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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ======= DINAMICA DI SISTEMI AD n GDL (FEM) ======= | ||
+ | (vedi anche [[https:// | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Forma di equilibrio dinamico: | ||
+ | |||
+ | $\underline{\underline{M}} \ddot{\underline{x}} + \underline{\underline{C}} \dot{\underline{x}} + \underline{\underline{K}} \underline{x} = \underline{F}(t)$ | ||
+ | |||
+ | * $\underline{\underline{M}} = \text{matrice massa}$ | ||
+ | * $\underline{\underline{C}} = \text{matrice smorzamento}$ | ||
+ | * $\underline{\underline{K}} = \text{matrice rigidezza}$ | ||
+ | |||
+ | Con ipotesi di comportamento lineare del sistema con soluzioni periodiche scomposte in serie di Fourier (per trovarne la forma armonica) siamo giunti alla forma algebrica dell' | ||
+ | |||
+ | $ \underline{x} (t)= Re(\overline{\underline{x}}e^{j\omega t}) \Rightarrow \dot{x}=j \omega \overline{x} e^{j\omega t} \Rightarrow{\ddot{x}=-\omega^2 \overline{x} e^{jwt}}$ | ||
+ | |||
+ | $F(t)=\underline{\overline{f}}e^{j\omega t}$ | ||
+ | |||
+ | $(-\omega^2 \underline{\underline{M}} + j \omega \underline{\underline{C}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{\bar{f}}$ | ||
+ | |||
+ | Dove: | ||
+ | * $\underline{x}$ = numero complesso che contiene componente reale ed immaginaria delle armoniche di risposta | ||
+ | * $\underline{f}$ = forzante esterna in forma complessa | ||
+ | |||
+ | Tramite questa equazione ricavo $\underline{\overline{x}}$; | ||
+ | |||
+ | $x(t) = Re(\, \overline{x} \, e^{j \omega t} \,) \quad \text{con} \quad \omega = 2\, \pi \, \mathsf{f} \quad \: \text{ove} \quad \mathsf{f}=\text{frequenza}$ | ||
+ | |||
+ | Considero ora alcune soluzioni particolari cioè mi chiedo se esistano modi di oscillare che siano soluzioni armoniche non banali associate a __forzante esterna nulla__ ; perciò mi chiedo se il sistema stia fermo in assenza di forzante oppure no | ||
+ | |||
+ | $\underline{\overline{f}} = \underline{0}$ | ||
+ | |||
+ | Affinché possa pensare di avere soluzioni non banali (diverse dalla stasi) devo eliminare ogni elemento dissipativo del sistema altrimenti il moto non può proseguire in eterno, perciò: | ||
+ | |||
+ | $\underline{\underline{C}} = \underline{\underline{0}} \quad \text{matrice nulla}$ | ||
+ | |||
+ | Quindi il problema algebrico si riduce nella forma: | ||
+ | |||
+ | (-$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{0}$ | ||
+ | |||
+ | dove il termine moltiplicativo di $\underline{\overline{x}}$ viene chiamato MATRICE DI SISTEMA. | ||
+ | |||
+ | Nel caso in cui la matrice di sistema abbia rango pieno ho un' | ||
+ | |||
+ | $ \mathsf{det}(- \omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) = 0$ | ||
+ | |||
+ | Sapendo che La matrice massa $\underline{\underline{M}}$ è costante così come la matrice K (per l' | ||
+ | |||
+ | * $\underline{\underline{K}}$è una matrice semi-definita positiva (definita positiva nel caso in cui sistema vincolato) | ||
+ | * $\underline{\underline{M}}$ è una matrice sempre definita positiva (di conseguenza -M è definita negativa) | ||
+ | |||
+ | Perciò nella formula precedente una matrice definita negativa è aggiunta ad una matrice definita positiva in quote crescenti dovute alla pulsazione della eccitante cioè $\omega$ (in questo caso non avendo eccitante esterna, la pulsazione è quella della risposta, viene quindi definita __pulsazione naturale__ del sistema). | ||
+ | |||
+ | Quindi si ha un' | ||
+ | |||
+ | Nel caso in cui si riuscisse a trovare delle soluzioni $\omega_i^2$ con det=0 allora insieme alla soluzione banale si avranno anche delle oscillazioni con pulsazioni $\omega_i$ che possono esistere senza la presenza di forzanti esterne al sistema. | ||
+ | |||
+ | Sostituendo gli $\omega_i$ trovati nell' | ||
+ | |||
