wikipaom2016:lez6
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \newcommand{\vec}[1]{\smash{\underline{# | ||
+ | \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{# | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====== Lezione 6 ====== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Costruzione della matrice rigidezza vincolata ===== | ||
+ | |||
+ | Prendendo in esame la stessa struttura si illustra un esempio di costruzione della “Matrice di rigidezza vincolata”. Nel caso specifico si considerano vincolati i nodi “1” e “4” rispettivamente con carrello e cerniera, corrispondenti ai gradi di libertà “2”, “7” e “8”. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | La struttura è a elementi triangolari, | ||
+ | Possiamo associare a ogni elemento triangolare una matrice rigidezza 6x6; gli elementi della matrice dell' | ||
+ | I contributi delle matrici di rigidezza di ogni elemento possono essere assemblati nella matrice rigidezza dell' | ||
+ | Vediamo il procedimento per determinare la matrice rigidezza dell' | ||
+ | I nodi dell' | ||
+ | Per ogni nodo scriviamo l' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | La prima riga contiene i contributi alle reazioni elastiche sul nodo 4. | ||
+ | Le righe della matrice dell' | ||
+ | Per trasportare gli elementi dalla matrice locale alla matrice globale possiamo rifarci a una regola pratica: | ||
+ | Chiamando " | ||
+ | * 2l - 1 per la direzione $x$ | ||
+ | * 2l per la direzione $y$ | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Ad esempio la 1° riga della matrice di rigidezza dell' | ||
+ | Analogamente si procede per le colonne | ||
+ | |||
+ | Ripetendo il procedimento per gli altri 2 elementi, otteniamo la matrice di rigidezza globale andando a sostituire e quindi sommare i termini $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ nella loro posizione globale. Notiamo che gli elementi diagonali delle matrici locali rimangono sulla diagonale della matrice globale. | ||
+ | La matrice di rigidezza globale è una matrice singolare e simmetrica. | ||
+ | La matrice globale si presenta nella seguente forma: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Introduciamo i vincoli per il nodo 4, i quali devono essere considerati uno per volta. | ||
+ | |||
+ | Gli spostamenti imposti sono:$ u_4=0, v_4=0,v_1=0 $. | ||
+ | Partiamo dallo spostamento in direzione x, procedo cancellando il vincolo e inserendo un vincolo cinematico ossia: | ||
+ | $u_4=\bar{u}_4$ | ||
+ | Tolto così il vincolo ho imposto un vincolo cinematico e quindi considerando nello specifico il grado di libertà “7”, si annullano tutti gli elementi della settima riga tranne quello diagonale posto uguale a “1”. In questo modo senza togliere il carattere di incognita ad $u_4$, risulta essere pari a zero indipendentemente dagli altri valori. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Si esegue la medesima operazione sulla colonna “7” (essendo tutti termini noti) collocando gli elementi della stessa nel vettore dei termini noti, in questo modo si recupera la simmetria della matrice. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Si ottiene così il sistema matriciale vincolato relativo al grado di libertà " | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Si effettuano le stesse operazioni per i gradi di libertà " | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | La matrice ottenuta è la " | ||
+ | Al termine noto è presente una quota parte delle reazioni elastiche degli elementi associati a uno spostamento. | ||
+ | La matrice di rigidezza si può risolvere mediante un qualsiasi metodo di calcolo numerico. | ||
+ | |||
+ | ===== Calcolo delle reazioni vincolari ===== | ||
+ | Prendiamo un sistema previncolamento | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \mat{K} \vec{\delta} = \vec{P} | ||
+ | $$ | ||
+ | Consideriamo il sistema vincolato del tipo: | ||
+ | $$ | ||
+ | \mat{K}^v \vec{\delta}^* = \vec{P}^v | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | La soluzione avrà forma del tipo $ \vec{δ}^* = \mat{[K^v]}^{-1} \vec{P}^v $. | ||
+ | Perciò essendo | ||
+ | $$ \mat{K}\vec{\delta}^* \neq \vec{P} $$ | ||
+ | possiamo scrivere che | ||
+ | $$ \mat{K}\vec{\delta}^* = \vec{P} + \vec{R} $$ | ||
+ | dove $\vec{R}$ è vettore reazione vincolare. | ||
+ | La differenza tra le reazioni elastiche e le azioni esterne non sarà mai nulla poichè raccolgono l' | ||
+ | Dagli spostamenti nodali della struttura otteniamo gli spostamenti nodali elemento per elemento da cui ricaviamo le deformazioni e le tensioni. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Elemento isoparametrico a 4 nodi ===== | ||
+ | |||
+ | Consideriamo questo elemento quadrilatero liberamente distorto nello spazio fisico $x,y$ (il corrispettivo nel 3D è il tetraedro a 8 nodi). | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Costruisco le funzioni di interpolazioni sullo spazio fisico come: | ||
+ | $$ u(x, | ||
+ | dove $u$ è lo spostamento | ||
+ | |||
+ | La funzione di interpolazione può essere espressa anche in forma lineare del tipo | ||
+ | $ u(x, | ||
+ | |||
+ | Dato che i termini non possono essere più di quattro devo scegliere una delle due forme, per cui non compaiono entrambi i termini al quadrato. | ||
+ | Avrò un sistema del tipo | ||
+ | $$ \left\{\begin{matrix} | ||
+ | u(x_i,y_i)= u_i | ||
+ | \\u(x_j, | ||
+ | \\ u(x_k,y_k)= u_k | ||
+ | \\ u(x_l,y_l)= u_l | ||
+ | |||
+ | \end{matrix}\right. $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Queste 4 equazioni ci permettono di definire i coefficienti $ a,b,c,d $. | ||
