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$$
  \newcommand{\vec}[1]{\smash{\underline{#1}}}
  \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}}
$$




====== Lezione 6 ======


===== Costruzione della matrice rigidezza vincolata =====

Prendendo in esame la stessa struttura si illustra un esempio di costruzione della “Matrice di rigidezza vincolata”. Nel caso specifico si considerano vincolati i nodi “1” e “4” rispettivamente con carrello e cerniera, corrispondenti ai gradi di libertà “2”, “7” e “8”.

{{  :wikipaom2016:paomlez06_immagine1.png?300 |}}

La struttura è a elementi triangolari, caricata sul nodo 2 da $Px$ e $Py$.
Possiamo associare a ogni elemento triangolare una matrice rigidezza 6x6; gli elementi della matrice dell'elemento 1,2 e 3 sono rispettivamente $a_{ij}$ , $b_{ij}$ , $c_{ij}$.
I contributi delle matrici di rigidezza di ogni elemento possono essere assemblati nella matrice rigidezza dell'intera struttura; le matrici rigidezza di ogni elemento possono essere costruite mediante equazioni di equilibrio ad ogni nodo dell'elemento a cui appartiene.
Vediamo il procedimento per determinare la matrice rigidezza dell'elemento 1.
I nodi dell'elemento 1 sono 4,5,2 a cui associamo una nomenclatura locale rispettivamente $i,j,k$.
Per ogni nodo scriviamo l'equazioni di equilibrio lungo l'asse $x$ e l'asse $y$.

{{  :wikipaom2016:paomlez06_immagine2.jpg?450 |}}

La prima riga contiene i contributi alle reazioni elastiche sul nodo 4.
Le righe della matrice dell'elemento sono legate alle equazioni di equilibrio, le colonne invece sono associate a specifiche incognite di spostamento $u$.
Per trasportare gli elementi dalla matrice locale alla matrice globale possiamo rifarci a una regola pratica:
Chiamando "**l**" il nodo locale, il nodo globale sarà:
  * 2l - 1 per la direzione $x$
  * 2l     per la direzione $y$

{{  :wikipaom2016:paomlez06_immagine3.jpg?450 |}}

Ad esempio la 1° riga della matrice di rigidezza dell'elemento 1 andrà a finire nella 7° riga della matrice di rigidezza globale, la 2° riga alla 8° della matrice globale e così via.
Analogamente si procede per le colonne

Ripetendo il procedimento per gli altri 2 elementi, otteniamo la matrice di rigidezza globale andando a sostituire e quindi sommare i termini $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ nella loro posizione globale. Notiamo che gli elementi diagonali delle matrici locali rimangono sulla diagonale della matrice globale.
La matrice di rigidezza globale è una matrice singolare e simmetrica.
La matrice globale si presenta nella seguente forma:

{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-0.png?500 |}}

Introduciamo i vincoli per il nodo 4, i quali devono essere considerati uno per volta.

Gli spostamenti imposti sono:$ u_4=0, v_4=0,v_1=0 $.
Partiamo dallo spostamento in direzione x, procedo cancellando il vincolo e inserendo un vincolo cinematico ossia:
$u_4=\bar{u}_4$
Tolto così il vincolo ho imposto un vincolo cinematico e quindi considerando nello specifico il grado di libertà “7”, si annullano tutti gli elementi della settima riga tranne quello diagonale posto uguale a “1”. In questo modo senza togliere il carattere di incognita ad $u_4$, risulta essere pari a zero indipendentemente dagli altri valori.

{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-1.png?450 |}}

Si esegue la medesima operazione sulla colonna “7” (essendo tutti termini noti) collocando gli elementi della stessa nel vettore dei termini noti, in questo modo si recupera la simmetria della matrice.

{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-2.png?450 |}} 

{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-3.png?450 |}}

Si ottiene così il sistema matriciale vincolato relativo al grado di libertà "7". 

{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-4.png?450 |}}

Si effettuano le stesse operazioni per i gradi di libertà "2" e "8" relativi ai restanti vincoli scelti ( $v_4=\bar{v}_4$, $v_1=\bar{v}_1$)

{{ :wikipaom2015:assemblaggio_da_prof-5.png?450 |}}

La matrice ottenuta è la "**Matrice rigidezza vincolata**".
Al termine noto è presente una quota parte delle reazioni elastiche degli elementi associati a uno spostamento.
La matrice di rigidezza si può risolvere mediante un qualsiasi metodo di calcolo numerico.