+ | (-$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{0}$ | ||
+ | |||
+ | è possibile calcolare una componente del vettore $\underline{\overline{x}}_i$ per ogni $\omega_i$ che è soluzione che si aggiunge a quella banale. | ||
+ | |||
+ | Perciò si hanno coppie $\omega_i$, | ||
+ | |||
+ | In realtà il sistema è singolare perché per trovare le pulsazioni proprie del sistema è stato imposto che il determinante della matrice di sistema abbia determinante nullo perciò per trovare le soluzioni volute $\omega_i$ occorre moltiplicare l' | ||
+ | |||
+ | $(-\omega^2 \underline{\underline{I}} + \underline{\underline{M}}^{-1} \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}}= \underline{0}$ | ||
+ | |||
+ | che è ha la forma di un problema agli autovalori: | ||
+ | |||
+ | $(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})\underline{v}=0$ | ||
+ | |||
+ | Ricorda un problema di ricerca di coppie di autovalori-autovettori dove la generica soluzione $\lambda_i$ è autovalore (detto anche __eigenvalue__) e $\underline{v}_i$ è l' | ||
+ | |||
+ | i generici $\lambda_i$ sono soluzioni della forma: | ||
+ | |||
+ | $ \mathsf{det}(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})=0$ | ||
+ | |||
+ | Che è un polinomio di grado n dove n è l' | ||
+ | |||
+ | * Se $\lambda_i$ ha molteplicità = 1 --> ha un solo autovettore associato | ||
+ | * Se $\lambda_i$ ha molteplicità > 1 --> avrà numero di autovettori associati pari al valore della sua molteplicità | ||
+ | |||
+ | Il problema di come si trovino le varie coppie $\lambda_i$ , $\underline{v}_i$ non lo poniamo perché lasciamo ad un codice apposito il calcolo; perciò si suppone di avere la soluzione già a disposizione. | ||
+ | |||
+ | Nel nostro caso $\lambda_i$ coincide con $\omega^2_i$. | ||
+ | |||
+ | In realtà si cerca di non invertire la matrice M perché è molto grande perciò richiederebbe un' | ||
+ | |||
+ | $\mathsf{det} (\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})=0$ | ||
+ | |||
+ | Tornando all' | ||
+ | |||
+ | (-$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{0}$ | ||
+ | |||
+ | Le coppie $\lambda_i$ , $\underline{v}_i$, | ||
+ | |||
+ | $\underline{x}(t)=Re(\underline{\overline{x}}_i e^{j \omega_i t}) $ | ||
+ | |||
+ | Nella realtà ogni sistema è sempre composto da dissipazioni seppur piccole perciò questi fenomeni non sono mai visibili. | ||
+ | |||
+ | La singolarità della matrice di sistema ammette la presenza di almeno $\infty^1$ soluzioni (se la matrice ha rango n-1) ciò vuol dire che se $\underline{\overline{x}}_i$ è un autovettore allora anche un generico $\lambda \underline{\overline{x}}_i$ è soluzione dove $\lambda$ è uno scalare arbitrario perciò ho moti con ampiezza indefinita. | ||
+ | |||
+ | Nel caso in cui siano presenti più autovalori di pari valore (cioè $\omega_i^2$ con molteplicità> | ||
+ | |||
+ | $\omega_i^2$ con molteplicità 3 a cui sono associati $\underline{\overline{x}}_{i1}$ , $\underline{\overline{x}}_{i2}$ , $\underline{\overline{x}}_{i3}$ | ||
+ | |||
+ | allora è soluzione del problema anche una qualunque combinazione lineare dei 3: | ||
+ | |||
+ | $\lambda_1 \underline{\overline{x}}_{i1} +\lambda_2 \underline{\overline{x}}_{i2} + \lambda_3 \underline{\overline{x}}_{i3}$ | ||
+ | |||
+ | Che rappresenta un altro moto che esiste in assenza di forzante, si ha la possibilità di operare su tre parametri indipendenti rimanendo nel campo delle soluzioni di $\mathsf{det}(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})=0$ | ||
+ | |||
+ | [Se $\omega_i^2$ ha molteplicità 3 allora -$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}$ è una matrice di rango n-3 quindi $\infty^3$ soluzioni]. | ||
+ | |||
+ | Consideriamo ora un caso specifico: | ||
+ | |||
+ | =====Barra flettente incastrata ad un estremo===== | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | 3 GDL per nodo (cioè spostamenti e rotazioni) | ||
