\section{Relazioni cinematiche di dipendenza tra gradi di libertà} \subsection{Servo-link} \label{ss:servos} Sia dato un sistema di $n$ gradi di libertà (gg.d.l) $\delta_i$, e siano definite $n$ componenti di azione esterna $F_i$ agenti (compienti lavoro) su tali gg.d.l., e sia definito un sistema di reazioni elastiche associate allo scostamento di tali gg.d.l. dal valore nullo nella forma $-k_{ij}\delta_j$. Siano \begin{equation} \label{eq_equilibrio} \ma{K}\ve{\delta}=\ve{F} \end{equation} le equazioni di equilibrio ai vari gg.d.l. . Si intende definire una relazione cinematica di dipendenza tra un g.d.l, nello specifico $\delta_j$, ed i restanti $\delta_i, i \neq j$, nella forma \begin{equation} \label{eq_defservo} \delta_j=\sum_{i \neq j} \alpha_{ji} \delta_i + \Delta\delta_j \end{equation} Il termine $\Delta\delta_j$ è stato introdotto per permettere uno scostamento dalla relazione cinematica stessa, e rappresenta uno spostamento \emph{relativo} tra il termine di combinazione lineare e l'effettiva dislocazione del nodo. Tale termine e potrà successivamente essere ridotto a valore nullo (o in generale imposto) con le consuete metodologie di vincolamento del grado di libertà. Tale relazione cinematica imposta è chiamata \emph{servo-link} o \emph{multi-point constraint (MPC)}, ed è tipicamente implementata nei codici in forma omogenea $\Delta\delta_j=0$. Se la forma algebrica \ref{eq_defservo} lega i vari gg.d.l. senza indurre relazioni di subordinazione, l'imposizione della stessa in forma di \emph{assegnazione} sancisce la condizione di dipendenza di $\delta_j$ dai restanti. Si dirà in particolare che $\delta_j$ è un g.d.l. \emph{dipendente} (o \emph{tied}) mentre i vari $\delta_i, i \neq j$ sono gg.d.l. \emph{indipendenti} (anche detti \emph{retained}\footnote{Questa denominazione nasce da un'implementazione alternativa a quella qui descritta che vede un'eliminazione del g.d.l. dipendente con conseguente riduzione del numero delle incognite stesso. I gg.d.l. indipendenti sono invece ``mantenuti'' da cui la denominazione.}). In virtù della \ref{eq_defservo} sarà quindi possibile scrivere \begin{equation} \label{eq_defL} \left[ \begin{array}{c} \delta_1 \\ \vdots \\ \delta_{j-1} \\ \delta_j \\ \delta_{j+1} \\ \vdots \\ \delta_n \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccccccc} 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \alpha_{j,1} & \cdots & \alpha_{j,j-1} & 1 & \alpha_{j,j+1} & \cdots & \alpha_n \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \delta_1 \\ \vdots \\ \delta_{j-1} \\ \Delta\delta_j \\ \delta_{j+1} \\ \vdots \\ \delta_n \\ \end{array} \right] \end{equation} ed in forma compatta \begin{equation} \label{eq_eqlink} \ve{\delta}=\ma{L}\ve{\delta}^{\ast}, \end{equation} che risulta essere un semplice cambiamento di base/componenti per la descrizione dello stato del sistema ad $n$ gg.d.l.. In particolare è possibile introdurre \ref{eq_defL} entro \ref{eq_equilibrio} ottenendo il cambiamento di incognite \begin{equation} \underbrace{\ma{L}^T \ma{K} \ma{L}}_{\ma{K}^\ast} \ve{\delta}^\ast = \underbrace{\ma{L}^T \ve{F}}_{\ve{F}^\ast} \end{equation} ove la premoltiplicazione di ambo i membri per $\ma{L}^T$ è stata introdotta per mantenere la simmetria del sistema, nonché una coerente definizione di lavoro virtuale delle azioni esterne nella forma \begin{equation} \partial\ell=\left\langle \ve{F}^\ast ,\ve{\partial\delta}^\ast \right\rangle \end{equation} Andando infine ad analizzare in dettaglio il termine noto di \ref{eq_eqlink}, risulta in componenti che \begin{equation} F^\ast_i = F_i+ \alpha_{ji} F_j, \; i \neq j;\quad F^\ast_j = F_j , \end{equation} ossia che la quota di azione esterna originariamente agente sul $j$-esimo g.d.l., ora reso dipendente, si ripartisce sugli altri gg.d.l. secondo gli stessi coefficienti $\alpha_{ji}$ che definiscono il legame cinematico. \subsection{Link di forze/momenti risultanti distribuiti RBE3} Si considera un nodo dipendente $C$ di coordinate $x_C,y_C,z_C$, detto nodo di controllo (alle forze... altrimenti la definizione è impropria), ed una nuvola di $n$ nodi indipendenti $P_i$ di coordinate $x_i,y_i,z_i$ e con peso relativo $q_i$. Si considera applicato al nodo $C$ un sistema di azioni esterne nella forma delle tre componenti di forza $U_C,V_C,W_C$ e nelle tre componenti di momento $\Omega_C,\Phi_C,\Psi_C$, riunite nel vettore \[\ve{F}_C=\left[\ U_C \; V_C \; W_C \; \Omega_C \; \Phi_C \; \Psi_C \right]^T\]. Si definisce un centro di massa $G$ della nuvola di punti, le cui coordinate sono al solito \begin{equation} x_G = \frac{\sum_{i} q_i x_i}{\sum_{i} q_i},\quad y_G = \frac{\sum_{i} q_i y_i}{\sum_{i} q_i},\quad z_G = \frac{\sum_{i} q_i z_i}{\sum_{i} q_i}. \end{equation} Si definisce quindi una prima relazione di dipendenza cinematica, per cui le rototraslazioni \[ \ve{\delta}_C = \left[ u_C \; v_C \; w_C \; \theta_C \; \phi_C \; \psi_C \right]^T \] di $C$ sui tre assi $x,y,z$ sono definite in funzione delle rototraslazioni \[ \ve{\delta}_G = \left[ u_G \; v_G \; w_G \; \theta_G \; \phi_G \; \psi_G \right]^T \] del centro di massa $G$ secondo il vincolo di rototraslazione rigida \begin{equation} \label{eq:linkCtoG} \left[ \begin{array}{c} u_C \\ v_C \\ w_C \\ \theta_C \\ \phi_C \\ \psi_C \\ \end{array} \right] = \underbrace{ \left[ \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & +(z_C-z_G) & -(y_C-y_G) \\ 0 & 1 & 0 & -(z_C-z_G) & 0 & +(x_C-x_G) \\ 0 & 0 & 1 & +(y_C-y_G) & -(x_C-x_G) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] }_{\ma{L}_{CG}} \cdot \left[ \begin{array}{c} u_G \\ v_G \\ w_G \\ \theta_G \\ \phi_G \\ \psi_G \\ \end{array} \right] \end{equation} già visto per le RBE2. Come osservato al paragrafo \ref{ss:servos}, all'imposizione di tali relazioni cinematiche è associata una riduzione a nuovo punto di applicazione $G$ delle azioni agenti su $C$, con l'introduzione di opportuni momenti di trasporto come da \begin{equation} \ve{F}_G = \left[\ma{L}_{CG}\right]^T \cdot \ve{F}_C, \quad \ve{F}_G = \left[ U_G \; V_G \; W_G \; \Theta_G \; \Phi_G \; \Psi_G \right]^T \end{equation} Si definisce quindi una seconda relazione di dipendenza per cui da una parte lo spostamento del nodo $G$ risulti la media pesata degli spostamenti ai nodi $P_i$, ovvero \begin{equation} u_G = \frac{\sum_{i} q_i u_i}{\sum_{i} q_i},\quad v_G = \frac{\sum_{i} q_i v_i}{\sum_{i} q_i},\quad w_G = \frac{\sum_{i} q_i w_i}{\sum_{i} q_i}, \end{equation} e dall'altra le forze applicate in $C$ e ridotte a $G$ si distribuiscano ai nodi $P_i$ secondo i pesi dati, ossia \begin{equation} \label{eq:fdist} U^\prime_i = U_C \frac{q_i}{\sum_{i} q_i},\quad V^\prime_i = V_C \frac{q_i}{\sum_{i} q_i},\quad W^\prime_i = W_C \frac{q_i}{\sum_{i} q_i}. \end{equation} Per quanto riguarda la distribuzione dei momenti ridotti a $G$ sui nodi $P_i$, si preferisce operare in termini di una seconda quota di forze nodali $U^{\prime\prime}_i,V^{\prime\prime}_i,W^{\prime\prime}_i$ piuttosto che in termini di una quote momenti $\Theta^{\prime}_i,\Phi^{\prime}_i,\Psi^{\prime}_i$. \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=1]{rbe3.pdf} \caption{Schema distribuzione momenti} \label{fig:distrmom} \end{figure} Riferendosi a Figura \ref{fig:distrmom}, si considerano le componenti di momento $\Theta_G,\Phi_G,\Psi_G$ singolarmente nella riduzione a sistemi di forze equivalenti. Preso l'esempio particolare della componente $z$ di momento $\Psi_G$, ad essa viene sostituito un sistema equivalente di forze $\ve{F}_{\Psi,i}$ distribuite ai punti $P_i$ %\begin{equation} %\ve{F}_{\Psi,i}=U_{\Psi,i} \ve{\hat{\imath}} + V_{\Psi,i} \ve{\hat{\jmath}} %\end{equation} in sole componenti $x,y$ tali da avere \begin{itemize} \item retta d'azione sul piano $x,y$, normale alla congiungente $G-P_i$ ivi proiettata \item verso coerente con il momento stesso \item modulo proporzionale alla distanza proiettata \begin{equation} r_{z,i}=\sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_i^2}, \quad \Delta x_i = x_i-x_G,\quad \Delta y_i = y_i-y_G \end{equation} e al peso $q_i$ del nodo \item momento risultante della distribuzione pari a $\Psi_G \hat{k}$ \end{itemize} In particolare risulta \begin{equation} \ve{F}_{\Psi,i} = \frac{\Psi_G q_i }{\sum_j q_j r_{z,j}^2} \left( - \Delta y_i \hat{\ve{\imath}} + \Delta x_i \hat{\ve{\jmath}} \right) \end{equation} e, una volta definiti \begin{equation*} r_{x,i}=\sqrt{\Delta y_i^2 + \Delta z_i^2}, \quad r_{y,i}=\sqrt{\Delta z_i^2 + \Delta x_i^2}, \quad \Delta z_i = z_i-z_G \end{equation*} si hanno per le altre componenti di momento le forme \begin{equation} \ve{F}_{\Theta,i} =\frac{\Theta_G q_i}{\sum_j q_j r_{z,j}^2} \left( - \Delta z_i\ve{\hat{\jmath}} + \Delta y_i\ve{\hat{k}}, \right) \end{equation} \begin{equation} \ve{F}_{\Phi,i} =\frac{\Phi_G q_i}{\sum_j q_j r_{y,j}^2} \left( - \Delta x_i \ve{\hat{k}} + \Delta z_i \ve{\hat{\imath}} \right) \end{equation} le quali, raccolte per componenti e in notazione più compatta, danno \begin{equation} \label{eq:Mdist} U_i^{\prime\prime} \hat{\imath} + V_i^{\prime\prime} \hat{\jmath} + W_i^{\prime\prime} \hat{ k } = q_i \left| \begin{array}{ccc} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{\Theta_G}{\sum_j q_j r_{x,j}^2} & \frac{\Phi_G} {\sum_j q_j r_{y,j}^2} & \frac{\Psi_G} {\sum_j q_j r_{z,j}^2} \\ \Delta x_i & \Delta y_i & \Delta z_i \\ \end{array} \right| \end{equation} I termini in \ref{eq:Mdist} andranno sommati a quelli ricavati in \ref{eq:fdist}, per cui la forza distribuita dal link RBE3 sull'$i$-esimo nodo risulterà \begin{equation} \ve{F}_i = U_i\hat{\imath} + V_i\hat{\jmath} + W_i\hat{ k } = (U_i^{\prime}+U_i^{\prime\prime}) \hat{\imath} + (V_i^{\prime}+V_i^{\prime\prime}) \hat{\jmath} + (W_i^{\prime}+W_i^{\prime\prime}) \hat{ k } \end{equation} o, in forma algebrica % \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} U_i\\ V_i\\ W_i\\ \Theta_i\\ \Phi_i\\ \Psi_i\\ \end{array} \right] = \underbrace{ q_i \left[ \begin{array}{cccccc} \frac{1}{\sum_j q_j}&0&0& 0 & + \frac{\Delta z_i}{\sum_j q_j r_{y,j}^2} & - \frac{\Delta y_i}{\sum_j q_j r_{z,j}^2} \\ 0&\frac{1}{\sum_j q_j}&0& - \frac{\Delta z_i}{\sum_j q_j r_{x,j}^2} & 0 & + \frac{\Delta x_i}{\sum_j q_j r_{z,j}^2}\\ 0&0&\frac{1}{\sum_j q_j}& + \frac{\Delta y_i}{\sum_j q_j r_{x,j}^2} & - \frac{\Delta x_i}{\sum_j q_j r_{y,j}^2} & 0 \\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ \end{array} \right] }_{\ma{L}^T_{GP,i}} \left[ \begin{array}{c} U_G\\ V_G\\ W_G\\ \Theta_G \\ \Phi_G \\ \Psi_G \\ \end{array} \right] \end{equation} % Tale relazione è definita in forma specifica per ogni nodo $P_i$. Alla distribuzione di forza appena descritta è associata la forma agli spostamenti risulta \begin{equation} \ve{\delta}_G= \underbrace{ \left[ \begin{array}{ccccc} \ma{L}_{GP,1} & \cdots & \ma{L}_{GP,i} & \cdots & \ma{L}_{GP,n} \end{array} \right] }_{\ma{L}_{GP}} \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} \ve{\delta}_1 \\ \vdots \\ \ve{\delta}_i \\ \vdots \\ \ve{\delta}_n \end{array} \right]^T }_{\ve{\delta}_{\forall i}} \end{equation} ove $\ma{L}_{GP}$ e $\ve{\delta}_{\forall i}$ sono definiti per blocchi. Ricordando infine la \ref{eq:linkCtoG} si può esprimere per il link RBE3 una condizione cinematica \begin{equation} \ve{\delta}_c = \ma{L}_{CG} \cdot \ma{L}_{GP} \cdot \ve{\delta}_{\forall i} \end{equation} ed una caratteristica di distribuzione delle forze ai nodi $P_i$ \begin{equation} \ve{F}_i = \ma{L}^T_{GP,i} \cdot \ma{L}_{CG}^T \cdot \ve{F}_C, \quad i=1\ldots n . \end{equation}