Indice

Richiami di teoria della trave

Introduzione

Si definisce “trave” un solido geometrico con una dimensione preponderante rispetto alle altre; la teoria che permette di definire lo stato tensionale della stessa, detta teoria della trave, si basa sulle seguenti ipotesi:

Il corpo così decritto presenta 6 gradi di libertà di cui tre traslazioni e tre rotazioni attorno a tre assi coordinati. Nei casi applicativi, invece, è limitato nei suoi spostamenti tramite la presenza di vincoli. Quest’ultimi interagiscono con il corpo attraverso reazioni vincolari che sottraggono gradi di libertà.
Esempi di vincolo nel piano sono:

Altri tipologie di vincolo possono essere ottenute tramite la combinazione di quest’ultimi (doppio pendolo, biella, ecc.).
Un solido vincolato subisce forze e momenti dall’esterno e ristabilisce l’equilibrio in ogni sezione grazie alla nascita di reazioni interne. Tali reazioni si dividono in:

La distribuzione di queste sollecitazioni sulle sezioni causa uno stato tensionale responsabile di deformazioni ed eventuali rotture. Le caratteristiche delle sollecitazioni sono indipendenti dalla sezione e dal materiale, se la struttura è isostatica ossia i gradi di vincolo coincidono con i gradi di libertà. Consideriamo il seguente esempio:

Per risolvere la struttura in figura si inizia imponendo l'equilibrio alla traslazione e alla rotazione nei sei possibili gradi di libertà dello spazio; in particolare si ha che all'incastro sono presenti tre forze dirette lungo gli assi: XA,YA,ZA quindi:

$$ \left\{\begin{matrix} &X_{A} = 0 & \\ &Y_{A}+P=0 & \\ &Z_{A}=0 & \end{matrix}\right. $$
da cui ricaviamo YA=-P.
Allo stesso modo all'incastro sono applicati anche tre momenti resistenti attorno agli assi coordinati, Mx,My,Mz e, come sopra, imponiamo l'equilibrio alla rotazione, scegliendo un generico punto, nel nostro caso A, per cui otteniamo:
$$ \left\{\begin{matrix} &P\cdot c \ + M_{x} = 0 & \\ &M_{y}=0 & \\ &P\cdot a \ + M_{z} = 0 & \end{matrix}\right. $$ da cui ricaviamo i valori:
$$ -P\cdot c = M_{x} $$ $$ -P\cdot a = M_{z} $$ a questo punto la struttura può dirsi in equilibrio.

{{ :playground:diagrammi_sollecitazione.png?200 | Controlla fibre tese Mf!!

Per determinare le sollecitazioni interne, prendiamo in considerazione il tratto 3 di trave, su cui agisce il carico P; esso provoca uno sforzo di taglio negativo di entità P e un momento flettente che agisce attorno all'asse x, crescente lungo l'asse della trave e di valore massimo pari a P⋅c, che raggiunge all'intersezione con la trave 2 (punto C).
Consideriamo, ora, il secondo tratto di trave: su di esso si scarica il momento flettente di cui sopra, P⋅c, il quale resta costante lungo tutta la lunghezza b della trave; inoltre anche il carico P si scarica sotto forma di sforzo normale trattivo e dunque positivo, di entità P.
Per quanto riguarda la trave 1, su di essa il momento flettente P⋅c diventa torcente perché applicato attorno all'asse x e come tale resta costante lungo tutta la lunghezza a per poi annullarsi in corrispondenza dell'incastro (punto A), laddove è presente la reazione Mx, uguale e opposta.
D'altra parte il carico P, pensato applicato all'estremità B della trave 1, genera un momento flettente attorno a z, crescente lungo la stessa fino al valore P⋅a che si ottiene all'incastro, dove anch'esso viene bilanciato dal momento Mz ivi presente. La forza P, inoltre, produce un taglio costante, di entità -P, che in presenza del vincolo viene eliminato dalla reazione YA.
Nelle figure seguenti è possibile notare l'andamento delle sollecitazioni interne lungo la :

