{\partial u}{\partial y} 
 +
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +La matrice 2x2 è la matrice **Jacobiana** della trasformazione $\mat{J}(\xi,\eta)$.
 +
 +~~DISCUSSION~~
 +
 +