Indice

Azione interna in travi spaziali: stato tensionale e deformativo

Con particolare riferimento a profilati in parete sottile.

Richiami di teoria dell'elasticità

Stato tensionale

Stato deformativo

FIXME

Legame costitutivo

Legame tra componenti di tensione e componenti di deformazione per un materiale elastico lineare isotropo

$$ \def\X{\frac{E\left(1-\nu\right)}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}} \def\Y{\frac{E\nu }{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}} \begin{bmatrix} \sigma_{x}\\ \sigma_{y}\\ \sigma_{z}\\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \X&\Y&\Y&0&0&0 \\ \Y&\X&\Y&0&0&0 \\ \Y&\Y&\X&0&0&0 \\ 0 &0 &0 &G&0&0 \\ 0 &0 &0 &0&G&0 \\ 0 &0 &0 &0&0&G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_{x}\\ \epsilon_{y}\\ \epsilon_{z}\\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \end{bmatrix} $$

$$ \def\X{\frac{1} {E}} \def\Y{\frac{-\nu}{E}} \def\Z{\frac{1} {G}} \begin{bmatrix} \epsilon_{x}\\ \epsilon_{y}\\ \epsilon_{z}\\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \X&\Y&\Y&0&0&0 \\ \Y&\X&\Y&0&0&0 \\ \Y&\Y&\X&0&0&0 \\ 0 &0 &0 &\Z&0&0 \\ 0 &0 &0 &0&\Z&0 \\ 0 &0 &0 &0&0&\Z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{x}\\ \sigma_{y}\\ \sigma_{z}\\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \end{bmatrix} $$

Si noti che:

$$ G=\frac{E}{2\left ( 1+\nu \right )} $$

Sforzo normale e momento flettente (puro)

Si considera uno stato tensionale uniassiale $\sigma_z = E \epsilon_z$.

Taglio

Applicazione della formula di Jourawski a sezioni in parete sottile aperta e chiusa.

Taglio in sezioni sottili aperte

Applicazione di Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del centro di taglio

Taglio in sezioni sottili chiuse

Applicazione di Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del parametro incognito $\tau_c t_c$.

Energia potenziale elastica di un concio di trave in taglio/torsione, $\tau \equiv \tau_{zs}$ con $s$ ascissa curvilinea a scorrere sulla parete sottile a partire dal punto di taglio C.

Definizione $\tau(s)$ sui tratti della sezione in parete sottile $$ \tau\left(s \right )t\left(s \right )=\iint_{A^\star}\frac{d \sigma_z}{dz} d A - \tau_C t_C = \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C $$

Suppongo qui $\sigma_z$ uniforme lungo lo spessore (stato di taglio membranale).

Energia associata alla combinazione taglio / momento torcente indotto dal carico traverso se applicato con braccio $d$ rispetto al centro di taglio

$$ U = \oint \frac{\tau^2(s)}{2G} t(s) ds=\oint \frac{\left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C \right)^2}{2G} t(s) ds =\frac{1}{2}T_y v_C + \underbrace{ \frac{1}{2} \underbrace{T_y d}_{M_t} \theta}_{\geq 0} $$ ove $v_C$ è lo spostamento in direzione y del centro di taglio

Essendo l'energia relativa al momento torcente $\geq 0$, il caso a $d$ nullo è un minimo dell'energia potenziale elastica.

$$ \frac{\partial U}{\partial t_C \tau_C} = 0 $$

$$ \frac{\partial U}{\partial \left(\tau_C t_C \right )} = \oint \frac{ +2\left( \tau_C t_C \right) - 2 \left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) \;d \cdot \right) }{2G} t\; ds =0 $$ e quindi $$ \tau_C t_C = \frac{ \oint \frac{ \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t \;d \cdot }{G} t\; ds }{\oint \frac{ t }{G} \; ds } $$

Torsione

PATTUME

Lucidi della lezione

Lucidi e appunti spicci

Materiale di riferimento/approfondimento per sezioni in parete sottile chiusa e aperta a torsione

C. Felippa, Torsion Of Open Thin Wall (OTW) Sections C. Felippa, Torsion Of Closed Thin Wall (CTW) Sections