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wikipaom2015:lez21

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67544
Linea 1: Linea 1:
 +===== Equazione integrale nei problemi di contatto =====
 +\\
 +==== •Semipiano elastico con un carico concentrato $P$ ====
 +Si parte dal problema di un semipiano elastico con un carico concentrato $P$. Poiché il carico è concentrato, l'abbassamento del bordo superiore del semipiano va come in figura (matematicamente va a $-∞$).
 +
 +{{:wikipaom2015:soluzione_integrale_1.png|}}
 +{{:wikipaom2015:soluzione_integrale_1.pdf|sorgente ipe}}
 +
 +Se si prende l'asse $x$ a partire dalla forza $P$, l'abbassamento $\delta(x)$ sarà dato da:\\
 +
 +$\delta(x)=\frac{P}{E}log|x|$\\
 +
 +Questa soluzione è chiamata __//soluzione di Boussinesq//__. E' formalmente esatta, però presenta degli aspetti criticabili: mentre è accettabile che $\delta(0) = ∞$, non va bene che $\delta(∞) = ∞$, cioè non va bene che $\delta(x)$ sia infinito quando ci si trova lontano del carico $P$.
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +==== •Semipiano elastico con due carichi concentrati $P_{1}$ e $P_{2}$ ====
 +Quando abbiamo un solo carico è naturale prendere l'asse $x$ a partire dal carico e definire $\delta$ come $\delta(x)$. Il problema sorge quando ho più di un carico.
 +
 +{{:wikipaom2015:soluzione_integrale_2_corretto.png?300x242}}
 +{{:wikipaom2015:soluzione_integrale_2_corretto.pdf|sorgente ipe}}
 +
 +Se si hanno due carichi $P_{1}$ e $P_{2}$, non mi basta più una variabile $x$ per definire l'abbassamento, ma me ne servono due: __//la variabile $x$ definirà la posizione dei carichi $P_{1}$ e $P_{2}$ rispetto ad un punto arbitrario, mentre la variabile $y$ indicherà la posizione in cui calcolare l'abbassamento//__.\\ Non va bene usare solo $x$ altrimenti troverei sempre lo spostamento sotto il carico in questione, mentre lo spostamento lo si vuole in un punto qualunque.\\ 
 +
 +$\delta(y)=\frac{P_{1}}{E}log|x_{1}-y| + \frac{P_{2}}{E}log|x_{2}-y|$\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +==== •Semipiano elastico con un carico distribuito $p(x)$ ====
 +
 +{{:wikipaom2015:soluzione_integrale_3_corretto.png?325x300}}
 +{{:wikipaom2015:soluzione_integrale_3_corretto.pdf|sorgente ipe}}
 +
 +L'esempio con la pressione distribuita è una generalizzazione dei carichi concentrati, infatti si può dire che //__la pressione di contatto è costituita da infinite forze infinitesime $dP = p(x)dx$ adiacenti__//.\\ La relazione tra abbassamento e carico distribuito ha una forma del genere:\\
 +
 +$\delta(y)=\frac{1}{E}\int_{x_1}^{x_2} \underbrace{p(x)\, dx}_{forza\ infinitesima} \log|x-y|$ , $ \quad $ anche se in realtà il $dx$ andrebbe alla fine: $ \quad $  $\delta(y)=\frac{1}{E}\int_{x_1}^{x_2}\,p(x)\,log|x-y|\,dx$ $ \quad $ $(*)$
 +\\
 +\\
 +Tale equazione presenta:\\
 +• una //__variabile esterna__// $y$\\
 +• una //__variabile interna__// $x$\\
 +\\
 +Se sapessi risolvere l'integrale (per esempio, se $p(x) = cost$ lo so risolvere), $x$ va via e rimarrebbe solo $y$, quindi $x$ è la variabile d'integrazione detta //__variabile interna__// o //__dummy variable__//.
