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+========ESEMPI DI LINK RBE3========
+======ESERCIZIO 1======
+{{ :wikitelaio2015:esempi_rbe3_1.png?400 |}}
+(Il nodo di riferimento C è l’unico dipendente della distribuzione.)
+La domanda è come questi 20N in direzione y negativa vanno a distribuirsi sui nodi della grezza meshatura in figura che tuttavia ci semplifica la trattazione.
+E’ una distribuzione mediana? Quindi un asse principale di inerzia è sicuramente quello normale alla sezione quadrata passante per il baricentro ed inoltre per via della forma della sezione risulta che gli assi x, y, z sono assi principali di inerzia (è un caso particolare).
+Tendenzialmente in questo tipo di esercizi sarà sempre così poichè altrimenti i calcoli si complicherebbero troppo e avrei bisogno di un manipolatore algebrico.
+Individuo facilmente il baricentro della distribuzione: i 4 nodi hanno lo stesso peso unitario quindi il punto centrale della sezione è il baricentro della distribuzione. Devo prendere i 20N applicati e ridurli al baricentro. Ottengo 20N applicati al baricentro più una coppia di trasporto in direzione z negativo di 20N per 40mm.
+Quindi al baricentro ho yg=-20N, zg=0, non ho momenti né su x, né su y ma ho un momento mz di 800N/mm. In questa maniera ho ridotto i carichi al baricentro. Ora devo chiedermi come distribuire questi carichi. Allora: abbiamo 4 nodi di pari peso, devo distribuire una forza baricentrica di 20N verso il basso, la forza bipartita base-peso sui 4 nodi implica che ognuno di questi 4 nodi si prenderà un quarto della forza, quindi 5N ciascuno.
+inserire immagine
+Non è l’unico contributo che ho, perché devo prendere anche quelli dei momenti e distribuirli. L’unico momento al baricentro non nullo è quello in direzione z che vale 880 N/mm.
+Ogni nodo prende una forza che è tangenziale rispetto a questo nodo, ovvero se disegno la distanza proiettata tra il baricentro G e ogni singolo nodo risulta che le direzioni devono essere ortogonali a questa distanza proiettata.
+Dopodiché, visto il verso della coppia posso definire il verso delle azioni, andando per esclusione. Il modulo deve essere proporzionale al peso e alla distanza, in questo caso i nodi hanno tutti la stessa
+distanza proiettata su x e y dal baricentro e tutti i nodi hanno lo stesso peso. Per i nodi prenderanno tutti la stessa quotaparte x di forza.
+Ora facendo un semplice bilancio posso dire che la forza x agente sul singolo nodo vale
+{{ :wikipaom2016:codecogse.gif?200 |}}
+{{ :wikipaom2016:codecogseq.gif?200 |}}
+Questo vuol dire che quando vado a scomporre ognuna di queste forze in componente x e y, ognuna è equivalente a 10N sia in direzione x che y positive o negative a seconda del nodo considerato.
+inserire immagine completa
+Ora trovati i contenuti, i nodi vengono caricati con la somma di due contenuti. Di seguito una tabella riassuntiva.
+^ nodo  ^ peso  ^ forza nodale trasmessa                    |||
+|       |       | $X_i$[N]                  | $Y_i$[N]  | $Z_i$[N]  |
+| 1     | 1.0   | -10                       | -5 +10 |   0    |
+| 2     | 1.0   | -10                       | -5 -10 |   0    |
+| 3     | 1.0   | +10                       | -5 -10 |   0    |
+| 4     | 1.0   | +10                       | -5 +10 |   0    |
+======ESERCIZIO 2======
+{{ :wikitelaio2015:esempi_rbe3_2.png?400 |}}
+Essendo una seziona quadrata, ho due coppie di assi principali di inerzia: uno preso per i punti di metà lato, l’altro
+passante per le diagonali. In questo caso mi viene più comodo considerare come assi principali di inerzia quelli passanti per le diagonali.
+Il valore b mi aspetto che non influenzi il risultato poiché non compare nelle equazioni di equilibrio (il carico e la distanza b giacciono sulla stessa retta).
+{{ :wikipaom2016:assi_di_inerzia.png?200 |}}
+Come prima devo ridurre al baricentro l’azione di P allineata in 1. Chiaramente oltre alla forza uscente dal baricentro P avrò delle coppie di trasporto che posso risolvere su qualunque set di assi principali di inerzia (con le diagonali è più semplice).
+Il modulo del carico P viene diviso in 4 e poi ripartito su ciascun nodo della distribuzione. Il modulo della coppia è invece pari a Pa/rad2, essa viene ripartita in base al peso (ma in questo caso conta poco perché è unitario) e alla distanza proiettata sul piano ortogonale all'asse principale di inerzia relativo all'asse principale di momento.
+Vedo che sulla specifica geometria i nodi 4 e 2 hanno una distanza che di per sé non è nulla dal baricentro, ma che proiettata sullo specifico piano diventa nulla: quindi non si genera un momento poiché la proiezione del braccio sul piano è nulla.
