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===== Es. 1 =====
Si denomina per semplicità \(F=4200\mathrm{N}\) il valore comune delle forze $F_\mathrm{A}$ e $F_\mathrm{B}$. 

L'applicazione della sola forza $F_\mathrm{A}$ produce alla sezione di spallamento un momento flettente pari a $M_\mathrm{f}=F \cdot l$ che porta a trazione le fibre al punto C, e un momento torcente pari a $M_\mathrm{t}=F \cdot w$ in modulo.

L'applicazione della sola forza $F_\mathrm{B}$ produce alla alla stessa sezione un pari momento flettente $F \cdot l$, che anche in questo caso tende le fibre al punto C, e un momento torcente eguale in modulo (sempre $F \cdot w$), che produce però deformazioni e tensioni taglianti opposte rispetto a quelle predette per il caso della sola $F_\mathrm{A}$ 
(tensioni $\tau$ alla superficie positive secondo fig. 3.2.2 p.119 nel caso $F_\mathrm{A}$, vs. negative nel caso $F_\mathrm{B}$).

L'applicazione alternata e ripetuta dei carichi $F_\mathrm{A}$ e $F_\mathrm{B}$ produce quindi al punto C
  * tensioni flessionali con ciclo all'origine, e 
  * tensioni torsionali con ciclo all'inversione.

Si valutano le tensioni nominali flessionali $\sigma_\mathrm{n}$ e torsionali $\tau_\mathrm{n}$ in 
$$\sigma_\mathrm{n}=\frac{M_\mathrm{f}}{\frac{\pi d^3}{32}},\quad \tau_\mathrm{n}=\frac{M_\mathrm{t}}{\frac{\pi d^3}{16}},$$

Si valuta quindi il coefficiente di sensibilità all'intaglio utilizzando la seconda delle (4.2.2) p. 306, i coefficienti di effetto intaglio a flessione e a torsione utilizzando la (4.4.1) p. 309, e infine le tensioni effettive a flessione e torsione come da (4.3.1) p. 308.

Estratte dal diagramma di Goodman dell'acciaio C20 
  * la tensione critica a flessione per cicli all'origine $\sigma_\mathrm{crit,f,orig}$ che nello specifico coincide con $R_\mathrm{s}$, e
  * la tensione critica a torsione per cicli all'inversione $\tau_\mathrm{crit,inv}$
si valuta il coefficiente di sicurezza come
$$\frac{1}{n^2}=\left(\frac{\sigma_\mathrm{eff}}{\sigma_\mathrm{crit,f,orig}}\right)^2+\left(\frac{\tau_\mathrm{eff}}{\tau_\mathrm{crit,inv}}\right)^2$$

===== Es. 2 =====
Il legame tra tensione ideale massima (rilevata in corrispondenza del bordo interno) nel mozzo e pressione di forzamento è definito dalla formula (5.4) p. 673, con $\Delta p = \left|p_\mathrm{f} \right|$, e raggi interni ed esterni specifici per i due componenti((L'utilizzo di una formula di tensione ideale basata sul criterio di Tresca è giustificato dalla natura duttile (allungamento a rottura del 15%) proprio della ghisa in oggetto.)).

Essendo l'albero pieno, le componenti radiale e circonferenziale di tensione valgono $\sigma_\mathrm{r}=\sigma_\mathrm{c}=-p_\mathrm{f}$, cfr. tabella 3.1 p. 668, mentre la tensione assiale è assunta nulla, $\sigma_\mathrm{a}=0$. La tensione ideale secondo Tresca vale quindi $\sigma_\mathrm{id}=p_\mathrm{f}$ sull'albero pieno.

La condizione di incipiente snervamento si ottiene eguagliando tale tensione ideale massima alla tensione di snervamento.

Definita quindi la pressione di forzamento per la quale il più sollecitato dei due membri dell'accoppiamento (nello specifico il mozzo) inizia a snervare, si valuta l'interferenza radiale (da cui la diametrale) utilizzando la formula (11.13) p. 694.

Il momento torcente trasmissibile è valutabile tramite la formula (11.15) p. 696.

La forza assiale necessaria per far scorrere il mozzo sull'albero in fase di montaggio è valutabile come il prodotto tra
  * l'area di contatto tra i corpi $2 \pi r_\mathrm{m} \ell$, e
  * la tensione tangenziale d'attrito in condizioni di scorrimento $f p_\mathrm{f}$.

