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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ===== Equazione integrale nei problemi di contatto ===== | ||
+ | \\ | ||
+ | ==== •Semipiano elastico con un carico concentrato $P$ ==== | ||
+ | Si parte dal problema di un semipiano elastico con un carico concentrato $P$. Poiché il carico è concentrato, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Se si prende l'asse $x$ a partire dalla forza $P$, l' | ||
+ | |||
+ | $\delta(x)=\frac{P}{E}log|x|$\\ | ||
+ | |||
+ | Questa soluzione è chiamata __// | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ==== •Semipiano elastico con due carichi concentrati $P_{1}$ e $P_{2}$ ==== | ||
+ | Quando abbiamo un solo carico è naturale prendere l'asse $x$ a partire dal carico e definire $\delta$ come $\delta(x)$. Il problema sorge quando ho più di un carico. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Se si hanno due carichi $P_{1}$ e $P_{2}$, non mi basta più una variabile $x$ per definire l' | ||
+ | |||
+ | $\delta(y)=\frac{P_{1}}{E}log|x_{1}-y| + \frac{P_{2}}{E}log|x_{2}-y|$\\ | ||
+ | \\ | ||
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+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ==== •Semipiano elastico con un carico distribuito $p(x)$ ==== | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | $\delta(y)=\frac{1}{E}\int_{x_1}^{x_2} \underbrace{p(x)\, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Tale equazione presenta:\\ | ||
+ | • una // | ||
+ | • una // | ||
+ | \\ | ||
+ | Se sapessi risolvere l' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | L' | ||
+ | **1)** si conosce $p(x)$, per esempio se $p(x) = cost$ $ \ $ l' | ||
+ | **2)** $p(x)$ è un' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ==== •Indentatore rigido rettangolare a spigoli vivi ==== | ||
+ | Il più semplice esempio di equazione integrale è quella relativa all' | ||
+ | Questo problema può essere trattato con l' | ||
+ | Per ragioni matematiche non conviene riferirsi all' | ||
+ | |||
+ | $\frac{d\delta(y)}{dy}=\frac{1}{E}\int_{x_1}^{x_2}\, | ||
+ | \\ | ||
+ | Gli integrali del tipo $\int_{x_1}^{x_2}\, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si nota che quando $x$ è prossima a $y$ il denominatore va a zero e la funzione va a $+∞$ o a $-∞$. Siccome il denominatore passa per zero, la funzione nel suo complesso ha una discontinuità saltando da $+∞$ a $-∞$. Si riesce a dimostrare in molti casi che le due punte che vanno a $∞$ si compensano e l' | ||
+ | Nel caso di indentatore rigido con superficie piana che schiaccia un semipiano elastico, la quantità $\frac{d\delta(y)}{dy}=0$ (perché $\delta(y)=cost$), | ||
+ | Tale integrale si riesce a risolvere e la pressione di contatto avrà il seguente andamento: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | In corrispondenza degli spigoli vivi, $p(x)$ va a $∞$ come $\frac{1}{x}$.\\ | ||
+ | La soluzione di questo caso particolare è presa come // | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ==== •Indentatore rigido rettangolare con spigoli arrotondati ==== | ||
+ | La soluzione interessante però è quella di indentatore rigido con spigoli arrotondati su semipiano elastico (se l' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | //__Questa soluzione ci dà l' | ||
+ | Si noti che questo è un // | ||
+ | Non c'è una formula di validità generale che ci dice quanto vale esattamente la pressione in corrispondenza di uno spigolo arrotondato: | ||
+ | \\ | ||
+ | Si osservi che se l' | ||
+ | • in prossimità dei raggi di raccordo la pressione va in su (// | ||
+ | • al centro mi aspetterei che la pressione si appiattisca e arrivi ad un valore costante, ma la matematica mi dice che la pressione tende a zero.\\ | ||
+ | Quest' | ||
+ | In sostanza l' | ||
+ | \\ | ||
+ | Uno spigolo arrotondato si sposa con dolcezza col semipiano elastico, come mostrato in figura: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | La pressione di contatto tra indentatore con spigoli arrotondati e semipiano elastico ha un // | ||
+ | \\ | ||
+ | Esempi di contatti con spigoli arrotondati sono i seguenti:\\ | ||
+ | • il contatto tra la testina delle protesi d'anca e la cavità femorale in cui viene infilata;\\ | ||
+ | • contatti con guarnizioni elastomeriche rettangolari a spigoli arrotondati (ingegneria aeronautica).\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Nella realtà però l' | ||
+ | Non ancora si riesce a capire dove si spacca il mozzo:\\ | ||
+ | • se appena //__fuori la zona di contatto__//: | ||
+ | • se appena //__dentro la zona di contatto__//: | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ===== I portali ===== | ||
+ | \\ | ||
+ | ==== •Portale caricato da una forza concentrata verticale ==== | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si vuole calcolare l' | ||
+ | Per aver un' | ||
+ | Ci sono due regole per capire la deformata del portale:\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | **1)** //__la conservazione dell' | ||
+ | Guardo la deformata nell' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | • se la zona curva è molto corta, cioè non c'è un raggio di raccordo ampio, si deformerà poco e potrò dire che vale appunto la conservazione dell' | ||
