Nell'ultima lezione, attraverso un'analisi modale del profilo, erano stati calcolati i primi 10 modi propri del sistema. In particolare era stato trovato un modo proprio simmetrico della struttura caratterizzato da frequenza f = 21,69 Hz.

Tale modo risulta il più interessante ai fini tensionali in quanto ora verrà aggiunta una forzante esterna di tipo alterno che carica in modo simmetrico la struttura. Tale forza è diretta lungo Y ed ha ampiezza massima di 49,35 N ad una frequenza pari a 25 Hz (la Fy varia col quadrato della frequenza). Il valore è associato a metà struttura e quindi nell'intero manovellismo avrò 98,7 N.

Inserisco forzante:

Boundary conditions → new → structural → Harmonic point Load → Force Y → Real 49,35

Creo nuovo Loadcase:

Come carichi agenti in questo Loadcase (Initial Loads), si scelgono: incastro, vincolo di simmetria normale x e Harmonic point Load. Nel manovellismo di spinta è presente anche una Fz ma la trascuriamo per semplicità, visto che, componendosi con Fy, darebbe origine a una traslazione diagonale e a una rotazione intorno all'incastro.

In questa analisi (per adesso) si considera smorzamento nullo.

Si fa partire il Job in cui si inserisce il Loadcase appena creato e si visualizzano i risultati.

Come ci si poteva aspettare da un oscillatore armonico da un grado di libertà, risulta ben visibile un'inversione di fase della struttura da frequenza pre-risonanza a frequenza post-risonanza (dove la risonanza risulta essere la frequenza caratterizzante il modo proprio della struttura: 21,69Hz). Avendo considerato un intervallo di campionamento con 15<f<30 Hz, per questi valori la struttura non è sicura. Per rimediare si può irrigidire il supporto per aumentare la frequenza del modo proprio fino a farla andare oltre i 30 Hz oppure montare un ammortizzatore per non modificare la struttura (priva di elementi smorzanti specifici).

In figura è visibile la deformata della struttura ad una frequenza f1=21,5 Hz (pre-risonanza) e a f2=21,7 Hz (post-risonanza).

Si procede con l'analisi dinamica inserendo lo smorzamento strutturale (sempre presente in ogni materiale e struttura). In tal modo, in condizioni di risonanza, l'ampiezza di tensioni e spostamenti non risulterà infinita ma verrà attenuata proprio dallo smorzamento.

Si sceglie di utilizzare uno smorzamento legato alla sola matrice rigidezza K (cioè nella formula di Raileigh si pone il coefficiente α=0 e β≠0), senza quindi inserire un ammortizzatore. Da tabella si trova che, per la struttura in esame, il coefficiente di smorzamento può essere valutato intorno al 1% (ζ=0,01). Da questo valore si trova β=ζ/(πf).

Formula di Raileigh: ζi=0,5[(α/ωi)+βωi]

Material properties → Structural → Damping → Stiff matrix multiplier 0.01

Costruisco una nuova tabella in cui modulo il coefficiente β in funzione della frequenza:

Tables → 1 indipendent variable → v1=frequency → formula = 1/(v1*π)

N.B.= in un modello con smorzamento è necessario attivare Complex Damping in Analysis Options all'interno del Job.

Tracciando un Plot del Displacement Y di un nodo della struttura si nota il seguente andamento con un massimo in prossimità della frequenza di risonanza. Tale massimo è, come ci si aspettava, di ampiezza finita grazie allo smorzamento.

Lo studio dell'instabilità delle strutture rientra nel campo delle grandi rotazioni e grandi spostamenti. L'analisi lineare, infatti, non riesce a cogliere tale fenomeno che porta ad un cedimento flessionale della struttura.

Il fenomeno di instabilità è un fenomeno di tipo Softening, cioè la rigidezza della struttura cala all'aumentare del carico esterno applicato fino a diventare nulla (o comunque molto bassa). In particolare, il caso di interesse si ha quando la curva forza/spostamento diventa orizzontale, cioè quando la derivata calcolata in un punto (dove la derivata rappresenta la rigidezza K) si annulla.

In un problema multidimensionale la condizione da ricercare è la seguente:

det(K)=0

In tali condizioni il prodotto K*Δδ=0 anche con Δδ≠0, cioè lo spostamento di un nodo può aumentare senza che aumenti il carico esterno applicato. Ipotizzando di avere una rigidezza della struttura che varia linearmente con la formula K=K1+λ(K2-k1), si pone det(K1+λ(K2-k1))=0 e si cercano gli auto-valori associati. Trovati gli auto-valori λ, si calcola il valore del carico P(λ) che porta ad instabilità, dove P=P1+λ(P2-P1).

Solitamente si sceglie P1=0 e P2 variabile.

Si analizza una piramide a base quadrata formata da tubolari in parete sottile schematizzabili come elementi Thin walled section beam su cui agisce un carico verticale, sul vertice alto, di tipo compressivo pari a 1000 N.

