wikipaom2015:provetecnichedilezione1
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | |||
+ | partiamo da un problema tipico di una verifica strutturale. | ||
+ | Abbiamo un componente meccanico, che in questo caso è un dente di una ruota dentata. | ||
+ | Il dente di ruota dentata viene isolato dal resto della ruota dentata in quanto vuole essere analizzato in termini di fenomeni che avvengono localmente al raccordo col corpo della ruota dentata, nel caso in cui il dente venga caricato da una forza P in un punto come in figura. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | P sta a rappresentare la risultante della pressione di contatto col dente reciproco dell' | ||
+ | L'idea è di andare a studiare lo stato tensionale di questa porzione locale di struttura. | ||
+ | È definito un dominio elastico, cioè una porzione di spazio occupata dal materiale che si comporta secondo legge elastica nel suo deformarsi. Può essere anche un dominio non strettamente elastico, ad esempio elasto-plastico, | ||
+ | Avete delle condizioni al contorno, cioè presenti sul bordo del dente considerato. | ||
+ | Gran parte delle forze che consideriamo agiscono sulle superfici o comunque sull' | ||
+ | Di queste forze ricordiamo la forza d' | ||
+ | 00:58:30 | ||
+ | Sostanzialmente abbiamo una porzione di materiale, abbiamo dei carichi che in qualche modo entrano nella struttura (in questo caso abbiamo un carico concentrato), | ||
+ | Se la porzione di dente fosse applicata la sola forza P, il sistema non sarebbe in equilibrio e tenderebbe ad accelerare nel verso della forza. Quello che si fa implicitamente a supporre è che lungo la linea di strappo ci sia un legame con dell' | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | Per riassumere, questo problema è caratterizzato dall' | ||
+ | Questo problema (determinazione delle tensioni nei punti di raccordo dente -ruota ) ha una soluzione in teoria dell' | ||
+ | Il problema è che questa soluzione non è facilmente determinabile. | ||
+ | La difficoltà nasce dal fatto che le equazioni dei continui elastici sono molto complesse, soprattutto se trattate su dei contorni che non sono banali tipo rettangolo, cerchio, cerchio forato. | ||
+ | 01:02:50 | ||
+ | Stiamo parlando di un corpo continuo, quindi bisogna discutere l' | ||
+ | Questo cubetto è sollecitato sulle sue sei facce da svariate sollecitazioni, | ||
+ | Lo stato tensionale è costituito, una volta definito il sistema di assi cartesiani xyz, da tensioni che agiscono sulle facce del cubetto infinitesimo. | ||
+ | |||
+ | Il cubetto infinitesimo è compreso tra un punto P di coordinate (x,y,z) e un punto P+dP che ha coordinate (x+dx, y+dy, z+dz). | ||
+ | Per semplicità analizziamo solo l' | ||
+ | Gli equilibri sono molteplici, tipicamente 6 per un corpo nello spazio. (3 traslazioni + 3 rotazioni). | ||
+ | Noi trattiamo qui solo gli equilibri alla traslazione, | ||
+ | |||
+ | 01:04:40 | ||
+ | si ricorda che il primo pedice indica la normale alla faccia su cui insiste la tensione tangenziale mentre il secondo pedice indica la direzione della tensione stessa. | ||
+ | |||
+ | Spiegazione personale, causa difficile interpretazione di quanto detto da Bertocchi, e comunque da esprimere meglio: | ||
+ | “Consideriamo per semplicità un cubetto elementare in cui non siano presenti tensioni tangenziali aventi per pedice la lettera z. Se supponiamo che esso sia caratterizzato dalla presenza della sola τyx agente sul lato superiore, l' | ||
+ | 01:07:10 | ||
+ | Quindi le tre equazioni di equilibrio alla rotazione del cubetto elementare, si risolvono in: | ||
+ | |||
+ | ricordatevi sempre questo: | ||
+ | qualunque risultato che non rispetta l' | ||
+ | Si tollerano molte approssimazioni nei nostri modelli di calcolo, ma l' | ||
+ | |||
+ | EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE IN DIREZIONE X DEL CUBETTO | ||
+ | Prendiamo questo cubetto: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | supponiamo che questo cubetto abbia estensione, sui tre assi, pari a dxdydz. | ||
+ | |||
+ | non c'è scritto ma possiamo aggiungerlo nella trattazione, | ||
+ | |||
+ | Supponiamo di avere delle componenti di stato tensionale σx σy σz e τxy τxz τyz , che tali componenti siano derivabili, e che sia accettabile un' | ||
+ | In questa maniera, noi abbiamo che su questa faccia (quella a sinistra del cubetto) agisce una σx valutata in P, su un' | ||
+ | |||