+ | |||
+ | Nella struttura discretizzata a FEM ho 6 nodi non vincolati ciò vuol dire che ho 18 GDL totali quindi le matrici massa $\underline{\underline{M}}$ e rigidezza $\underline{\underline{K}}$ sono 18x18. | ||
+ | |||
+ | La struttura avrà tanti modi propri di vibrare quanti sono i GDL della struttura, dopo un certo valore però le frequenze raggiunte sono talmente elevate da poter non essere più considerate; | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | //I° modo proprio di vibrare della struttura cioè quello a pulsazione $\omega_i$ più bassa// | ||
+ | |||
+ | Il generico nodo ha rotazione diversa da zero, spostamento nullo lungo y ma diverso da zero lungo x perciò un generico autovettore associato a questo modo proprio di vibrare è: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | $$ | ||
+ | $$ | ||
+ | \underline{\overline{x}}_i | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | ...\\ | ||
+ | ...\\ | ||
+ | \delta\\ | ||
+ | 0\\ | ||
+ | \theta\\ | ||
+ | ...\\ | ||
+ | ...\\ | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Dove i valori di $\delta$ e $\theta$ sono quelli attribuiti al generico nodo ma cambieranno da nodo a nodo pur mantenendo lo spostamento y sempre nullo. | ||
+ | Il vettore $\underline{\overline{x}}_i$ indica l' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | In realtà vorrei trovare una soluzione sola per ogni modo di vibrare della struttura cioè un unico vettore $\underline{x}_i$, | ||
+ | |||
+ | $\lambda \underline{\overline{x}}_i^T \underline{\underline{M}} \lambda \underline{\overline{x}}_i=1$ | ||
+ | |||
+ | dove indico: | ||
+ | |||
+ | $\lambda \underline{\overline{x}}_i = \underline{\hat{x}}_i$ | ||
+ | Scalatura a massa unitaria di $\lambda$ | ||
+ | |||
+ | Perciò vengono restituiti $\lambda \underline{\overline{x}}_i$ che rispettano quella scalatura e vengono accettati come soluzione unica in $\underline{\hat{x}}_i$. | ||
+ | |||
+ | __**Ora riprendo il caso originario considerando anche la smorzamento**__ | ||
+ | |||
+ | (-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + j \omega_i \underline{\underline{C}} + \underline{\underline{K}}) a \underline{\hat{x}}_i = \underline{\bar{f}}$ | ||
+ | |||
+ | Suppongo di eccitare il sistema con una pulsazione pari ad una delle pulsazioni naturali $\omega_i$ del mio sistema e verifico se esiste una forma del tipo a$\underline{\hat{x}}_i$ (scalatura arbitraria del modo proprio) che può essere soluzione per un qualche valore di " | ||
+ | |||
+ | (-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + j \omega_i \underline{\underline{C}} + \underline{\underline{K}}) a \underline{\hat{x}}_i = \underline{\bar{f}}$ | ||
+ | |||
+ | Posso scriverla come: | ||
+ | |||
+ | (-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) a\underline{\hat{x}}_i + j \underline{\omega_i} \underline{\underline{C}} a \underline{\hat{x}}_i = \underline{\bar{f}}$ | ||
+ | |||
+ | Dove (-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) a\underline{\hat{x}}_i =0$ per definizione, | ||
+ | |||
+ | $j \underline{\omega_i} \underline{\underline{C}} a \underline{\hat{x}}_i | ||
+ | |||
+ | La forzante esterna è equilibrata dal termine smorzante con pulsazione $\omega=\omega_i$ cioè pulsazione naturale del sistema. | ||
+ | |||
+ | Quindi abbiamo ottenuto un' | ||
+ | |||
+ | Premoltiplico per $\underline{\hat{x}}_i^T$ per ottenere un' | ||
+ | |||
+ | $j\omega_i\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\underline{C}}\underline{\hat{x}}_ia=\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}$ | ||
+ | |||
+ | Da questa equazione scalare posso calcolare " | ||
+ | |||
+ | $a=\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}/ | ||
+ | |||
+ | " | ||
+ | |||
+ | Si può notare che il modulo di " | ||
+ | * Numeratore --> $\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}$ | ||
