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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | [[https:// | ||
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+ | {{: | ||
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+ | {{: | ||
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+ | Sorgente latex dispensa (file {{: | ||
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+ | |||
+ | ====== Algoritmo Newton-Raphson per sistemi di equazioni non lineari : Iterazione base ====== | ||
+ | |||
+ | Si consideri un sistema lineare di n equazioni | ||
+ | |||
+ | **R(u) = F (u)** | ||
+ | |||
+ | nelle n componenti incognite del vettore u, con | ||
+ | |||
+ | **R : u → R< | ||
+ | |||
+ | **F : u → R< | ||
+ | |||
+ | funzioni vettoriali di variabile vettoriale. | ||
+ | |||
+ | Nel caso specifico della soluzione di sistemi di equazioni derivate dagli equilibri nodali di strutture discretizzate con metodo FEM, si definiscono le seguenti grandezze: | ||
+ | |||
+ | * u: vettore contenente le componenti di spostamento/ | ||
+ | | ||
+ | * R(u): vettore contenente le componenti di azione nodale (uguali e contrarie alle reazioni elastiche della struttura costretta in stato deformato) necessarie a mantenere la struttura in equilibrio nello stato deformativo associato al vettore spostamenti nodali u. | ||
+ | |||
+ | Nel caso particolare di sistema elastico lineare si ha che: | ||
+ | |||
+ | **R(u) = K * u** | ||
+ | |||
+ | con K matrice di rigidezza. | ||
+ | |||
+ | Si nota che tale interpretazione dei termini dell’equazione **R(u) = F(u)** è appropriata nel caso le condizioni al contorno siano alle sole forze. | ||
+ | Nel caso in cui siano definiti vincoli di spostamento nodale imposto, alcune coppie di termini coniugati Ri(u)-Fi(u) risulteranno modificate in quanto all' | ||
+ | |||
+ | Una scrittura alternativa prevede la definizione e l’annullamento di un termine di residuo | ||
+ | |||
+ | **r(u) = R(u) − F(u) = 0** | ||
+ | |||
+ | Tale scrittura permette di riassumere in un unico termine le variazioni in u di forze e reazioni elastiche, per cui risulta vantaggioso procedere con tale notazione. | ||
+ | |||
+ | Il metodo Newton-Raphson è costruito a partire dallo sviluppo in serie di Taylor al primo ordine dell’equazione | ||
+ | |||
+ | **r (u< | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton-Raphson ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Si considera il problema monodimensionale di un albero rotante con velocità '' | ||
+ | |||
+ | {{https:// | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Tale problema è prettamente "Non Lineare" | ||
+ | |||
+ | {{https:// | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | Si parla in questo caso di **Stiffening**, | ||
+ | |||
+ | Un altro aspetto da considerare è la forza centrifuga, dovuta alla massa eccentrica mantenuta in rotazione, che inizialmente vale: | ||
+ | |||
+ | **F = m Ω< | ||
+ | |||
+ | e, dopo la deformazione: | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | Nel caso particolare in esame "K = (6 E J)/ | ||
+ | In questo caso R(u) e F(u) sono funzioni scalari di variabili scalari. | ||
+ | |||
+ | Nel caso generale per risolvere il sistema di equazioni non lineari si procede come illustrato di seguito: | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | |||
+ | Si tratta il caso bidimensionale le cui proprietà si riscontrano nel caso ad " | ||
+ | |||
+ | Si accorpano le funzioni " | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | Come meglio sarà comprensibile nella trattazione del caso monodimensionale è un metodo simile al metodo delle tangenti. | ||
+ | |||
+ | Si sceglie un punto di partenza **u< | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | |||
+ | Per l' | ||
+ | |||
+ | Quindi in forma vettoriale si risolve | ||
+ | |||
+ | **r (u< | ||
+ | |||
+ | La matrice del sistema **Jr** è analoga alla matrice di rigidezza. | ||
+ | |||
+ | Una volta definito il passo di iterazione, a partire da **u< | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | u_{i+1} = u_i - J_r \backslash r(u_i) | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | (Metodo esplicito) | ||
+ | |||
+ | Prima di procedere all' | ||
+ | |||
+ | **Lim< | ||
+ | |||
+ | Fissata una tolleranza " | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | |||
+ | Il secondo criterio è quello della convergenza del residuo: | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | |||
+ | Prima di passare all' | ||
+ | |||
+ | Nel caso monodimensionale la formula iterativa risulta: | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Considerato l' | ||
+ | |||
+ | Dall' | ||
+ | |||
+ | Il numero di iterazioni è pari al numero di tangenti che vanno ad approssimare la funzione **r(u)** nei vari punti **u< | ||
+ | |||
+ | Analoghe considerazioni si possono fare per la soluzione grafica nel caso bidimensionale dove sul piano " | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | Procedendo all' | ||
+ | |||
+ | |||
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