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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+===== Energia potenziale elastica della trave curva piana =====
+Formula per l'energia interna di una trave curva nel piano.
+Lo sforzo normale $N$ è supposto positivo se trattivo, il momento flettente $M_f$ è supposto positivo se tende le fibre all'intradosso (ossia se tende a raddrizzare la trave); nel caso questa seconda convenzione non sia rispettata occorre variare il segno del termine misto $M_f N$.
+$$
+  \def\d{\,\mathrm{d}}
+  U=
+    \int_{0}^{\Phi}
+     \left(
+               \frac{M_{f}^2  }{2 E A \delta r_g}
+      +        \frac{N      ^2}{2 E A}
+      +\xi     \frac{T      ^2}{2 G A}
+      -        \frac{N M_{f}}  {  E A r_g}
+     \right)
+    r_g \d \phi
+$$
+ove $A$ è l'area di sezione, $r_g$ è il raggio baricentrico (supposto costante), $\delta=r_g-r_n$ è la distanza tra questi è il raggio neutro, e, per sezioni circolari piene, $\xi= 1.11$, e
+$$
+r_n = \frac{\left(r_e-r_i\right)^2}{8\left( \frac{r_i+r_e}{2} - \sqrt{r_i r_e} \right)}
+$$
+ove $r_i,r_e$ corrispondono ai raggi interno ed esterno.
+La tensione assiale indotta dal momento flettente è ricavabile come
+$$
+\sigma_f = \frac{M_f \left(r_n - r\right)}{A \delta r}
+$$
+----
+====== Continuazione MAGLIA DI CATENA ======
+{{:wikipaom2016:maglia_v004.wxm|maglia di catena, modello cattedra fine lezione ven 4 mar, formato wxm}}
+Definiamo assi locali (η, ε e ζ) nella sezione della maglia di catena considerata come trave:
+  * ζ - allineato con l'asse baricentrico della trave;
+  * η e ε - ortogonali all'asse baricentrico della trave. Nella //Figure 1// l'orientamento di ε è stato definito ortogonale al piano XY e quello di η è ottenuto di conseguenza per la regola della mano destra.
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:lab2-fig1.jpg?300 |}}
+<caption> Assi locali </caption>
+</figure>
+Per le sezioni circolari non è necessario indicare come sono orientati nello spazio //η// e //ε// sezione per sezione, perché la sezione ruotata rimane uguale a se stessa. Tuttavia se la sezione della trave è ellittica può essere necessario indicare in quale direzione si trova il semiasse maggiore, visto che la risposta della maglia di catena cambia a seconda di dove si trova il semiasse maggiore.
+La struttura della maglia di catena possiede due piani di simmetria e di conseguenza se riesco a risolvere il problema elastico su 1/4 di struttura è possibile ricavare il comportamento degli altri 3/4 semplicemente per reazioni di simmetria. Aggiungendo i vincoli ottenuti dalla continuità del materiale e dall'{{:wikitelaio2016:simmetria_antisimmetria.png?linkonly|analisi delle condizioni di simmetria}} la struttura da analizzare diventa:
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:lab2-fig2.jpg?200|}}
+<caption> Struttura da analizzare </caption>
+</figure>
+La struttura ottenuta è una volta iperstatica, la semplifichiamo sostituendo il doppio pendolo superiore con un carrello e aggiungendo la coppia //C// relativa al vincolo soppresso, in modo che sia risolvibile il problema strutturale.
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:lab2-fig3.jpg?200|}}
+<caption> Struttura risolvibile </caption>
+</figure>
+Dall'equilibrio della struttura abbiamo trovato FA = 0.
+Nella lezione precedente la struttura è stata risolta supponendo che l'//energia potenziale elastica// **U**  sia prodotta esclusivamente dal momento flettente - **Ipotesi di trave dritta snella**.
+$$
+  \def\d{\,\mathrm{d}}
+  U=
+    \int_{l}
+               \frac{M_{f,\xi}^2}{2 E J_{\xi \xi }}
+      \d l
+$$
+In realtà il momento flettente è solo una delle possibili sollecitazioni che agiscono sulla trave, poiché trattando un sistema piano avremo anche lo //sforzo di taglio// **T** e lo //sforzo normale// **N** - **Ipotesi di trave dritta**, con l'aggiunta di T e N la formula dell'energia potenziale elastica U diventa:
+$$
+  \def\d{\,\mathrm{d}}
+  U=
+    \int_{l}
+               \frac{M_{f,\xi}^2}{2 E J_{\xi \xi }}
+      +        \frac{N      ^2}{2 E A}
+      +\eta_{\xi}\frac{T_{  \xi}^2}{2 G A}
+      \d l
+$$
+Si ricava il taglio e lo sforzo normale su ogni tratto della struttura:
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:lab2-fig3.1.jpg?300|}}
+<caption> Tratto 1 </caption>
+</figure>
+$$N1(\theta )=FAcos(\theta )+\frac{P}{2}sin(\theta )$$
+$$T1(\theta )=\frac{P}{2}cos(\theta )-FAsin(\theta )$$
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:lab2-fig3.2.jpg?200|}}
+<caption> Tratto 2 </caption>
+</figure>
+$$N2=\frac{P}{2}$$
+$$T2=FA$$
+----
+==== Verifica trave snella e curva ====
+Abbiamo utilizzato dei dati presi a campione da un catalogo di produttori di catene industriali:
+  *d filo = 10 mm;
+  *Raggio interno Ri = 6.5 mm (R = 11.5 mm);
+  *passo = 30 mm (passo-2*Ri = 2L = 17 mm).
