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wikipaom2016:lab2 [2016/04/05 18:12] – [Grafici e Sviluppo in Serie di Taylor] 212190 | wikipaom2016:lab2 [2016/05/28 15:23] (versione attuale) – [Note di revisione] ebertocchi | ||
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ===== Energia potenziale elastica della trave curva piana ===== | ||
+ | Formula per l' | ||
+ | Lo sforzo normale $N$ è supposto positivo se trattivo, il momento flettente $M_f$ è supposto positivo se tende le fibre all' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \def\d{\, | ||
+ | U= | ||
+ | \int_{0}^{\Phi} | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | + \frac{N | ||
+ | +\xi | ||
+ | - \frac{N M_{f}} | ||
+ | | ||
+ | r_g \d \phi | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ove $A$ è l'area di sezione, $r_g$ è il raggio baricentrico (supposto costante), $\delta=r_g-r_n$ è la distanza tra questi è il raggio neutro, e, per sezioni circolari piene, $\xi= 1.11$, e | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | r_n = \frac{\left(r_e-r_i\right)^2}{8\left( \frac{r_i+r_e}{2} - \sqrt{r_i r_e} \right)} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ove $r_i,r_e$ corrispondono ai raggi interno ed esterno. | ||
+ | |||
+ | La tensione assiale indotta dal momento flettente è ricavabile come | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \sigma_f = \frac{M_f \left(r_n - r\right)}{A \delta r} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | ====== Continuazione MAGLIA DI CATENA ====== | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Definiamo assi locali (η, ε e ζ) nella sezione della maglia di catena considerata come trave: | ||
+ | * ζ - allineato con l'asse baricentrico della trave; | ||
+ | * η e ε - ortogonali all' | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Per le sezioni circolari non è necessario indicare come sono orientati nello spazio //η// e //ε// sezione per sezione, perché la sezione ruotata rimane uguale a se stessa. Tuttavia se la sezione della trave è ellittica può essere necessario indicare in quale direzione si trova il semiasse maggiore, visto che la risposta della maglia di catena cambia a seconda di dove si trova il semiasse maggiore. | ||
+ | |||
+ | La struttura della maglia di catena possiede due piani di simmetria e di conseguenza se riesco a risolvere il problema elastico su 1/4 di struttura è possibile ricavare il comportamento degli altri 3/4 semplicemente per reazioni di simmetria. Aggiungendo i vincoli ottenuti dalla continuità del materiale e dall' | ||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | La struttura ottenuta è una volta iperstatica, | ||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Dall' | ||
+ | |||
+ | Nella lezione precedente la struttura è stata risolta supponendo che l'// | ||
+ | $$ | ||
+ | \def\d{\, | ||
+ | U= | ||
+ | \int_{l} | ||
+ | | ||
+ | \d l | ||
+ | $$ | ||
+ | In realtà il momento flettente è solo una delle possibili sollecitazioni che agiscono sulla trave, poiché trattando un sistema piano avremo anche lo //sforzo di taglio// **T** e lo //sforzo normale// **N** - **Ipotesi di trave dritta**, con l' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \def\d{\, | ||
+ | U= | ||
+ | \int_{l} | ||
+ | | ||
+ | + \frac{N | ||
+ | +\eta_{\xi}\frac{T_{ | ||
+ | \d l | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Si ricava il taglio e lo sforzo normale su ogni tratto della struttura: | ||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | $$N1(\theta )=FAcos(\theta )+\frac{P}{2}sin(\theta )$$ | ||
+ | $$T1(\theta )=\frac{P}{2}cos(\theta )-FAsin(\theta )$$ | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | $$N2=\frac{P}{2}$$ | ||
+ | $$T2=FA$$ | ||
+ | ---- | ||
+ | ==== Verifica trave snella e curva ==== | ||
+ | Abbiamo utilizzato dei dati presi a campione da un catalogo di produttori di catene industriali: | ||
+ | *d filo = 10 mm; | ||
+ | *Raggio interno Ri = 6.5 mm (R = 11.5 mm); | ||
+ | *passo = 30 mm (passo-2*Ri = 2L = 17 mm). | ||
+ | |||
+ | La trave in questione presenta un rapporto // | ||
+ | |||
+ | Si osserva inoltre che il raggio di curvatura dell' | ||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | Dalle verifiche precedenti risulta necessario considerare il problema anche attraverso la teoria della trave curva, | ||
+ | $$ | ||
+ | \def\d{\, | ||
+ | U= | ||
+ | \int_{0}^{\Phi} | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | + \frac{N | ||
+ | +\xi | ||
+ | - \frac{N M_{f}} | ||
+ | | ||