 +\\
 +\\
 +\\
 +L'equazione integrale $(*)$ può essere vista in due modi distinti:\\
 +**1)** si conosce $p(x)$, per esempio se $p(x) = cost$ $ \ $ l'integrale del logaritmo lo si conosce e si può ricavare $\delta(y)$;\\
 +**2)** $p(x)$ è un'incognita e si conosce $\delta(y)$ $\longrightarrow$ //__questa è la vera problematica interessante dell'equazioni integrali!__//
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +==== •Indentatore rigido rettangolare a spigoli vivi ====
 +Il più semplice esempio di equazione integrale è quella relativa all'indentatore rigido. Si ha un indentatore rigido a spigoli vivi che viene schiacciato contro un semipiano elastico.\\
 +Questo problema può essere trattato con l'equazione integrale: infatti nel tratto a contatto col semipiano il $\delta(y)$ rimane costante poiché l'indentatore si abbassa senza ruotare e rimane quindi da trovare l'espressione di $p(x)$. //__L'equazione integrale per questo problema è stata risolta__//.\\
 +Per ragioni matematiche non conviene riferirsi all'equazione nella forma $(*)$, ma conviene derivarla rispetto alla variabile esterna:\\
 +
 +$\frac{d\delta(y)}{dy}=\frac{1}{E}\int_{x_1}^{x_2}\,\frac{p(x)}{y-x}\,dx$ $\longrightarrow$ //__questa è la forma standard dell'equazione integrale dei problemi di contatto__//.\\
 +\\
 +Gli integrali del tipo $\int_{x_1}^{x_2}\,\frac{p(x)}{y-x}\,dx$ sono detti //__integrali di Chebyshev o di Chauchy__//. Per capire le problematiche di quest'integrale supponiamo $p(x) = cost$ e guardiamo la figura sottostante:
 +
 +{{:wikipaom2015:funzione_integrale.png?366x350}}
 +
 +Si nota che quando $x$ è prossima a $y$ il denominatore va a zero e la funzione va a $+∞$ o a $-∞$. Siccome il denominatore passa per zero, la funzione nel suo complesso ha una discontinuità saltando da $+∞$ a $-∞$. Si riesce a dimostrare in molti casi che le due punte che vanno a $∞$ si compensano e l'integrale non è più divergente.\\
 +Nel caso di indentatore rigido con superficie piana che schiaccia un semipiano elastico, la quantità $\frac{d\delta(y)}{dy}=0$ (perché $\delta(y)=cost$), quindi rimane da risolver l'integrale.\\
 +Tale integrale si riesce a risolvere e la pressione di contatto avrà il seguente andamento:
 +
 +{{:wikipaom2015:indentatore.png|}}
 +{{:wikipaom2015:indentatore.pdf|sorgente ipe}}
 +
 +In corrispondenza degli spigoli vivi, $p(x)$ va a $∞$ come $\frac{1}{x}$.\\
 +La soluzione di questo caso particolare è presa come //__soluzione di riferimento__//.
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +==== •Indentatore rigido rettangolare con spigoli arrotondati ====
 +La soluzione interessante però è quella di indentatore rigido con spigoli arrotondati su semipiano elastico (se l'indentatore fosse anch'esso elastico non si arriva alla soluzione).