+ | Sulla faccia opposta agisce una σx che deve essere calcolata non più in P, ma in P+dP che viene approssimata con Taylor e troncata al primo ordine: | ||
+ | |||
+ | finora ho disegnato solo le forze che danno contributo all' | ||
+ | Dopodiché, sulla faccia retrostante, | ||
+ | |||
+ | forza che deve essere equilibrata dalla tensione analoga agente sulla faccia frontale del cubetto, a distanza dP: | ||
+ | |||
+ | considerando le facce rimanenti, si ottiene il seguente insieme di forze: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Sono in totale 7 contributi, compreso il qx. | ||
+ | Facciamo la somma di tutte le forze e poniamo uguale a zero. | ||
+ | Si semplifica e rimane solamente la prima equazione di equilibrio lungo x che è questa: | ||
+ | |||
+ | Analogamente, | ||
+ | |||
+ | queste sono le tre equazioni di equilibrio, ma alle derivate parziali. Non è semplice risolverle. | ||
+ | Non sono sufficienti per risolvere il problema del dente di ruota. | ||
+ | Queste tre equazioni coinvolgono lo stato tensionale, ma questo non è l' | ||
+ | 01:15:00 | ||
+ | Oltre alle equazioni di equilibrio, sapete che esistono anche le equazioni di compatibilità cinematica. | ||
+ | Non mi dilungo più di tanto, in quanto sono infinitamente complicate. | ||
+ | Possono essere dette in modo più semplice: non ci devono essere stappi nel materiale. | ||
+ | Le deformazioni possono essere come vi pare, ma non devono dare luogo a tagli dove prima non c' | ||
+ | La questione è che il modo più semplice per garantire che Le deformazioni rispettino le equazioni di compatibilità, | ||
+ | Se u è lo spostamento lungo x, v lo spostamento lungo y, w lo spostamento lungo z, posso scrivere che: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Se dico che le deformazioni nascono dagli spostamenti (non sono qualunque, ma sono solo quelle che possono essere scritte in quella maniera), e che gli spostamenti u,v,w, sono funzioni continue sul dominio elastico, scrivendo la relazione tra le deformazioni e gli spostamenti, | ||
+ | Quindi invece di fare le equazioni di compatibilità, | ||
+ | Tutte le deformazioni che non sono ascrivibili alla forma, non rispettano la continuità. | ||
+ | εx potrebbe essere qualunque, ma se dico che deve essere esprimibile come la derivata di u in dx, allora implicitamente impongo la compatibilità. | ||
+ | |||
+ | Per chiudere il problema elastico, manca solo il legame tra σ e ε. | ||
+ | Il legame tra σ e ε può essere vario ed eventuale, ed è legato alla formulazione che utilizziamo per rappresentare l' | ||
+ | Per gran parte del corso, salvo indicazione contraria, utilizzeremo materiali elastici lineari isotropi. | ||
+ | Elastico vuol dire che la deformazione dello stesso è un fenomeno conservativo, | ||
+ | Lineare vuol dire che non solo è conservativo, | ||
+ | Le ipotesi di linearità sono sostanzialmente la scalabilità degli effetti e la composizione degli stessi. | ||
+ | Vedremo in particolare cosa vuol dire. | ||
+ | Isotropo vuol dire che il materiale si comportano stessa maniera in tutte le direzioni dello spazio, cioè non esistono direzioni preferenziali. | ||
+ | I materiali di uso comune nella costruzione di componenti meccanici soddisfano in prima approssimazione tutte queste caratteristiche, | ||
+ | L' | ||
+ | Alcuni fenomeni di trascuriamo, | ||
+ | Nessun materiale reale è veramente elastico omogeneo isotropo, (forse il vetro… Ma non si fanno componenti meccanici in vetro). | ||
+ | Il legame tensione-deformazione segue la legge di Hooke, che è scritto nelle due versioni: | ||
+ | tensioni in funzione della deformazioni | ||
+ | deformazioni in funzione delle tensioni. | ||
+ | Si riporta una notazione di tipo algebrico: | ||
+ | ogni qual volta potete dire che se una quantità o un vettore è funzione lineare di un altro vettore, allora quella funzione è esprimibile come una matrice che premoltiplica il secondo vettore, più eventualmente una costante. | ||
+ | |||
+ | Quando si dice lineare c’è sempre il dubbio che sia strettamente lineare o affine… | ||
+ | Il concetto è che ogni volta che una quantità, tipo le tensioni, è una funzione lineare di un' | ||
+ | In questo caso non è una matrice qualunque, ma è una matrice di legame elastico. | ||
+ | Quella riportata è tridimensionale, | ||
+ | La seconda forma secondo cui può essere espresso tale legame è la seguente: | ||
+ | |||
+ | semplicemente la matrice precedente è l’inversa di quest’ultima. | ||
wikipaom2015/provetecnichedilezione1.txt · Ultima modifica: 2015/03/12 17:31 da 84837