+ | r_g \d \phi | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Nel foglio di calcolo presente all' | ||
+ | *Teoria della trave dritta con T e N; | ||
+ | *Teoria della trave curva. | ||
+ | |||
+ | A seguito sono riportati i passaggi per giungere al calcolo dell' | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | A conclusione dei calcoli si esegue il confronto relativo ai metodi attraverso il rapporto tra l' | ||
+ | *Trave dritta snella - maglia di catena (trascurando N e T) 1.75 volte più cedevole del tondino d' | ||
+ | *Trave dritta considerando T e N - maglia di catena 3.2 volte più cedevole del tondino d' | ||
+ | *Teoria Trave curva - maglia di catena 3.14 volte più cedevole del tondino d' | ||
+ | |||
+ | Da questa verifica possiamo osservare che non c'è molta differenza nella risposta ai carichi nel considerare il tratto 1 della maglia di catena come trave curva e trave dritta (con T e N). Invece se consideriamo la maglia di catena come una trave dritta snella si commette un errore dell' | ||
+ | |||
+ | Si può ricavare il momento flettente nella struttura, coincidente con la coppia C, già definita, e conseguentemente valutare lo stato tensionale al punto di applicazione della coppia stessa: | ||
+ | [attenzione che il raggio r non è quello baricentrico, | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Quanto visto, varia in funzione della sezione che si caratterizza, | ||
+ | Per maggiore accuratezza si può verificare il carico garantito con i manuali utilizzati per le dimensioni della catena. | ||
+ | ((Il calcolo della $\sigma_{f}$ non rispettava quanto visto nel manuale, ciò comporta la presenza di un errore di stesura delle formule precedenti.)) | ||
+ | ====== Comandi MAXIMA ====== | ||
+ | Di seguito sono presenti una serie di funzioni utili alla risoluzione di alcune problematiche con l' | ||
+ | |||
+ | ===== Definizione di Funzioni ===== | ||
+ | |||
+ | Definire una funzione può avvenire attraverso due diverse strategie: | ||
+ | |||
+ | La prima prevede l' | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Questo comando implementa le funzioni valutandole all’atto della definizione e non all’atto della chiamata. Utilizzando la funzione " | ||
+ | |||
+ | Il secondo invece definisce la funzione con il comando": | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Tale tipo di sintassi non prevede la valutazione, | ||
+ | |||
+ | Se non voglio ritardare la valutazione della funzione utilizzo il comando " | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Naturalmente si posso definire funzioni in più variabili: | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | ===== Grafici e Sviluppo in Serie di Taylor ===== | ||
+ | |||
+ | Sviluppo in serie di taylor la funzione precedentemente vista: | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Nel comando troviamo la funzione, la relativa variabile, seguita da intorno e grado di sviluppo; in questo caso //" | ||
+ | |||
+ | Assegno a //" | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Si possono graficare le funzioni attraverso due metodi:un metodo standard con comando //" | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Un secondo metodo prevede la stesura del grafico in una finestra flottante diversa dal foglio di lavoro, scrivendo //" | ||
+ | |||
+ | Si può automatizzare la procedura, calcolando lo sviluppo in serie di Taylor a gradi superiori, per poi graficarli. | ||
+ | Un **blocco di istruzioni** è un insieme di comandi dati al calcolatore, | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | //" | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Allora si può passare all' | ||
+ | |||
+ | <figure fiore> | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Attraverso l' | ||
+ | |||
+ | |||
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+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== NOTE ===== | ||
+ | |||
+ | ====Autori==== | ||
+ | Federico Rizzello, mat. 106165, Riccardo Tramacere, mat. 104297, Rafael Caberlon, mat. 103519. | ||
+ | |||
+ | ====Tabella di monitoraggio carico orario==== | ||
+ | < | ||
+ | Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. | ||
+ | |||
+ | ^ Autore/ | ||
+ | | Caberlon | ||
+ | | Rizzello | ||
+ | | Tramacere | ||
+ | | Revisore | ||
+ | | **Totale** | ||
+ | |||
+ | La sezione relativa ai revisori è da compilarsi a cura del curatore. | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ~~DISCUSSION~~ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== PATTUME ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Lista dei simboli ===== | ||
+ | | $u$, | ||
+ | | $\alpha$ |