+La trave in questione presenta un rapporto //lunghezza/diametro// piccolo (vicino a 3), quindi __non può essere considerata snella__. A tal proposito risulta indispensabile introdurre nella trattativa sforzo di taglio e sforzo normale.
+Si osserva inoltre che il raggio di curvatura dell'asse baricentrico (R) non è molto maggiore dello spessore radiale della sezione, e ciò rende la curvatura non trascurabile. Si deve necessariamente studiare il problema anche attraverso __la teoria della trave curva__.
+----
+Dalle verifiche precedenti risulta necessario considerare il problema anche attraverso la teoria della trave curva,  con la quale si calcola l'energia potenziale elastica U dell'arco di circonferenza (tratto 1 - vedi //Figure 3//) attraverso:
+$$
+  \def\d{\,\mathrm{d}}
+  U=
+    \int_{0}^{\Phi}
+     \left(
+               \frac{M_{f}^2  }{2 E A \delta r_g}
+      +        \frac{N      ^2}{2 E A}
+      +\xi     \frac{T      ^2}{2 G A}
+      -        \frac{N M_{f}}  {  E A r_g}
+     \right)
+    r_g \d \phi
+$$
+Nel foglio di calcolo presente all'inizio di questo paragrafo sono presenti entrambe le soluzioni:
+  *Teoria della trave dritta con T e N;
+  *Teoria della trave curva.
+A seguito sono riportati i passaggi per giungere al calcolo dell'energia potenziale elastica U attraverso le due strategie elencate:
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:lab2-fig4.jpg?|}}
+<caption> Calcolo U1dir e Ucurv </caption>
+</figure>
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:lab2-fig5.jpg?|}}
+<caption> Calcolo U2 e U </caption>
+</figure>
+A conclusione dei calcoli si esegue il confronto relativo ai metodi attraverso il rapporto tra l'allungamento della maglia di catena e allungamento del tondino relativo, con lunghezza definita dal passo della maglia, composto dello stesso materiale e con pari sezione:
+  *Trave dritta snella - maglia di catena (trascurando N e T) 1.75 volte più cedevole del tondino d'acciaio;
+  *Trave dritta considerando T e N - maglia di catena 3.2 volte più cedevole del tondino d'acciaio;
+  *Teoria Trave curva - maglia di catena 3.14 volte più cedevole del tondino d'acciaio.
+Da questa verifica possiamo osservare che non c'è molta differenza nella risposta ai carichi nel considerare il tratto 1 della maglia di catena come trave curva e trave dritta (con T e N). Invece se consideriamo la maglia di catena come una trave dritta snella si commette un errore dell'ordine di circa 50%.
+Si può ricavare il momento flettente nella struttura, coincidente con la coppia C, già definita, e conseguentemente valutare lo stato tensionale al punto di applicazione della coppia stessa:
+[attenzione che il raggio r non è quello baricentrico, ma è quello a cui si campiona la tensione, ossia (r-d/2)]
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:sigmaf.png|}}
+<caption> Calcolo Stato Tensionale </caption>
+</figure>
+Quanto visto, varia in funzione della sezione che si caratterizza, delle sue proprietà strutturali e geometriche. [Sezione circolare a dimensioni e materiale definiti]
+Per maggiore accuratezza si può verificare il carico garantito con i manuali utilizzati per le dimensioni della catena.
+((Il calcolo della $\sigma_{f}$ non rispettava quanto visto nel manuale, ciò comporta la presenza di un errore di stesura delle formule precedenti.))
+====== Comandi MAXIMA ======
+Di seguito sono presenti una serie di funzioni utili alla risoluzione di alcune problematiche con l'ausilio del calcolatore.
+===== Definizione di Funzioni =====
+Definire una funzione può avvenire attraverso due diverse strategie:
+La prima prevede l'assegnazione della funzione con ":" :
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:funzione_1.png|}}
+<caption> Assegnazione Funzione </caption>
+</figure>
+Questo comando implementa le funzioni valutandole all’atto della definizione e non all’atto della chiamata. Utilizzando la funzione "ev", in figura, posso assegnare alla variabile x un qualsiasi valore specifico, al fine di sostituirla all'espressione e determinarne il valore. Nel caso in cui risulti utile ripetere l'ultimo passaggio per differenti valori della variabile di funzione, si può pensare di utilizzare un metodo più compatto e sintatticamente più utile.
