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===== Es. 1 =====

Si calcola il fattore di forma per la lastra forata a trazione come da (5.1.1) p. 316. 
Si calcola il fattore di sensibilità all'intaglio come da (4.2.2) p. 306, acciai da bonifica.
Il fattore di effetto intaglio si deriva quindi dalla (4.4.1) p. 309.

Dal diagramma di Goodman del materiale a p. 254 si deriva un valori di snervamento a flessione $R_{s,f}$, snervamento a sforzo noemale $R_{s,N}$ e tensione critica per sollecitazioni flessionali modulate all'origine $\sigma_{crit,or}$ pari rispettivamente a 1070, 900 e 820 MPa.

Si utilizzano valori associati alla sollecitazione flessionale in presenza di gradiente tensionale nell'intorno del punto massimamente sollecitato (condizione di inizio plasticizzazione e di caricamento affaticante), e i valori associati alla sollecitazione di sforzo normale se la distribuzione delle tensioni è uniforme (condizione di completa plasticizzazione).

Nel caso di completa plasticizzazione, è stato valutato come corretto anche l'utilizzo della tensione di snervamento a flessione in luogo di quella a sforzo normale; in assenza di gradiente tensionale sarebbe infatti più appropriato riferirsi alla prova a sforzo normale, ma la questione è complessa, e anche la scelta di utilizzare due diverse tensioni di snervamento per le fasi iniziale e terminale della progressiva plasticizzazione della sezione resistente risulta essere discutibile.

Calcolata l'area resistente in $A=(w-d)h$, il carico di inizio plasticizzazione si valuta in $$P=\frac{A \cdot R_{s,f}}{\alpha_k},$$ il carico di completa plasticizzazione si valuta in $$P=A \cdot R_{s,N}$$ e il carico assiale critico per cicli all'origine si valuta in $$P=\frac{A \cdot \sigma_{crit,or}}{\beta_k}.$$
===== Es. 2 =====

Note la potenza in KW (1KW = 1e6 N·mm/s) e la velocità angolare del motore si ottiene la coppia da questo trasmessa alla ruota 1, valutata in $M_1=$''1.44886e5 Nmm''.

La coppia trasmessa alla ruota 3 è scalata dal rapporto di riduzione
$$M_3=\frac{d_3}{d_1}M_1$$.

La forza tangenziale di ingranamento alla ruota 1 (ovvero all'ingranamento tra ruota 1 e ruota 2) vale $$T_{12}=\frac{2 M_1}{d_1};$$ da questa si derivano la componente radiale $$N_{12}=T_{12} \cdot \tan(20°)$$ e il valore della forza di ingranamento in modulo $$F_{12}=T_{12} \cdot \sqrt{ 1+ \tan^2(20°)}.$$

Vista la natura folle della ruota 2, le componenti radiali $R$ e tangenziali $T$ e il modulo delle forze trasmesse sono uguali agli ingranamenti tra ruote 1 e 2 e tra ruote 2 e 3.
La forze di ingranamento alla ruota 3 è quindi uguale in modulo a quella agente sulla ruota 1.

La ruota 2 riceve quindi dai due ingranamenti un'azione cumulativa
$$F=\sqrt{(-T_{12}-N_{23})^2+(-N_{12}-T_{23})^2}=\sqrt{2}\left(1+\tan(20°)\right)\frac{2M_1}{d_1}$$ che induce all'albero un momento flettente massimo $F \cdot b$, localizzato al supporto più vicino alla ruota 2.

Considerando un coefficiente di sicurezza pari a 2 e il diagramma di Goodman a p. 250, si ottiene come tensione ammissibile per sollecitazioni flessionali all'inversione un valore di $\sigma_{amm}=$''135 MPa''.

Il diametro che (trascurando gli effetti del taglio) garantisce il suddetto coeff. di sicurezza si ottiene dalla formula
$$Fb=\frac{\pi d^3}{32}\sigma_{amm}$$
Eseguendo una rapida verifica a posteriori, il coeff. di sicurezza dell'albero così calcolato si riduce dello 0.5% circa rispetto al valore di riferimento; tale variazione è trascurabile. 

Noto che:
  * l'albero è dimensionato con coeff. di sicurezza 2;
  * lo stato tensionale dello stesso scala in via proporzionale alla coppia motrice;
  * il coeff. di sicurezza scala in via inversamente proporzionale alla coppia motrice;
la coppia motrice ipoteticamente trasmissibile in condizioni di criticità risulta essere 2 volte la coppia motrice utilizzata per il dimensionamento.
===== Es. 3 =====
Il caso (a) di trave caricata a sforzo normale trattivo è associato ad una sollecitazione uniassiale del cubetto elementare; si ha quindi $\sigma_1=s=P/A$, $\sigma_2=\sigma_3=0$.
Il piano di Mohr pertinente prevede un due circoli sovrapposti ($\sigma_1-\sigma_2$ e $\sigma_1-\sigma_3$) e un circolo collassato ad un punto ($\sigma_2-\sigma_3$), coerente con figura (1); il rapporto tra tensione equivalente secondo von Mises e la tensione principale massima risulta inoltre 
$$\frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_3\sigma_1}}{\sigma_1}=\frac{\sqrt{s^2}}{s}=1$$

