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====== Esercizio maglia di catena ======

[[https://cdm.ing.unimo.it/files/progettazione_assistita/testi_scritti/scritto%20PA%202013-02-21.pdf|Link testo esercizio maglia catena]]

{{:wikipaom2015:maglia_di_catena.wxmx|Link listato maxima maglia di catena}}

====== Teorema di Castigliano ======

===== Energia potenziale elastica della trave =====

Formula per l'energia interna di una trave, caso 3d. 
Si suppone che x,y siano assi principali d'inerzia, e che il momento torcente sia calcolato rispetto al centro di taglio (che coincide con il baricentro nelle sezioni a doppio asse di simmetria).

$$
  \def\d{\,\mathrm{d}}
  U=
    \int_{l} 
               \frac{M_{f,x}^2}{2 E J_{xx}}
      +        \frac{M_{f,y}^2}{2 E J_{yy}}
      +        \frac{N      ^2}{2 E A}
      +\eta_{x}\frac{T_{  x}^2}{2 G A}
      +\eta_{y}\frac{T_{  y}^2}{2 G A}
      +        \frac{M_{t  }^2}{2 G K_{t}}
    \d l
$$


====== Introduzione al manipolatore algebrico Maxima ======

Maxima è un sistema per la manipolazione di espressioni simboliche e numeriche, tra cui la differenziazione, l'integrazione, l'espansione in serie di Taylor, le trasformate di Laplace, le equazioni differenziali ordinarie, i sistemi di equazioni lineari, i polinomi, i set, le liste, i vettori, le matrici ed i tensori. Maxima produce risultati numerici di alta precisione utilizzando frazioni esatte, interi a precisione arbitraria e numeri in virgola mobile a precisione variabile; inoltre può tracciare funzioni e dati in due e tre dimensioni. 

Maxima è una versione open source, nata negli anni '90, creata a partire da una foto del codice sorgente di Macsyma (sviluppato alla fine del 1960 presso il Massachusetts Institute of Technology).

Tale software è disponibile per diversi sistemi operativi come Linux RPM, Windows e MacOS. È possibile scaricarlo nella sezione Download del sito http://maxima.sourceforge.net/ . 
Inoltre nella sezione Documentation del suddetto sito è possibile consultare due brevi tutorial riguardanti l’utilizzo del manipolatore e chiarimenti sul funzionamento dello stesso:

- Maxima by Example ( http://www.csulb.edu/~woollett/);

- Minimal Maxima (http://maxima.sourceforge.net/docs/tutorial/en/minimal-maxima.pdf ).

====== Lanciare Maxima da un terminale del laboratorio universitario con boot su Linux ======

Aprire il terminale e digitare:
<code>
ssh -X cdm
</code>

Dopo aver confermato con “yes” l’accesso al server di ateneo ed inserito le credenziali universitarie personali, digitare:
<code>
wxmaxima
</code>

per lanciare il manipolatore algebrico.

**NOTA BENE:** nei sistemi Unix c’è una strettissima gerarchia tra processi per cui, essendo un processo il figlio di una shell madre, uccidendo la shell madre terminiamo tutti i processi connessi ad essa. Ad esempio, lanciando Maxima da terminale, chiudendo quest'ultimo il terminale rimane aperto, mentre chiudendo il terminale uccidiamo lui e tutti i suoi figli a cascata (incluso Maxima).

===== Operazioni base: salvataggio di una sessione Maxima su server e su dispositivo di memoria esterno =====

Per __salvare la sessione di Maxima su server universitario__:

- //File -> Save as//

**NOTA BENE :** bisogna assegnare il nome al file non usando spazi nel nome stesso, ma piuttosto utilizzando il comando “underscore”, ad esempio:

NOME FILE è errato

NOME_FILE è corretto

- Salvare nell’estensione .wxmx che permette di utilizzare i caratteri speciali nei commenti.

- Salvare sulla propria cartella personale denominata con l’ID utilizzato nel login. 