===== Es. 3 =====

Note la potenza in KW (1KW = 1e6 N·mm/s) e la velocità angolare del motore si ottiene la coppia da questo trasmessa alla ruota 3, detta $M_3$.

La coppia trasmessa alla ruota 1 è scalata dal rapporto di riduzione
$M_1=\frac{d_1}{d_3}M_3.$.

La forza tangenziale di ingranamento((//ovvero// la componente tangenziale della forza di ingranamento, risultante delle interazioni di contatto tra i denti)) alla ruota 1 (ovvero all'ingranamento tra ruota 1 e ruota 2) vale $T_{12}=\frac{2 M_1}{d_1}$; 
essendo la ruota 2 folle, tale forza eguaglia la forza //tangenziale// di ingranamento alla ruota 3 (ovvero all'ingranamento tra ruota 3 e ruota 2) vale $T_{32}=\frac{2 M_3}{d_3}$.

Le forze radiali di ingranamento((//ovvero// la componente radiale delle forze di ingranamento, risultanti delle interazioni di contatto tra i denti)) non sono richieste; non è peraltro necessario calcolarle, in quanto per mutua compensazione non contribuiscono al momento flettente dell'albero oggetto di dimensionamento. 

La ruota 2 riceve quindi dai due ingranamenti un'azione cumulativa
$F=T_{12}+T_{32}$ che induce all'albero un momento flettente massimo $M_\mathrm{f}=\frac{Fab}{a+b}$, localizzato alla sezione di calettamento della ruota.

Considerando un coefficiente di sicurezza 3 e il diagramma di Goodman a p. 254, si ottiene come tensione ammissibile per sollecitazioni flessionali all'inversione un valore di $\sigma_{amm}=$''205 MPa''.

Il diametro che (trascurando gli effetti del taglio) garantisce il suddetto coeff. di sicurezza si ottiene dalla formula
$$M_\mathrm{f}=\frac{\pi d^3}{32}\sigma_{amm}$$
Eseguendo una rapida verifica a posteriori, il coeff. di sicurezza dell'albero così calcolato si riduce dello 0.84% rispetto al valore di riferimento; tale variazione è trascurabile. 

La freccia $f$ e la rotazione $\phi$ alla sezione di calettamento della ruota si ottengono sostituendo delle formule i valori delle azioni esterne applicate all'albero
  * forza concentrata $F$ come da calcolo precedente;
  * coppia concentrata $C$ pari a zero; la ruota a denti diritti non trasmette infatti all'albero una coppia concentrata di natura flettente.


===== Es. 4 =====
La tensione critica a sforzo normale per carichi statici del materiale coincide con il carico di snervamento, ed  valutabile in 900 MPa dal diagramma di Goodman a p. 254.

In condizioni di avviamento il fusto è sollecitato a compressione da un carico pari a quello dei gas, e dalla formula $$ P_\mathrm{scoppio} = A \cdot \frac{R_\mathrm{s}}{n} $$ con $n$ coefficiente di sicurezza, si ricava l'area resistente della sezione. 
Nota tale area, si ricava il valore della profondità di tasca $g$ mediante la relazione $A(g)=bh-2eg$.

L'azione dei gas è stata trattata come statica su esplicita richiesta del testo dell'esercizio; a questo primo dimensionamento segue una verifica a fatica che considererà il consueto ciclo combinato tra avviamento e regime.

Si considera quindi il ciclo di fatica con estremo trattivo pari alle forze inerziali al //pms.i.// ed estremo compressivo dato dalle sole azioni del gas al //pms.c.// in avviamento; tale ciclo viene quindi ribaltato in segno in modo da ottenerne uno equivalente a carico medio positivo; si calcola quindi il fattore $K$ per tale ciclo secondo la formula (6.1) p. 244 ottenendo
$$K=\frac{1+\frac{-F_\mathrm{pms,i}}{P_\mathrm{gas}}}{2}= 0.30$$
a cui corrisponde sul diagramma di Goodman per lo sforzo normale del materiale una tensione critica di circa $\sigma_\mathrm{crit,a.a.}\approx 670 \mathrm{MPa}$.

Si procede quindi al calcolo del coeff. di sicurezza utilizzando la formula
$$n=\frac{A \sigma_\mathrm{crit,a.a.}}{P_\mathrm{gas}}$$