+Il secondo invece definisce la funzione con il comando":=" :
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:funzione_2.png|}}
+<caption> Definizione Funzione </caption>
+</figure>
+Tale tipo di sintassi non prevede la valutazione, al momento dell'assegnazione, dell'espressione che è a destra di ":=" .
+Se non voglio ritardare la valutazione della funzione utilizzo il comando "define" :
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:funzione_3.png|}}
+<caption> Comando Define </caption>
+</figure>
+Naturalmente si posso definire funzioni in più variabili:
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:funzione_4(lez5).png|}}
+<caption> Funzione in 3 Variabili </caption>
+</figure>
+===== Grafici e Sviluppo in Serie di Taylor =====
+Sviluppo in serie di taylor la funzione precedentemente vista:
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:fun_4(lab2).png|}}
+<caption> Sviluppo in Serie di Taylor </caption>
+</figure>
+Nel comando troviamo la funzione, la relativa variabile, seguita da intorno e grado di sviluppo; in questo caso //"fun(x)"// nella variabile //x//, nell'intorno specifico di $\pi/6$ al primo ordine.((fare ben attenzione a definire le variabili correttamente all'interno della funzione di Taylor //"//x=3//"//. Una soluzione può essere utilizzare il comando "define"))
+Assegno a //"t1fun"// e //"t2fun"// gli sviluppi in serie di Taylor rispettivamente al primo e al secondo ordine
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:taylor1_lab2_.png|}}
+<caption> Serie di Taylor al 1° ordine </caption>
+</figure>
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:taylor2_lab2_.png|}}
+<caption> Serie di Taylor al 2° ordine </caption>
+</figure>
+Si possono graficare le funzioni attraverso due metodi:un metodo standard con comando //"wxplot2d"// che genera il grafico nella pagina di lavoro: qui il primo parametro può essere o una singola funzione,o una lista di funzioni, il secondo parametro è una lista che contiene la variabile da far scorrere e gli estremi dell'intervallo in cui essa varia. Con il terzo parametro, invece facoltativo, si può indicare una legenda sul grafico, qualora quella di default non soddisfacesse le richieste dell'operatore.
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:graf_taylor_lab2.png|}}
+<caption> Grafico Sviluppo in Serie di Taylor </caption>
+</figure>
+Un secondo metodo prevede la stesura del grafico in una finestra flottante diversa dal foglio di lavoro, scrivendo //"plot2d"//.
+Si può automatizzare la procedura, calcolando lo sviluppo in serie di Taylor a gradi superiori, per poi graficarli.
+Un **blocco di istruzioni** è un insieme di comandi dati al calcolatore, limitati da parentesi tonde, con output dato dall'ultima espressione.
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:blocco_lab2.png|}}
+<caption> Blocco di Istruzioni </caption>
+</figure>
+//"plottami"// è definita come una lista quota.
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:plottami_lab2.png|}}
+<caption> Definizione plottami </caption>
+</figure>
+Allora si può passare all'estrazione della serie di Taylor imponendo l'ordine pari ad //"i=3"//.
+<figure fiore>
+{{:wikipaom2016:plottami_2lab2.png|}}
+{{:wikipaom2016:INFOX2.jpg|}}
+{{:wikipaom2016:graf2.4.jpg|}}
+<caption> Grafico Sviluppo in Serie di Taylor </caption>
+</figure>
+Attraverso l'ausilio di //"append"//, con cui accodiamo una funzione ad un'altra, si può aggiungere alla definizione di **//"plottami"//**, la lista //"legendami"//, definita come concatenazione di se stessa con l'elemento che contiene per esempio //i//. Nel //"plottami"// si ha come primo parametro la lista di funzioni di riferimento, come secondo, la variabile seguita dal range di "plotaggio", seguita ulteriormente dalla lista "legendami" ed infine da una seconda variabile e il relativo intervallo.
+===== NOTE =====
+====Autori====
+Federico Rizzello, mat. 106165, Riccardo Tramacere, mat. 104297, Rafael Caberlon, mat. 103519.
+====Tabella di monitoraggio carico orario====
+<hidden>
+Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina.
+^ Autore/Revisore  ^  Prima stesura  ^  Prima revisione  ^  Seconda stesura  ^ Revisione finale  ^  Totale    ^
+| Caberlon         |  6              |  ---              |  ---              |  ---              |  **6   **  |
+| Rizzello         |  6              |  ---              |  ---              |  ---              |  ---       |
+| Tramacere        |  6              |  ---              |  ---              |  ---              |  ---       |
+| Revisore         |  ---            |  1                |  ---              |  ---              |  ---       |
+| **Totale**       |  **- **         |  **    **         |  **    **         |  **  **           |  ---       |
+La sezione relativa ai revisori è da compilarsi a cura del curatore.
+</hidden>
+~~DISCUSSION~~
+===== PATTUME =====
+===== Lista dei simboli =====
+| $u$,$v$,$w$  | spostamenti in direzione x,y,z rispettivamente                         |
+| $\alpha$     | fattore di scala dell'elemento triangolare, vedi Figura {{ref>fiore}}  |