Per __salvare su un dispositivo di memoria esterno__:

- //Application -> System -> File browser// 

- Digitare CTRL+L per immettere manualmente il percorso che sarà
<code>
sftp://cdm.ing.unimo.it/homel
</code>

Il file desiderato si troverà nella cartella personale. 

===== Inizializzazione di un programma Maxima =====

Aperta una nuova sessione di Maxima, digitare il comando
<code>
kill(all);
</code>

questo comando pulisce la memoria che il server può mantenere da esecuzioni precedenti. “kill” è la funzione, mentre "**all**" indica tutte le variabili. Il “**;**” serve per visualizzare a video l’output risultante, mentre il “**$**” omette la visualizzazione.

Dopo questo comando bisogna inviare la riga al software che la prende, la elabora e la restituisce; ciò si fa mediante il comando SHIFT+INVIO.

**NOTA BENE:** il software è di origine anglosassone; si utilizzano comandi quali //sin// per il seno, //log// per il logaritmo in base e, //sqrt// per la radice quadrata.

Di seguito si riportano i __ comandi base__:

      Cell -> Insert Text Cell
  
per inserire un commento (//tasto di scelta rapida:// CTRL+1).

      Cell -> Evaluate All Visible Cells  
  
Riesegue automaticamente l’intero programma e lo ripulisce da eventuali dati cancellati rimasti in memoria (//tasto di scelta rapida:// CTRL+R)

      Maxima -> Restart Maxima
  
Si utilizza nel caso di un blocco di Maxima; non pulisce la memoria, ma uccide la connessione al server e lo riesegue.

      % 

Indica la richiesta di valutazione dell’espressione “di cui sopra”; questo carattere quindi non da un assegnazione alla variabile richiamata, dando come output l’ultima operazione eseguita.

      %nome

Serve a richiamare la costante algebrica in forma non numerica (es: //%e// numero di nepero, //%pi// pi greco).

      %label

Richiama l’input o output desiderato, utilizzando il “label” (etichetta) assegnato automaticamente ad ogni riga.

**ESEMPIO**

{{:wikipaom2015:figura_0.png}}

====== Esempio : Calcolo delle deformazioni su una maglia di catena ======

Nell’esercizio trattato si vuole calcolare la rigidezza (deformazione) della catena rappresentata in Figura 1.

{{:wikipaom2015:figura_1.png}}

Se la catena fosse un tondino di acciaio la rigidezza si calcolerebbe come: 

$$ k = \frac{EA}{L} $$

con //E// modulo di Young, //A// area di sezione ed //L// lunghezza della catena. 
Non è possibile trattare la catena come un tondino in quanto possiede un momento flettente generato dal disallineamento tra il materiale ed il carico applicato sulla congiungente dei punti di contatto. La maglia di catena, lavorando a flessione, è più cedevole rispetto ad un tondino equamente massiccio che lavora a sforzo normale. 

La risoluzione del problema può avvenire attraverso due metodi:

- modello semplificato ad elementi finiti;

- modello semplificato di teoria della trave.

Per l’esercizio trattato si utilizza il secondo metodo. 

In figura 2 è rappresentata la schematizzazione di un anello della catena formata da due tratti rettilinei e due semicirconferenze. Viene indicato con d la sezione della catena, r il raggio delle semi circonferenze e //2L// la lunghezza dei tratti rettilinei. Si trascuri la deformazione a taglio.
In teoria della trave le forze sono applicate al baricentro, quindi, nel caso trattato, la catena è caricata da due forze P uguali e contrarie. L’incognita del problema in questione è quella di calcolare l’allungamento δ 1-2 dovuto all’ applicazione  del carico.

{{:wikipaom2015:figura_2.jpg}}

Per arrivare ad un modello semplificato di teoria della trave si deve prima analizzare il grado di iperstaticità della struttura. Quest’ultima è 3 volte iperstatica, ovvero possiede 3 gradi di vincolo in più rispetto ai numeri di gradi di libertà. Un sistema tre volte iperstatico richiede 3 equazioni di congruenza per essere risolto, ma in questo caso, attraverso la considerazione di simmetrie della catena, si utilizzerà una sola equazione di congruenza. 