+ | Procedendo in questa maniera tuttavia riusciamo a definire correttamente solo elementi rettangolari non distorti. Infatti non si rispetta la continuità tra lato e lato e si ha la generazione di tagli e sovrappozione di materiale. | ||
+ | |||
+ | **Abbandoniamo questo tipo di approccio.** | ||
+ | Procederemo con un altra procedura più generale e generalizzabile. | ||
+ | Per costruire la teoria dell' | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Nel sistema di coordinate naturali l' | ||
+ | Per ogni punto del piano naturale esiste un corrispondente sul piano fisico. | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Definisco perciò le funzioni di mappatura: | ||
+ | $ x(\xi , \eta) $ | ||
+ | $ y(\xi ,\eta) $ | ||
+ | |||
+ | Otteniamo così l' | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Definisco le funzioni come combinazione lineare delle coordinate dei nodi(x,y) sul piano fisico pesate mediante le funzioni di forma. | ||
+ | Scrivo la funzione di forma al nodo 1: | ||
+ | $$ N_1(\xi, | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | Consideriamo il nodo 1. Sapendo che le funzioni di forma valgono 1 sul nodo stesso e 0 sui restanti ottengo che: | ||
+ | $$ | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | N_1(-1, | ||
+ | \\ N_1(1,-1)=0 | ||
+ | \\ N_1(1,1)=0 | ||
+ | \\ N_1(-1,1)=0 | ||
+ | |||
+ | \end{matrix}\right. $$ | ||
+ | |||
+ | Risolvendo il sistema ottengo $N_1$: | ||
+ | $$ N_1= \frac{1}{4} (1-\xi)(1-\eta) $$ | ||
+ | |||
+ | Possiamo perciò definire così le funzioni di forma: | ||
+ | $$ N_{1, | ||
+ | |||
+ | Correggendo il segno in base alla caratteristica della funzione di essere unitaria sul nodo stesso e nulla sugli altri. | ||
+ | |||
+ | Consideriamo la funzione di forma al nodo 1 | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Nel sistema di coordinate naturali almeno uno tra \xi e \eta rimane costante. | ||
+ | In generale la funzione di forma è bilineare ma fissando uno tra $\xi$ e $\eta$ si può considerare lineare sui 4 lati nel sistema di coordinate naturali. | ||
+ | Rappresentiamo perciò l' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Possiamo trovare il valore della funzione di forma in un punto generico: | ||
+ | * Prendo e traccio la parallela a uno dei due assi passante per quel punto; | ||
+ | * Definisco perciò due punti sui lati; | ||
+ | * Associati a quei due punti ho due valori della funzione di forma; | ||
+ | * Interpolo linearmente i due valori di N trovati; | ||
+ | * Ottengo il valore della funzione di forma associata al generico punto. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Si può notare come ognuno dei nodi viene mappato in se stesso. | ||
+ | |||
+ | $$ \left\{\begin{matrix} | ||
+ | x(\xi, | ||
+ | \\ y(\xi, | ||
+ | |||
+ | \end{matrix}\right. $$ | ||
+ | |||
+ | In generale risulta che la mappatura è di semplice stesura solo dal piano naturale a quello fisico, il contrario invece è più complesso. | ||
+ | Le funzioni di forma sono anche utili per mappare gli spostamenti | ||
+ | $$ | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | u(\xi, | ||
+ | \\ v(\xi, | ||
+ | |||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | $$ | ||
+ | dove $ u_i $ è lo spostamento lungo $x$ del nodo i-esimo, e $ v_i $ è lo spostamento lungo $y$ del nodo i-esimo. | ||
+ | |||
+ | In generale possiamo dire che se uno più funzioni di forma per definire le coordinate $(x,y)$ rispetto a quelle usate per gli spostamenti $(u,v)$ ho elementi detti superparametrici, | ||
+ | Gli elementi isoparametrici sono elementi per cui l' | ||
+ | ==== Deformazioni==== | ||
+ | Ottenuti gli spostamenti posso ricavare le deformazioni, | ||
+ | Attraverso tensioni e deformazioni posso ricavare l' | ||
+ | Tuttavia le deformazioni sono definite sul piano naturale e non su quello fisico. | ||
+ | Si vogliono calcolare le deformazioni generalizzate $\epsilon_x , \epsilon_y, \gamma_{x, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $ \epsilon_x=\frac{\partial u(\xi, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $ \epsilon_y=\frac{\partial u(\xi, | ||
+ | |||
+ | $ \gamma_{xy}=\frac{ \partial u(\xi,\eta) }{ \partial x } +\frac{\partial v(\xi, | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | La deformazione in direzione $ x $ è: | ||
+ | $$ | ||
+ | \epsilon_x=\frac{\partial u(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Il problema è che le derivate $\frac{\partial \xi}{\partial x}, \frac{\partial \eta}{\partial x} $ non sono facili da calcolare in quanto è disponibile solo x in funzione di $\xi$ e $\eta$, non il viceversa. Si decide quindi di utilizzare il seguente approccio solo sugli spostamenti $u$, quelli per $v$ sono analoghi. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial \xi}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\ \frac{\partial u}{\partial \eta}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \eta} | ||
+ | |||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | dove i termini $\frac{\partial u}{\partial \xi} , | ||
+ | Il sistema è di due equazioni in due incognite e si può scrivere in forma matriciale: | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial \xi} | ||
+ | \\\frac{\partial u }{\partial \eta} | ||
+ | |||
+ | \end{bmatrix} = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} | ||
+ | \\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \cdot | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} | ||
+ | \\\frac{\partial u}{\partial y} | ||
+ | |||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | La matrice 2x2 è la matrice **Jacobiana** della trasformazione $\mat{J}(\xi, | ||
+ | |||
+ | ~~DISCUSSION~~ | ||
+ | |||
+ | |||