+Guardando il modello dell'immagine precedente di lato e ruotato in senso antiorario possiamo renderci conto di quanto valgolo le forze da applicare ai nodi facendo un semplice bilancio come nell'esempio 1
+{{ :wikipaom2016:vista_di_lato.png?200 |}}
+{{ :wikipaom2016:asdfr.gif?200 |}}
+{{ :wikipaom2016:frefd.gif?100 |}}
+Ora sommando i vari contributi è possibile vedere la configurazione finale delle forze ridotte ai nodi
+{{ :wikipaom2016:somma_forze.png?200 |}}
+======MODELLINO CONFRONTO DIRETTO RBE2 E RBE3======
+{{ :wikipaom2016:mesh_comp.png?400 |}}
+{{ :wikipaom2016:boundary45.png?400 |}}
+Abbiamo due piastre con foro centrale completamente incastrate al perimetro (in figura non è riportato l'incastro, ma solo i link ed il carico, perché ridondante); vogliamo distribuire sul perimetro del foro un carico e per fare ciò mi servo in di un link RBE2 per un modello e di un RBE3 per l'altro: per ora non specifichiamo quale modello abbia un link o l'altro, ci arriveremo con il ragionamento.
+Lanciato il calcolo, questo è quello che si ottiene
+{{ :wikipaom2016:displx45.png?400 |}}
+{{ :wikipaom2016:displxlato45.png?400 |}}
+Si vede subito che Rbe2 e RBE3 non sono interscambiabili, ovvero danno risultati completamente diversi.
+A questo punto, se in figura sono mostrati gli spostamenti in z, quale modello ha il link RBE2 e quale RBE3?
+Quello a sinistra del lettore contiene RBE2 mentre quello a destra RBE3 poiché, guardando il modello a sinistra vedo che i nodi su cui ho spalmato la forza giacevano su una circonferenza nell'indeformata e continuano a giacerci anche nella deformata, allora quello è un vincolo di corpo rigido, ovvero un RBE2; l'altro di conseguenza è RBE3. nota che l'unico moto di corpo rigido ammesso è la traslazione in z.
+Parliamo adesso dell'altro modello, quello con vincolo RBE3, che è stato costruito con pesi omogenei su tutti i nodi della circonferenza (essendo la mesh uniforme non c'è motivo di usare pesi diversi: in generale conviene mettere pesi piccoli dove la mesh è più fine e pesi grandi dove la mesh è più grezza). Se plotto le tying force (ovvero le reazioni vincolari dei vincoli cinematici interni, in pratica ciò che RBE3 trasmette alla struttura) vedo che le reazioni elastiche degli elementi a cui è agganciato il link equilibrano la forza da me imposta; nota che non si generano momenti di trasporto. Per come è costruita la mesh vedo che ci sono tratti del bordo di circonferenza che sono più vicini al bordo esterno del modello, ovvero che sono più vicini all'incastro: un tratto di bordo più vicino all'incastro è implicitamente più rigido di uno lontano poiché è più vicino alla parte vincolata direttamente a terra. Ecco spiegato perché ci sono spostamenti in z non uniformi.
+Le tying force associate al link RBE2 si comportano come prima: gli elementi con nodi vincolati generano reazioni elastiche che bilanciano la forza applicata al nodo ausiliario (quello con la sola funzione di prendersi il carico senza dare singolarità tensionale); tuttavia avendo aree a portanza differenziata ed essendo il moto imposto di corpo rigido è ovvio che nella zona a maggiore rigidezza dovrò applicare carichi maggiori per ottenere la stessa deformazione. Nella figura seguente sono mostrate le tying force z
+{{ :wikipaom2016:tying_force.png?400 |}}
+Ultima considerazione che posso fare è che il nodo ausiliario del link RBE3 si muove come la media degli spostamenti degli altri nodi della circonferenza come si può vedere da questa immagine
+{{ :wikipaom2016:centro_distr.png?400 |}}
+Si può poi notare che il link RBE2 impone un vincolo di tangenza tra i gli elementi dei nodi vincolati e la circonferenza su cui giacciono i nodi stessi, per questo un link RBE2 distorce molto di più la struttura originale; di seguito un'immagine che meglio descrive il concetto
+{{ :wikipaom2016:latotang45.png?400 |}}
+Si precisa infine che non esiste una regola generale per scegliere quale dei due link usare, però bisogna tener presente che il nodo C di RBE3 è un nodo dipendente e non può essere ulteriormente vincolato.
+======SINGOLARITA' TENSIONALI======
+I due file che saranno inseriti di seguito riguardano le condizioni note in cui compare una singolarità tensionale (è un riassunto dei casi possibili): si parlerà degli aspetti principali giusto per sapere cosa potrebbe succedere durante la modellazione al FEM.
+Ricordiamo che con "singolarità tensionale" si intendono quelle situazioni in cui il calcolo al FEM diverge localmente in termini di tensione e a volte anche di spostamenti.