+ | • se la zona curva è lunga, cioè presenta raggio di raccordo ampio, ci sarà qualche rotazione tra le due sezioni.\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | **2)** //__la conservazione della curvatura__// | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Il momento flettente in una zona di trave non caricata è lineare, inoltre se si prendono due punti vicini $A$ e $B$ è facile che in tali punti l' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Il **NO** vuol dire "// | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Ora vado alla ricerca dell' | ||
+ | Indebolisco il telaio inserendo due cerniere. La deformata della traversa sarà quella in verde perché le colonne si comporteranno come due appoggi. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Tolgo le cerniere e ripristino la continuità della struttura. Poi applico la prima regola, cioè la conservazione dell' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si noti però che non c'è la conservazione della curvatura, quindi la deformata non va bene.\\ | ||
+ | Per ricondurmi ad uno dei due casi corretti (quelli indicati col **SI**), vado a vedere quanti // | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | • // | ||
+ | \\ | ||
+ | • // | ||
+ | \\ | ||
+ | Le colonne hanno già un flesso, quindi affinché abbia la conservazione della curvatura dovrò aggiungere due flessi sulla traversa. La deformata qualitativamente corretta è la seguente: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Per tracciare il diagramma dell' | ||
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+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ==== •Portale caricato da una forza concentrata orizzontale ==== | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | In questo secondo esempio abbiamo una struttura geometricamente simmetrica (e con vincoli simmetrici) caricata in modo // | ||
+ | \\ | ||
+ | Aggiungo due cerniere per indebolire la struttura e questa è la prima deformata (lavorano le colonne e non la traversa, che rimane rettilinea perché non prende $M_{f}$): | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Questa prima deformata non conserva l' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Qui però non c'è conservazione della curvatura, quindi si dovrà cambiare la curvatura della deformata in zone abbastanza vicine ai punti di spigolo aggiungendo dei flessi.\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | • La traversa non ha carichi, essendo il carico presente un //__carico d' | ||
+ | \\ | ||
+ | • Stesso discorso per le colonne perché anche qui il caricamento è su un punto estremale (se parlo di " | ||
+ | \\ | ||
+ | Noto che nella traversa c'è già un punto di flesso, quindi non può averne altri: si noti infatti che se aggiungessi un altro punto di flesso sulla traversa, in realtà ne dovrei aggiungere due in modo da avere un //__numero dispari di flessi__//, essendo il caricamento antisimmetrico.\\ | ||
+ | Di conseguenza se applico la conservazione della curvatura aggiungendo punti di flesso, lo dovrò fare sulle colonne, come mostrato in figura: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
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+ | Ora ho sia la conservazione dell' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
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+ | ==== •Portale caricato da una coppia ==== | ||
+ | In quest' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si indebolisce la struttura introducendo due cerniere e si avrà la cosiddetta // | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | •Ora andiamo a vedere quanti flessi può avere una traversa caricata da una coppia. Sono in // | ||
+ | Per la regola del filo avrò le seguenti situazioni: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | La traversa può avere o //__1 flesso__// o //__3 flessi__// (ed un flesso c'è già).\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | • La colonna, che non è caricata, può avere o //__0 flessi__// o //__1 flesso__// | ||
+ | Si noti che ho la possibilità di inserire un flesso su entrambe le colonne oppure due flessi sulla traversa.\\ | ||
+ | Ora c'è da capire se le colonne si inflettano andando un po' a destra o un po' a sinistra. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | **1) Primo caso**: in questo caso c'è la conservazione della curvatura, ma dell' | ||
+ | \\ | ||
+ | **2) Secondo caso**: in questa situazione c'è la conservazione dell' | ||
+ | \\ | ||
+ | Ora mi chiedo com'è la deformata delle colonne e se ha qualche proprietà. Per scoprirlo introduco le // | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | • Le reazioni di taglio sono uguali ed equiverse (altrimenti sarebbero simmetriche): | ||
+ | • Lo sforzo normale è come in figura dovendo essere antisimmetrico.\\ | ||
+ | • Le coppie sono come in figura.\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Ora andiamo a vedere com'è fatto l' | ||
+ | Infatti, se consideriamo una struttura labile orizzontalmente, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Dopo che i punti $A$ e $B$ si saranno aperti, in essi la reazione vincolare dà $M_{f}$ perché ha braccio. Se invece mi trovo sull' | ||
+ | Con l' | ||
+ | \\ | ||
+ | Le coppie danno $M_{f}$ sulle colonne, ma lo daranno uniforme. Quindi le colonne deformano ad arco di cerchio e non possono avere flessi. Ciò significa che non posso aggiungere un flesso sulla colonna.\\ | ||
+ | Dall' | ||
+ | La deformata giusta presenterà quindi tre flessi sulla traversa: | ||
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+ | Riportando l' | ||
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