 +
 +{{:wikipaom2015:indentatore_a_spigoli_arrotondati.png}}
 +
 +//__Questa soluzione ci dà l'effetto intaglio in funzione del raggio di raccordo__//.\\
 +Si noti che questo è un //__contatto progressivo__//, cioè più si schiaccia più l'area di contatto aumenta, ma l'aumento dell'area di contatto aumenta poco (solo del 2÷3%), quindi il problema è quasi lineare.\\
 +Non c'è una formula di validità generale che ci dice quanto vale esattamente la pressione in corrispondenza di uno spigolo arrotondato: sappiamo che è finita, ma per stimarla si fa un'analisi FEM.\\
 +\\
 +Si osservi che se l'indentatore rigido diventa sempre più largo avremo che:\\
 +• in prossimità dei raggi di raccordo la pressione va in su (//__effetto hertziano__//);\\
 +• al centro mi aspetterei che la pressione si appiattisca e arrivi ad un valore costante, ma la matematica mi dice che la pressione tende a zero.\\
 +Quest'ultima osservazione è spiegabile matematicamente in questo modo: la soluzione di un'equazione integrale ha la particolarità di essere essa stessa integrabile, però si è notato che se la pressione di contatto su una zona di lunghezza $∞$ non è zero allora il suo integrale è $∞$.\\
 +In sostanza l'unica conoscenza del ruolo del raggio di raccordo sull'effetto intaglio viene dall'equazione integrale, poi si effettua un'analisi FEM per confrontare i risultati.\\
 +\\
 +Uno spigolo arrotondato si sposa con dolcezza col semipiano elastico, come mostrato in figura:
 +
 +{{:wikipaom2015:spigolo_arrotondato.png}}
 +
 +La pressione di contatto tra indentatore con spigoli arrotondati e semipiano elastico ha un //__andamento a schiena di cammello__//. E sapere quanto la pressione di picco sia più alta di quella centrale è un $\alpha_{k}$, quindi c'è un interesse tecnico.\\
 +\\
 +Esempi di contatti con spigoli arrotondati sono i seguenti:\\
 +• il contatto tra la testina delle protesi d'anca e la cavità femorale in cui viene infilata;\\
 +• contatti con guarnizioni elastomeriche rettangolari a spigoli arrotondati (ingegneria aeronautica).\\
 +\\
 +Nella realtà però l'interesse più forte viene dal forzamento albero-mozzo (caso assialsimmetrico): si noti che //__la formula di Boussinesq è piana e non ne esiste una analoga per l'assialsimmetria__//.\\
 +Non ancora si riesce a capire dove si spacca il mozzo:\\
 +• se appena //__fuori la zona di contatto__//: se si spacca fuori, la causa è che l'albero è schiacciato dal mozzo, diventa conico come deformata, la deformata fa crescere delle $\sigma_{assiali}$ positive che dovrebbero essere la causa del crac;\\
 +• se appena //__dentro la zona di contatto__//: se si spacca dentro possiamo interpretarlo come //__fretting fatigue__// (dovuta allo sfregamento delle due superfici interessate).
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +===== I portali =====
 +\\
 +==== •Portale caricato da una forza concentrata verticale ====
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_1.png|}}
 +{{:wikipaom2015:portale_1.pdf|sorgente ipe}}
 +
 +Si vuole calcolare l'andamento del momento flettente $M_{f}$ in tale struttura: questa è una //__struttura ad anello chiuso__//, in se iperstatica, e non è facile andare a determinare a prima vista le reazioni vincolari.\\
 +Per aver un'idea di come sia l'$M_{f}$ si cerca di intuire la deformata della struttura (procedimento più facile del calcolo delle reazioni). Poi naturalmente so che l'$M_{f}$ è //__lineare a tratti__// e so che //__va disegnato dalla parte delle fibre tese__//.\\
 +Ci sono due regole per capire la deformata del portale:\\
 +\\
 +**1)** //__la conservazione dell'angolo retto__//\\
 +Guardo la deformata nell'intorno dello spigolo:
 +
 +{{:wikipaom2015:conservazione_angolo_retto.png}}
 +
 +• se la zona curva è molto corta, cioè non c'è un raggio di raccordo ampio, si deformerà poco e potrò dire che vale appunto la conservazione dell'angolo retto (si parla di angolo retto perché angoli diversi dal retto sono poco comuni): l'asse curvo compreso tra le due sezioni che definiscono le zone rettilinee è così corto che le sezioni non potranno ruotare l'una rispetto all'altra;\\
 +• se la zona curva è lunga, cioè presenta raggio di raccordo ampio, ci sarà qualche rotazione tra le due sezioni.\\
 +\\
 +\\
 +**2)** //__la conservazione della curvatura__//
 +
 +{{:wikipaom2015:segno_mf.png}}
 +
 +Il momento flettente in una zona di trave non caricata è lineare, inoltre se si prendono due punti vicini $A$ e $B$ è facile che in tali punti l'$M_{f}$ abbia lo stesso segno (questo non è un teorema, ma è improbabile che in due punti vicini l'$M_{f}$ cambi di segno). Da questa considerazione segue il seguente schema riguardante le curvature:
 +
 +{{:wikipaom2015:curvature.png}}
 +
 +Il **NO** vuol dire "//__assolutamente improbabile__//" ed in questi due casi l'$M_{f}$ si è annullato sullo spigolo (c'è infatti un cambio di curvatura).