Telaietto

Dato il seguente telaio semplificato, è definito il sistema di riferimento considerando come asse strada, l’asse X, asse Y parallelo al piano stradale e asse Z ortogonale ai precedenti.
immagine
Tale sistema è labile nello spazio in quanto i vincoli eliminano 3 gradi di libertà rispetto i 6 totali poiché ogni carrello impedisce solo il moto lungo l’asse Z.
Dal punto di vista delle sollecitazioni indotte nel materiale ciò è irrilevante perché non vi sono carichi nelle direzioni di possibile moto.
Al fine di rendere tale struttura isostatica è possibile introdurre una cerniera in qualsiasi punto in modo da impedire i moti liberi (traslazione in x, y e rotazione intorno all’asse z), tuttavia tale vincolo non introduce alcuna reazione vincolare rispetto la situazione precedente; risulterebbe scarico in quanto lungo quelle direzioni non ci sono carichi applicati da indurre spostamenti.
Attraverso considerazioni di equilibrio alla rotazione, è possibile ricavare le reazioni vincolari lungo Z; per equilibrio attorno alla diagonale AC la reazione vincolare nel nodo B è pari in modulo e verso del carico P. Per medesime considerazioni di equilibrio lungo il segmento CD la reazione vincolare nel nodo C ha modulo pari a P e verso opposto al carico applicato. Per concludere l’analisi statica la reazione vincolare nel nodo A ha modulo pari a al carico e verso opposto.
La struttura è geometricamente simmetrica ma la distribuzione dei vincoli non lo è, tuttavia sostituendo a quest’ultimi le rispettive reazioni vincolari la distribuzione dei carichi risulta antisimmetrica.
L’antisimmetria può essere definita a partire dal concetto di simmetria; invertendo forze e momenti da un solo lato del piano di simmetria di una struttura antisimmetrica, questa diventa simmetrica.
Riferendosi al problema in questione la struttura presenta 3 piani di antisimmetria rispetto la distribuzione dei carichi di cui XZ perpendicolare all’asse Y, XY perpendicolare all’asse Z e il piano ZY ortogonale all’asse X.
In presenza di antisimmetria posso studiare parte della struttura perché il resto sarà derivabile tramite le regole dell’antissimetria.
Tagliando la struttura è possibile sostituire ad una delle due parti dei vincoli i quali eviteranno spostamenti o/e rotazioni incompatibili con la presenza della porzione di corpo mancante.

Regole di sostituzione dei vincoli:
Gli spostamenti consentiti per figure attraversate da un piano di simmetria o di anti-simmetria sono tutti quelli che non comportano una separazione o compenetrazione tra le parti in cui è divisa la struttura, ossia lasciano in contatto i punti che lo erano precedentemente. Immaginiamo una trave tagliata da un piano di simmetria o antisimmetria x,y con normale z e consideriamo i diversi spostamenti a cui è soggetta la superficie di contatto:

Traslazione lungo l'asse z, normale al piano:
Per una struttura simmetrica, tale spostamento comporta la separazione tra le parti della trave, che risulterebbe soggetta a due forze di verso opposto, pertanto non è consentito; viceversa per una struttura antisimmetrica, la traslazione è ammessa in quanto le due parti della trave sono, soggette a forze nello stesso verso.

Traslazione lungo l'asse y, giacente sul piano:
Per una struttura simmetrica lo spostamento di una parte in direzione y comporta uno spostamento nello stesso verso della parte restante, pertanto tale movimento è consentito; viceversa, per una struttura antisimmetrica, lo spostamento di cui sopra comporterebbe una traslazione in verso opposto tra le parti, quindi non è ammesso.

Traslazione lungo l'asse x, giacente sul piano:
Analogamente al caso precedente, per una struttura simmetrica a uno spostamento in direzione x corrisponde un movimento nello stesso verso delle parti, dunque è ammesso; d'altro canto per una struttura antisimmetrica, tale movimento non è consentito poiché comporta uno scostamento in versi opposti delle due metà, con evidente separazione del materiale.

Rotazione attorno all'asse z, normale al piano:
Tale rotazione, per una struttura simmetrica, é consentita, in quanto le due parti ruoterebbero nello stesso verso; viceversa questa rotazione non è ammessa nel caso di travi antisimmetriche.

Rotazione attorno all'asse y, giacente sul piano:
Per una struttura simmetrica un simile movimento non è consentito perché i due tronconi in cui è divisa la trave ruoterebbero in versi opposti con conseguente rottura della trave originaria; per strutture antisimmetriche, invece, è uno spostamento ammesso.

Rotazione attorno all'asse x, giacente sul piano:
Una rotazione attorno all'asse x comporta, per la struttura simmetrica, contemporaneamente una compenetrazione e un distacco delle superfici originariamente a contatto e dunque risulta non essere consentito; nel caso di una struttura antisimmetrica, tale rotazione è ammessa, poiché le due parti ruotano nello stesso verso.

Con riferimento alla tabella di figura, la struttura simmetrica consente traslazione lungo gli assi x e y e rotazioni attorno all'asse z; la struttura antisimmetrica, invece ha tali movimenti bloccati e viceversa consente la traslazione lungo l'asse z e le rotazioni attorno agli assi x e y.