===== Calcolo delle reazioni vincolari =====
Prendiamo un sistema previncolamento

$$
\mat{K} \vec{\delta} = \vec{P}
$$
Consideriamo il sistema vincolato del tipo:
$$
\mat{K}^v \vec{\delta}^* = \vec{P}^v
$$

La soluzione avrà forma del tipo  $ \vec{δ}^* = \mat{[K^v]}^{-1} \vec{P}^v $.
Perciò essendo
$$ \mat{K}\vec{\delta}^* \neq \vec{P} $$
possiamo scrivere che
$$ \mat{K}\vec{\delta}^* = \vec{P} + \vec{R} $$
dove $\vec{R}$ è vettore reazione vincolare.
La differenza tra le reazioni elastiche e le azioni esterne non sarà mai nulla poichè raccolgono l'errore numerico di calcolo.
Dagli spostamenti nodali della struttura otteniamo gli spostamenti nodali elemento per elemento da cui ricaviamo le deformazioni e le tensioni.


{{:wikipaom2015:assemblaggio_da_prof.pdf|procedura asseblaggio (ipe,pdf)}}


===== Elemento isoparametrico a 4 nodi =====

Consideriamo questo elemento quadrilatero liberamente distorto nello spazio fisico $x,y$ (il corrispettivo nel 3D è il tetraedro a 8 nodi).

{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine4.jpg?300 |}}

Costruisco le funzioni di interpolazioni sullo spazio fisico come:
$$ u(x,y)=ax+by+cxy+d $$
dove $u$ è lo spostamento

La funzione di interpolazione può essere espressa anche in forma lineare del tipo
$ u(x,y)=ax+by+d+cx^2 $ oppure $ u(x,y)=ax+by+d+cy^2 $ 

Dato che i termini non possono essere più di quattro devo scegliere una delle due forme, per cui non compaiono entrambi i termini al quadrato.
Avrò un sistema del tipo
$$ \left\{\begin{matrix}
u(x_i,y_i)= u_i
\\u(x_j,y_j)= u_j 
\\ u(x_k,y_k)= u_k
\\ u(x_l,y_l)= u_l

\end{matrix}\right. $$


Queste 4 equazioni ci permettono di definire i coefficienti $ a,b,c,d $.
Procedendo in questa maniera tuttavia riusciamo a definire correttamente solo elementi rettangolari non distorti. Infatti non si rispetta la continuità tra lato e lato e si ha la generazione di tagli e sovrappozione di materiale.

**Abbandoniamo questo tipo di approccio.**
Procederemo con un altra procedura più generale e generalizzabile.
Per costruire la teoria dell'elemento isoparametrico a 4 nodi occorre affiancare al piano fisico un sistema di coordinate naturali e perciò un sistema naturale $ \xi $ e $ \eta $
{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine5.png?300 |}}

Nel sistema di coordinate naturali l'elemento è sempre un quadrato che si estende su $ \xi $ e $ \eta $ da -1 a +1.
Per ogni punto del piano naturale esiste un corrispondente sul piano fisico.
{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine6.png?550 |}}

Definisco perciò le funzioni di mappatura:
$ x(\xi , \eta) $
$ y(\xi ,\eta) $

Otteniamo così l'associazione di ogni punto del piano naturale alla sua immagine sul piano fisico. Le relazioni scritte sono biunivoche perciò possiamo definire anche una mappatura inversa.
{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine7.jpg?250 |}}

Definisco le funzioni come combinazione lineare delle coordinate dei nodi(x,y) sul piano fisico pesate mediante le funzioni di forma.
Scrivo la funzione di forma al nodo 1:
$$ N_1(\xi,\eta)=a\xi + b\eta +c\xi\eta+d $$

L'elemento risulta non distorcersi mai sul paino naturale. Imponendo dei valori sui 4 nodi ottengo i coefficienti $ a,b,c,d $.

Consideriamo il nodo 1. Sapendo che le funzioni di forma valgono 1 sul nodo stesso e 0 sui restanti ottengo che:
$$
\left\{\begin{matrix}
N_1(-1,-1)=1
\\ N_1(1,-1)=0
\\ N_1(1,1)=0
\\ N_1(-1,1)=0

\end{matrix}\right. $$

Risolvendo il sistema ottengo $N_1$:
$$ N_1= \frac{1}{4} (1-\xi)(1-\eta) $$

Possiamo perciò definire così le funzioni di forma:
$$ N_{1,2,3,4}= \frac{1}{4} (1\pm \xi)(1\pm \eta) $$

Correggendo il segno in base alla caratteristica della funzione di essere unitaria sul nodo stesso e nulla sugli altri.