 +\\
 +\\
 +Ora vado alla ricerca dell'$M_{f}$ operando una soluzione per gradi.\\
 +Indebolisco il telaio inserendo due cerniere. La deformata della traversa sarà quella in verde perché le colonne si comporteranno come due appoggi.
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_1_deformata1.png}}
 +
 +Tolgo le cerniere e ripristino la continuità della struttura. Poi applico la prima regola, cioè la conservazione dell'angolo retto.
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_1_deformata2.png}}
 +
 +Si noti però che non c'è la conservazione della curvatura, quindi la deformata non va bene.\\
 +Per ricondurmi ad uno dei due casi corretti (quelli indicati col **SI**), vado a vedere quanti //__flessi__// possono esserci sulle traverse e nelle colonne. Si noti innanzitutto che un punto di flesso si ha dove l'$M_{f}$ taglia l'asse della struttura, cioè dove $M_{f}=0$. Si noti inoltre che stiamo studiando un //__caso simmetrico__//.
 +
 +{{:wikipaom2015:segno_mf _portale_1.png}}
 +
 +• //__traversa__// (tratto caricato): in $a)$ e $c)$ non c'è nessun flesso, in $b)$ ci sono due flessi, quindi nella traversa ci sono o //__0 flessi__// o //__2 flessi__//.\\
 +\\
 +• //__colonne__//: sono zone non cariche e l'andamento di $M_{f}$ è  rettilineo, cioè lineare (e non bilineare come nella traversa), essendo il tratto di trave in questione non caricato da forze esterne. Quindi le colonne hanno //__0 flessi__// o //__1 flesso__//.\\
 +\\
 +Le colonne hanno già un flesso, quindi affinché abbia la conservazione della curvatura dovrò aggiungere due flessi sulla traversa. La deformata qualitativamente corretta è la seguente:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_1_deformata3.png}}
 +
 +Per tracciare il diagramma dell'$M_{f}$ ritorno sull'indeformata e individuo qualitativamente i flessi. Poi traccio $M_{f}$ dalla parte delle fibre tese:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_1_mf.png|}}
 +{{:wikipaom2015:portale_1_mf.pdf|sorgente ipe}}
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +==== •Portale caricato da una forza concentrata orizzontale ====
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_2.png|}}
 +{{:wikipaom2015:portale_2.pdf|sorgente ipe}}
 +
 +In questo secondo esempio abbiamo una struttura geometricamente simmetrica (e con vincoli simmetrici) caricata in modo //__antisimmetrico__//: mi aspetto una deformata antisimmetrica.\\
 +\\
 +Aggiungo due cerniere per indebolire la struttura e questa è la prima deformata (lavorano le colonne e non la traversa, che rimane rettilinea perché non prende $M_{f}$):
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_2_deformata1.png}}
 +
 +Questa prima deformata non conserva l'angolo retto, quindi eliminiamo le cerniere e applichiamo la regola della conservazione dell'angolo retto:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_2_deformata2.png}}
 +
 +Qui però non c'è conservazione della curvatura, quindi si dovrà cambiare la curvatura della deformata in zone abbastanza vicine ai punti di spigolo aggiungendo dei flessi.\\
 +\\
 +• La traversa non ha carichi, essendo il carico presente un //__carico d'estremità__// (dal punto di vista matematico dovremo parlare, invece che di "traversa", dell'//__aperto__// della traversa). Quindi nell'aperto della traversa l'$M_{f}$ è lineare e quindi la traversa o ha //__0 flessi__// o //__1 flesso__//.\\
 +\\
 +• Stesso discorso per le colonne perché anche qui il caricamento è su un punto estremale (se parlo di "aperto" il punto estremale va fuori).\\
 +\\
 +Noto che nella traversa c'è già un punto di flesso, quindi non può averne altri: si noti infatti che se aggiungessi un altro punto di flesso sulla traversa, in realtà ne dovrei aggiungere due in modo da avere un //__numero dispari di flessi__//, essendo il caricamento antisimmetrico.\\