+{{:wikipaom2016:sinclair_i.pdf|}}
+{{:wikipaom2016:sinclair_ii.pdf|}}
+Premettendo che nei punti in cui la tensione va ad infinito è molto facile che si generino crack, si vuole dare una infarinatura su uno dei parametri della meccanica della frattura dal nome "stress intensity factor critico" o Kc presentando questa immagine in cui sono mostrati i modi di propagare di una cricca.
+{{ :wikipaom2016:2000px-fracture_modes_v2.svg.png?400 |}}
+Per descrivere l'andamento della tensione in una zona in cui notoriamente la stessa tende ad un valore molto alto si usano formulazioni matematiche, nascono così denominazioni tipo singolarità quadratica o logaritmica: in forma approssimativa si può dire che il fattore di intensificazione degli sforzi è il coefficiente di proporzionalità tra la tensione e la funzione che ne descrive l'andamento. Il modo I è chiamato "modo di apertura in tensione", il modo II "modo di scorrimento a taglio" ed il modo III "modo di lacerazione o strappo" (è l'unico con tensioni dirette fuoripiano).
+====VEDIAMO QUALCHE ESEMPIO====
+{{:wikipaom2016:img_1920.jpg?linkonly|}}
+{{:wikipaom2016:img_1921.jpg?linkonly|}}
+{{:wikipaom2016:img_1922.jpg?linkonly|}}
+======MODELLO PER SPIEGARE LA NON SINGOLARITA'======
+{{ :wikipaom2016:modello_sing.png?400 |}}
+{{ :wikipaom2016:part_modello_sing.png?400 |}}
+Questo modello presenta sei domini elastici in deformazione piana ognuno dei quali è incastrato sul lato di destra e soggetto ad un taglio di tipo parabolico sul lato di sinistra: ognuno rappresenta una trave, anche se un po' tozza; la particolarità sta nel fatto che il lato incastrato non è rettilineo ma circolare in modo che si formino angoli acuti alle estremità. In particolare la prima trave in alto a sinistra ha un angolo che è minore dell'angolo critico e muovendoci verso il basso si passa ad un modello con angolo critico ed infine supercritico; a lato ci sono modelli con angoli corrispondenti ma con mesh più fine, giusto per confronto. Lanciamo il calcolo e vediamo come è fatta la deformata
+{{ :wikipaom2016:defmod45.png?400 |}}
+Andiamo a vedere come sono le tensioni secondo Von Mises nel caso di mesh più fine nello spigolo superiore di ognuno dei tre casi.
+Supercritico
+{{ :wikipaom2016:giusto_super_865.png?400 |}}
+Critico
+{{ :wikipaom2016:giustocritico345.png?400 |}}
+Subcritico
+{{ :wikipaom2016:giusto_sub8293.png?400 |}}
+E scendendo più nel dettaglio
+{{ :wikipaom2016:giusto_sub_part_345.png?400 |}}
+Quindi si può vedere che passando dal caso supercritico al caso subcritico la tensione tende ad abbassarsi se ci si avvicina all'apice dell'angolo.
+In particolare le azioni tensionali preferiscono scaricarsi prima di arrivare all'apice dell'angolo, è come se la forma del materiale schermasse l'apice.
+====== Algoritmo di contatto utilizzato da MSC.Marc ======
+Ecco come procede il Marc per accorgersi che due corpi stanno entrando in contatto.
+{{ :wikipaom2016:algoritmocontatto976.png?400 |}}
+L'immagine successiva serve per far capire che un corpo discretizzato è un corpo perfettamente geometrico e quindi un algoritmo di contatto avanzato non può usare il corpo discretizzato: si usa allora una funzione spline sul contorno del corpo.
+{{ :wikipaom2016:contattospline.png?400 |}}
+Infine si riporta un esempio di problema che potrebbe verificarsi.
+{{ :wikipaom2016:problemino987.png?400 |}}
+{{:wikipaom2015:immagini_per_lezione_contatto.pdf|}}
+===== chiosa link RBE2 e RBE3 =====
+{{:wikipaom2016:dimostratore_rbe2_vs_rbe3.mud|Modello comparativo RBE2 vs RBE3.}}
+[[wikitelaio2015:esercizi_svolti_rbe3|Link RBE3: esercizi svolti]]
+===== Singolarità tensionali =====
+Articoli di review sulle singolarità tensionali, GB Sinclair.
+Rilevazioni singolarità tensionali al FEM, sempre GB Sinclair et al..
+{{:wikipaom2016:sinclair_et_al_practical_convergence_divergenze_checks_for_stresses_from_fea.pdf|}}
+Esempio risposta FEM nell'intorno di una transizione singolare / non singolare.
+{{:wikipaom2016:test_singolarita_clamped-free_v2005r3.mud|}}
+===== moltiplicatori di Lagrange =====
+[[http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.Ch09.d/IFEM.Ch09.pdf|Carlos Felippa, Multifreedom Constraints II]], paragrafo 9.3 e sottoparagrafi.
+~~DISCUSSION~~