Consideriamo la funzione di forma al nodo 1

{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine8.jpg?300 |}}

Nel sistema di coordinate naturali almeno uno tra \xi e \eta rimane costante.
In generale la funzione di forma è bilineare ma fissando uno tra $\xi$ e $\eta$ si può considerare lineare sui 4 lati nel sistema di coordinate naturali.
Rappresentiamo perciò l'andamento della funzione di forma $ N_1 $:

{{ :wikipaom2015:figura_2_wiki11.jpg?300 |}}

Possiamo trovare il valore della funzione di forma in un punto generico:
  * Prendo e traccio la parallela a uno dei due assi passante per quel punto;
  * Definisco perciò due punti sui lati;
  * Associati a quei due punti ho due valori della funzione di forma;
  * Interpolo linearmente i due valori di N trovati;
  * Ottengo il valore della funzione di forma associata al generico punto.

{{ :wikipaom2016:paomlez06_immagine9.jpg?350 |}}

Si può notare come ognuno dei nodi viene mappato in se stesso.

$$ \left\{\begin{matrix}
x(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)x_1 +N_2(\xi, \eta)x_2 +N_3(\xi, \eta)x_3 +N_4(\xi, \eta)x_4
\\ y(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)y_1 +N_2(\xi, \eta)y_2 +N_3(\xi, \eta)y_3 +N_4(\xi, \eta)y_4

\end{matrix}\right. $$

In generale risulta che la mappatura è di semplice stesura solo dal piano naturale a quello fisico, il contrario invece è più complesso.
Le funzioni di forma sono anche utili per mappare gli spostamenti
$$
\left\{\begin{matrix}
u(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)u_1 +N_2(\xi, \eta)u_2 +N_3(\xi, \eta)u_3 +N_4(\xi, \eta)u_4
\\ v(\xi,\eta)= N_1(\xi, \eta)v_1 +N_2(\xi, \eta)v_2 +N_3(\xi, \eta)v_3 +N_4(\xi, \eta)v_4

\end{matrix}\right.
$$
dove $ u_i $ è lo spostamento lungo $x$ del nodo i-esimo, e $ v_i $ è lo spostamento lungo $y$ del nodo i-esimo.

In generale possiamo dire che se uno più funzioni di forma per definire le coordinate $(x,y)$ rispetto a quelle usate per gli spostamenti $(u,v)$ ho elementi detti superparametrici, nel caso inverso invece elementi subparametrici.
Gli elementi isoparametrici sono elementi per cui l'interpolazione delle coordinate nodali per passare dal sistema naturale(dove l'elemento è non distorto) al sistema fisico (dove l'elemento è geometricamente distorto) e l'interpolazione degli spostamenti da sistema naturale a sistema fisico si ottengono tramite le stesse funzioni di forma.
==== Deformazioni====
Ottenuti gli spostamenti posso ricavare le deformazioni, tramite queste le tensioni. 
Attraverso tensioni e deformazioni posso ricavare l'energia potenziale elastica interna e la matrice rigidezza.
Tuttavia le deformazioni sono definite sul piano naturale e non su quello fisico.
Si vogliono calcolare le deformazioni generalizzate $\epsilon_x , \epsilon_y, \gamma_{x,y}$ a partire dagli spostamenti globali $u$ e $v$:


$ \epsilon_x=\frac{\partial u(\xi,\eta)}{\partial x} $


$ \epsilon_y=\frac{\partial u(\xi,\eta)}{\partial y} $

$ \gamma_{xy}=\frac{ \partial u(\xi,\eta) }{ \partial x } +\frac{\partial v(\xi,\eta)}{ \partial y }
$

La deformazione in direzione $ x $ è:
$$
\epsilon_x=\frac{\partial u(\xi,\eta)}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} 
$$

Il problema è che le derivate $\frac{\partial \xi}{\partial x}, \frac{\partial \eta}{\partial x} $ non sono facili da calcolare in quanto è disponibile solo x in funzione di $\xi$ e $\eta$, non il viceversa. Si decide quindi di utilizzare il seguente approccio solo sugli spostamenti $u$, quelli per $v$ sono analoghi.

$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial u}{\partial \xi}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \xi}
\\ \frac{\partial u}{\partial \eta}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \eta}

\end{matrix}\right.
$$

dove i termini $\frac{\partial u}{\partial \xi} ,\frac{\partial x}{\partial \xi}, \frac{\partial y}{\partial \xi},\frac{\partial u}{\partial \eta} ,\frac{\partial x}{\partial \eta}, \frac{\partial y}{\partial \eta} $ sono di facile soluzione.
Il sistema è di due equazioni in due incognite e si può scrivere in forma matriciale:
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial \xi}
\\\frac{\partial u }{\partial \eta} 

\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} 
\end{bmatrix}
\cdot 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}
\\\frac{\partial u}{\partial y} 

\end{bmatrix}
$$

La matrice 2x2 è la matrice **Jacobiana** della trasformazione $\mat{J}(\xi,\eta)$.

~~DISCUSSION~~