 +Di conseguenza se applico la conservazione della curvatura aggiungendo punti di flesso, lo dovrò fare sulle colonne, come mostrato in figura:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_2_deformata3.png}}
 +
 +Ora ho sia la conservazione dell'angolo retto che della curvatura. Passo all'indeformata, riporto i tre flessi e disegno l'$M_{f}$ dalla parte delle fibre tese:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_2_mf.png|}}
 +{{:wikipaom2015:portale_2_mf.pdf|sorgente ipe}}
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +\\
 +==== •Portale caricato da una coppia ====
 +In quest'ultimo esempio si ha una struttura simmetrica caricata da una coppia:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_3.png|}}
 +{{:wikipaom2015:portale_3.pdf|sorgente ipe}}
 +
 +Si indebolisce la struttura introducendo due cerniere e si avrà la cosiddetta //__deformata ad S__//:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_3_deformata1.png}}
 +
 +•Ora andiamo a vedere quanti flessi può avere una traversa caricata da una coppia. Sono in //__condizioni di antisimmetria__// perché la traversa è caricata in modo antisimmetrico.\\
 +Per la regola del filo avrò le seguenti situazioni:
 +
 +{{:wikipaom2015:segno_mf _portale_3.png}}
 +
 +La traversa può avere o //__1 flesso__// o //__3 flessi__// (ed un flesso c'è già).\\
 +\\
 +• La colonna, che non è caricata, può avere o //__0 flessi__// o //__1 flesso__//.\\
 +Si noti che ho la possibilità di inserire un flesso su entrambe le colonne oppure due flessi sulla traversa.\\
 +Ora c'è da capire se le colonne si inflettano andando un po' a destra o un po' a sinistra.
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_3_deformata2.png}}
 +
 +**1) Primo caso**: in questo caso c'è la conservazione della curvatura, ma dell'angolo retto sembrerebbe di no.\\
 +\\
 +**2) Secondo caso**: in questa situazione c'è la conservazione dell'angolo retto, ma non della curvatura, quindi non va bene.\\
 +\\
 +Ora mi chiedo com'è la deformata delle colonne e se ha qualche proprietà. Per scoprirlo introduco le //__reazioni vincolari__// sulla struttura: siccome la struttura è simmetrica, ma è caricata in modo antisimmetrico, mi aspetto che le reazioni vincolari siano di tipo antisimmetrico.
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_3_reazioni_vincolari.png}}
 +
 +• Le reazioni di taglio sono uguali ed equiverse (altrimenti sarebbero simmetriche): poiché non equilibrate da nessun carico, dovranno essere nulle.\\
 +• Lo sforzo normale è come in figura dovendo essere antisimmetrico.\\
 +• Le coppie sono come in figura.\\
 +\\
 +Ora andiamo a vedere com'è fatto l'$M_{f}$ sulle colonne: lo sforzo normale non dà $M_{f}$ perché agisce lungo l'indeformata.\\
 +Infatti, se consideriamo una struttura labile orizzontalmente, essa si deformerà come in figura:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_3_sforzo_normale.png}}
 +
 +Dopo che i punti $A$ e $B$ si saranno aperti, in essi la reazione vincolare dà $M_{f}$ perché ha braccio. Se invece mi trovo sull'indeformata, le reazioni in $A$ e $B$ non daranno $M_{f}$ non avendo braccio.\\
 +Con l'esempio di struttura labile si vuole sottolineare che l'//__ipotesi di piccole deformazioni__// è importante: in sostanza l'equilibrio delle reazioni viene fatto sull'indeformata.\\
 +\\
 +Le coppie danno $M_{f}$ sulle colonne, ma lo daranno uniforme. Quindi le colonne deformano ad arco di cerchio e non possono avere flessi. Ciò significa che non posso aggiungere un flesso sulla colonna.\\
 +Dall'analisi sulle reazioni vincolari si capisce che le colonne si dovranno inflettere verso sinistra.\\
 +La deformata giusta presenterà quindi tre flessi sulla traversa:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_3_deformata3.png}}
 +
 +Riportando l'$M_{f}$ dalla parte delle fibre tese otterrò il seguente diagramma:
 +
 +{{:wikipaom2015:portale_3_mf.png}}