Il caso ( c ) di trave caricata momento torcente è associato ad una sollecitazione di puro taglio del cubetto elementare; si ha quindi, posto $$t=\frac{M_t}{W_p},$$
$\sigma_1=t$, $\sigma_2=-t$ e $\sigma_3=0$.
Il piano di Mohr pertinente risulta quindi quello di figura (2). 
Il rapporto tra tensione equivalente secondo von Mises e la tensione principale massima risulta inoltre 
$$\frac{\sqrt{t^2+(-t)^2-t\cdot(-t)}}{t}=\sqrt{3}$$

Il caso (b) di lastra sottile caricata al perimetro da un carico distribuito trattivo uniforme rappresenta invece uno stato idrostatico piano; in particolare la componente tensionale orientata normalmente alla lastra vale $\sigma_3=0$ per via delle superfici superiore ed inferiore scariche, mentre le due componenti di tensione principale entro piano -- ortogonali alle superfici laterali della lastra -- risultano caricate da un pari valore tensionale $\sigma_1=\sigma_2=p$ (o $=p/h$, ove $h$ è lo spessore, a seconda che si interpreti $p$ come una tensione o un carico per unità di lunghezza).

L'associato piano di Mohr è sempre quello di figura (1), rappresentante sempre due circoli sovrapposti ($\sigma_1-\sigma_3$ e $\sigma_2-\sigma_3$) e un circolo collassato ad un punto ($\sigma_1-\sigma_2$).
Il rapporto tra tensione equivalente secondo von Mises e la tensione principale massima risulta inoltre 
$$\frac{\sqrt{p^2+p^2-p \cdot p}}{p}=1$$


Il piano di Mohr di figura (3) non rappresenta alcuno degli stati tensionali delle strutture (a), (b), ( c ).
 

===== Es. 4 =====

L'area della sezione resistente del fusto è valutata in $$A(g)=bh-2eg=407.0-34.0\cdot g;$$ la tensione critica a sforzo normale per cicli all'origine -- associati alla condizione di solo avviamento -- del materiale risulta $\sigma_\mathrm{crit,or,N}=780\mathrm{MPa}$ dal diagramma di Goodman a p. 254 (tracciare la retta con coeff. $k=0.5$).

Dalla formula 
$$ P_\mathrm{scoppio} = A(g) \cdot \frac{\sigma_\mathrm{crit,or,N}}{n} $$ con $n$ coefficiente di sicurezza, si ricavano l'area resistente della sezione e il valore della profondità di tasca.

Si considera quindi il ciclo di fatica con estremo trattivo pari alle forze inerziali al //pms.i.// ed estremo compressivo dato dalle sole azioni del gas al //pms.c.// in avviamento; tale ciclo viene quindi ribaltato in segno in modo da ottenerne uno equivalente a carico medio positivo; si calcola quindi il fattore $K$ per tale ciclo secondo la formula (6.1) p. 244 ottenendo
$$K=\frac{1+\frac{-F_\mathrm{pms,i}}{P_\mathrm{gas}}}{2}= 0.098$$
a cui corrisponde sul diagramma di Goodman per lo sforzo normale del materiale una tensione critica di circa $\sigma_\mathrm{crit,a.a.}\approx 590 \mathrm{MPa}$.

Si procede quindi al calcolo del coeff. di sicurezza utilizzando la formula
$$n=\frac{A \sigma_\mathrm{crit,a.a.}}{P_\mathrm{gas}}$$

All'aumentare della velocità di rotazione da 8000 a 10000 rpm, le pressioni dei gas possono ritenersi in prima approssimazione costanti; le forze inerziali scalando invece con il quadrato della velocità di rotazione, ossia aumentano di un fattore $(10/8)^2=1.5625$, raggiungendo i $F_\mathrm{pms,i}^\prime=$58281.25 N e i $F_\mathrm{pmi}^\prime=$-37812.5 N.

Poiché 
  * le forze inerziali al //pmi.// non superano in modulo le forze al //pms.c.// in avviamento,
  * le forze inerziali al //pms.i.// superano in modulo le forze al //pms.c.// in avviamento,
ricalcolo il coeff. $K$ con la formula
$$K=\frac{1+\frac{-P_\mathrm{gas}}{F_\mathrm{pms,i}^\prime}}{2}= 0.102$$
I diagramma di Goodman a sforzo normale del materiale associa a tale $K$ un valore di tensione critica sostanzialmente invariato rispetto al prececente (sempre nell'intorno dei 590 MPa).

Si procede quindi al calcolo del coefficiente di sicurezza a questo secondo regime utilizzando la formula
$$n=\frac{A \sigma_\mathrm{crit,a.a.}^\prime}{P_\mathrm{pms.i.}^\prime}$$