La struttura della maglia di catena possiede due assi di simmetria nel piano x-y e di conseguenza si può considerare solo 1/4 di struttura. Bisogna evitare gli spostamenti normali al piano di simmetria per i punti che vi giacciono, bloccando anche le rotazioni entropiano. Per far ciò si vincolano i punti A e B agli assi di simmetria permettendone il solo spostamento lungo l’asse y (vedi figura 3). Si noti che nella figura 3 il carico passa da P a P/2 in quanto l’altra metà del carico è applicata nel punto simmetrico ad A.

{{:wikipaom2015:figura_3.jpg}}

Così facendo riduciamo i gradi di iperstaticità dell’anello ad 1. Ora si sostituiscono ad i punti A e B con due doppi pendoli che hanno la funzione di sopprimere le componenti di traslazione, nella direzione del loro asse, e di rotazione. (vedi Figura 4).

{{:wikipaom2015:figura_4.jpg}}

Utilizzando il Teorema di Castigliano è possibile calcolare l’allungamento totale 2δ, incognita del problema in esame. Tale teorema vale su ipotesi di sistemi elastici lineari ed enuncia che: 

//“lo spostamento δ misurato al punto di applicazione della forza P, ha direzione e verso di P e modulo:

$$ \delta = \frac{\partial U}{\partial P} $$

con U energia potenziale elastica”.//
	
Rendendo isostatica la struttura della catena, si va a introdurre l’incognita iperstatica legata alla coppia del punto in cui è stato eliminato il vincolo, dato che si passa da un doppio pendolo ad un pendolo semplice.

Nel caso in esame l’energia potenziale è funzione del carico: U(P). Con il fine di ricavare facilmente l’energia potenziale si porta la struttura da una volta iperstatica ad isostatica sostituendo il doppio pendolo con una bielletta ed aggiungendo la coppia C. Così facendo l’energia potenziale è sia funzione dei carichi sia funzione dell’incognita iperstatica: U(P, C).

La coppia C genera una rotazione ϴ della sezione a cui è applicata (da Figura 5), calcolabile attraverso il teorema di Castigliano in cui:

//“la rotazione di una sezione a cui è applicata una coppia C ha direzione e verso della coppia e modulo:

$$ \theta = \frac{\partial U}{\partial C} $$ "//

{{:wikipaom2015:figura_5.jpg}}


===== Applicazione della maglia di catena con il manipolatore algebrico Maxima =====
 
**1 Pulire la memoria**

Bisogna accettarsi che il nostro manipolatore Maxima non ci siano delle funzioni precedentemente calcolate,  prima di iniziare un nuovo lavoro, procediamo scrivendo il seguente comando :

{{:wikipaom2015:pulire_memoria.jpg?nolink|}}

 **2 I Momenti flettenti**

Definiamo gli andamenti attraverso le equazioni di equilibrio dei Momenti flettenti sui due tratti di catena considerati:

//2.1 Tratto 1// :

                   
{{:wikipaom2015:mf1.png?nolink|}}
       
                   
//2.2 Tratto 2// :
         
{{:wikipaom2015:mf2.png?nolink|}}

**3 Energia potenziale elastica U**

Utilizzando il teorema di Castigliano calcoliamo l’energia potenzia elastica U che sarà funzione del carico **P**, quindi **U(P).**
Rendendo isostatica la struttura della catena, si va a introdurre l’incognita iperstatica legata alla coppia del punto in cui è stato eliminato il vincolo, poiché passo da un doppio pendolo a uno semplice.
Di conseguenza l’energia potenziale è riformulata in funzione della coppia quindi **U(P,C)** . In linguaggio di __MAXIMA__ è per i due tratti considerati :

//3.1 Tratto 1//:

{{:wikipaom2015:u1.png?nolink|}}

//3.2 Tratto 2// :

{{:wikipaom2015:u2.png?nolink|}}

**4 Somma dell'energia potenziale U**

Avendo trovato l'energia potenziale dei due tratti __SOMMIAMO__ le due energie potenziali e otteniamo l’energia potenziale elastica totale della struttura:

{{:wikipaom2015:u1_u2.png?nolink|}}

**5 Calcolo della rotazione θ**

Utilizzando il teorema di Castigliano, calcolo la rotazione al doppio pendolo sostituito con bielletta, derivo **U** rispetto a **C** (coppia) all’ordine 1.