+ | * Denominatore --> $\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\underline{C}}\underline{\hat{x}}_i$ | ||
+ | |||
+ | Quindi se $\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}=0$ --> a=0 Perciò è sufficiente che $\underline{\hat{x}}_i^T$ sia perpendicolare ad $\underline{\bar{f}}$ per far annullare " | ||
+ | |||
+ | ===== Diapason ===== | ||
+ | Un diapason nello spazio ha una varietà di modi propri pari al numero di nodi in cui è discretizzato per 6 gradi di libertà, ogni nodo considerato con traslazioni e rotazioni nulle. Se il diapason non fosse discretizzato, | ||
+ | Considero il caso in cui il diapason ha solo due modi propri di vibrare. Il primo modo proprio è la vibrazione in apertura e chiusura delle aste in direzione simmetrica, di solito con una frequenza di 440Hz. Il punto inferiore che congiunge i due rami e la barra incastrata sono fermi. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Il secondo modo proprio del diapason incastrato alla base è un moto di oscillazione. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Se la struttura è simmetrica, come nel caso del diapason, i modi propri possono essere di tipo simmetrico o antisimmetrico. Nei modi simmetrici gli spostamenti normali al piano di simmetria sono uguali e contrari, gli spostamenti paralleli al piano sono uguali e le rotazioni con asse parallelo all' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Applichiamo una forza simmetrica sui due bracci del diapason di entità Fcosωt con pulsazione propria. Nel caso in esame interessano soltanto le prime 6 componenti dei vettori. | ||
+ | |||
+ | INSERIRE VETTORI | ||
+ | |||
+ | Il prodotto scalare al numeratore fra i vettori xi cappuccio e F è nullo perché i vettori sono ortogonali. Il vettore velocità è proporzionale al vettore spostamento e la potenza istantanea è il prodotto istantaneo fra forza e velocità. Se i due vettori sono ortogonali, il loro prodotto scalare è nullo. Se il numeratore è nullo, l' | ||
+ | In generale tutti i sistemi di forza antisimmetrici non possono compiere lavoro sui modi simmetrici e tutti i sistemi di forze simmetrici non possono compiere lavoro sui modi antisimmetrici. | ||
+ | |||
+ | Nel caso di lievi deformazioni della simmetria, per esempio nel caso di diapason storto, il prodotto scalare xi cappuccio F sarebbe diverso da zero, con un' | ||
+ | |||
+ | Il denominatore si annulla quando le forze viscose sono ortogonali al modo di vibrare, nell' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | **Proprietà dei modi propri** | ||
+ | |||
+ | 1) due modi propri, xi cappuccio e xj cappuccio, sono __ortogonali rispetto alla matrice massa__ quando | ||
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+ | xj cappuccio matrice M xi cappuccio = delta ij di Kronecker con delta ij = 0 se i diverso da j e 1 se i=j | ||
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+ | 2) due modi propri sono __ortogonali rispetto alla matrice rigidezza__ quando | ||
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+ | xj cappuccio matrice K xi cappuccio = 0 se i diverso da j e ω^2 se i=j | ||
+ | |||
+ | se sono soddisfatte entrambe le condizioni allora i due modi propri sono __linearmente indipendenti__. | ||
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+ | |||
+ | |||
+ | Considero un pendolo vibrante nel piano ad una certa frequenza, a seconda del piano considerato ho dei modi propri diversi e indipendenti, | ||
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+ | IMMAGINE PENDOLO | ||
+ | |||
+ | Siano ω1xicappuccio1 e ω1xicappuccio2 i due modi propri del pendolo, è possibile tracciare i modi propri del sistema all' | ||
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+ | IMMAGINE. | ||
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wikipaom2015/lez27.txt · Ultima modifica: 2015/12/09 15:01 da ebertocchi