{{:wikipaom2015:rotazione_theta.png?nolink|}}  

come possiamo notare dalla figura 6 

{{ :wikipaom2015:picture_6.jpg?nolink |}}

**6 La rotazione θ all'estremità del tratto 1**

Impongo la rotazione θ all’estremità del tratto 1 __nulla__, per ricondurla a una struttura analoga a quella iniziale a doppio pendolo cioè una struttura **iperstatica**. Il tutto esprimibile mediante l'equazione di compatibilità:

{{:wikipaom2015:eq_comp.png?nolink|}}

**7 Espressione della coppia C**

Una volta definita l’equazione di compatibilità può ricavare l’espressione dell‘incognita iperstatica **C**.

{{:wikipaom2015:linsolve.png?nolink|}}

**8 La compatibilità cinematica** 

Assegno a **C** la valutazione di se stessa secondo un’ipotesi di rispetto della compatibilità cinematica.

**//La compatibilità cinematica//** implica che la sezione è descritta in funzione degli spostamenti del punto baricentrico e dalla rotazione attorno ad esso. Non si applicano sforzi di taglio durante la deformazione, mantenendo la continuità col materiale.

{{:wikipaom2015:c.png?nolink|}}

**9 Secondo modo per trovare C (coppia)**

Provo una via alternativa per assegnare a C lo stesso valore. Inizio cancellando l'assegnazione di **C**:

{{:wikipaom2015:kill_c_.png?nolink|}}

**10 controllo di C**

Controllo che a C non è assegnata alcuna espressione

{{:wikipaom2015:controllo_di_c.png?nolink|}}

**11 seconda espressione della coppia C**

Risolvo l’equazione di compatibilità nell'incognita di momento a reazione iperstatica **C**, con assegnazione automatica. 
Tale comando “linsolve(eq_comp , C ), globalsolve=true;” consente la soluzione del sistema lineare. 
Da questo istante , in qualunque espressione dove compare C (Coppia), è sostituita con l’output della soluzione del sistema.

{{:wikipaom2015:globalsolve_c_.png?nolink|}}

**12 Momento flettente massimo**

Per valutare il __Mfmax__ che corrisponde al valore massimo raggiunto che coinciderà con il valore del tratto rettilineo 2 per continuità:

{{:wikipaom2015:mf1max.png?nolink|}}

**13 L'espressione di U**

Valuto l’espressione di U in modo **//esplicito//**

{{:wikipaom2015:ev_u_.png?nolink|}}

**14 lo spostamento δ**

Procedo con Castigliano nel ricavare lo spostamento delta; considero mezza maglia superiore di catena e non un quarto perché il significato fisico è meno incerto

{{:wikipaom2015:delta.png?nolink|}}

possiamo notare dalla figura 7 

{{ :wikipaom2015:picture_7.jpg?nolink |}}  

possiamo notare questo anche nella figura 8 

{{ :wikipaom2015:picture_8.jpg?nolink |}}

**15 Semplificare l'espressione**

Tento di semplificare riducendo a denominatore comune

{{:wikipaom2015:delta_1.png?nolink|}}

**16 Deformabilità della maglia**

Valuto la deformabilità di maglia **__"def"__** sommando i contributi di deformazione della metà superiore e inferiore di maglia, uguali per simmetria.
Lo spostamento totale della maglia è **2δ**.

{{:wikipaom2015:deformabilita.png?nolink|}}

~~DISCUSSION|Note di redazione~~