Si inserisce un nuovo Loadcase di tipo BUCKLE e si analizza il Job inerente a tale Loadcase. Come risultato il programma fornisce il fattore moltiplicativo della forza applicata che produce instabilità strutturale della struttura (in questo caso il fattore vale 8.4). In questo caso, il valore del carico critico è di 8463 N. Per ovviare al problema si può mettere una perturbazione per rendere continuo il comportamento della struttura intorno al punto caricato (gli “spaghetti” si piegano gradualmente e non bruscamente) oppure si può inserire un controllo di spostamento (un carrello che si muove riproducendo la deformazione).

In ambito strutturale, l'ottimizzazione si prefigge l'obiettivo principale di minimizzare la massa di un componente mantenendo invariate le proprietà meccaniche di resistenza e rigidezza. Per ottenere questo risultato si può agire in diversi modi, a seconda di quella che è la Design Variable del processo. In tutti i metodi, si parte da un Design Space iniziale che rappresenta il dominio all'interno del quale la variabile può spaziare (è una sorta di mesh, costituita da mattoncini di lego, caratterizzante tutto il volume teoricamente occupabile dal telaio che si sta progettando). Al termine del processo si arriva a definire la geometria esatta del pezzo da costruire, passando per opportuni vincoli geometrici, di resistenza e di processo. Dato che si tratta di processi iterativi, le varie tecniche di ottimizzazione si sposano bene con load case lineari mentre non sono adatte per casi non-lineari (urti, contatti, ecc…). Sarà quindi necessario linearizzare tutti i carichi applicati al Design Space.

Le tipologie di ottimizzazioni maggiormente utilizzate nella progettazione di un telaio sono:

-Topologica

-Topografica

-Size

-FreeSize

-Shape

-FreeShape

-Composite shuffle

L'ottimizzazione topologica ha come variabile (Design Variable) la densità elemento per elemento e come vincolo lo spostamento (cioè la rigidezza del pezzo se è noto il carico) → quindi se ho 10^6 elementi, avrò di conseguenza 10^6 Design Variables. In particolare, la variabile xi (densità) spazia in un range di valori [0,1]; in sostanza xi=0 → vuoto, xi=1 → pieno. La densità di un nodo vale ρi=xi*ρ, dove ρ rappresenta la densità effettiva del materiale che si sta utilizzando. La rigidezza vale invece Ei=xi^p*E, dove E è sempre il modulo di Young del materiale. L'esponente p rappresenta il fattore di penalità: elementi con basso valore di xi (al crescere del penalty factor) danno un contributo molto scarso alla rigidezza e vengono per questo ritenuti poco efficienti, quindi scartati dal solutore. Così facendo, si verrebbe a creare una struttura a scacchiera (sono stati eliminati alcuni “pezzi di lego”) in cui pieni e vuoti si alternano → assolutamente irrealizzabile → devo trovare il modo per “ingegnerizzarla”. Per ovviare al problema, si introduce un fattore di sensitività r grazie al quale si media la densità di un elemento con tutti gli elementi distanti r volte la densità dell'elemento stesso. Con questo procedimento il solutore viene forzato a creare delle strutture traveiformi di spessore pari a 2*r. Per questo motivo l'ottimizzazione topologica non è adatta per l'ottimizzazione di strutture a piastra, come ad esempio compositi in fibra di carbonio mentre è ottima per strutture massive o appunto traveiformi.

Viene variata l'altezza (asse z) dal piano medio del corpo. Questa ottimizzazione viene utilizzata per rappresentare le nervature nel caso l'obiettivo sia quello di rinforzare la struttura per il raggiungimento di una rigidezza voluta.

La FreeSize ha come Design Variable lo spessore del singolo elemento 2D (elemento shell) e come vincolo la rigidezza. Si può quindi scegliere lo spessore massimo, minimo ed il passo tra loro. Si hanno quindi come output pezzi con spessore variabile (indicato con una scala di colori variabili dal rosso al blu al diminuire dello spessore) ma di costosa e difficile realizzazione.

Questo metodo lavora sul singolo componente (brancardo, traversa, tunnel centrale, ecc…). Vado ad imporre ad ogni macro-elemento uno spessore costante. Anche in questo caso, ad ogni colore ne corrisponde uno diverso.

Utilizzata solo per materiali compositi. Partendo da un frammento dell'insieme delle pelli che costituiscono il mio componente, questo metodo ottimizza la loro distribuzione (sequenza di laminazione) a seconda dei carichi agenti.

Usata per dare ai pezzi la forma ottimale in base al tipo di carico a cui li si sottopone. Le variabili in gioco sono quelle che definiscono la geometria (facendo riferimento a modelli predefiniti). La grandezza fondamentale è la densità, studiata su una griglia che rappresenta la parte di spazio in cui si troverà il componente al termine dell'ottimizzazione; vale 1 se l'elemento è pieno, 0 se è vuoto. La legge di ottimizzazione è [K(ρ)]=ρ^p[K]. p è il fattore di penalità che “corregge” il valore di densità facendolo via via tendere a 0 o a 1, rendendo la soluzione realizzabile, in quanto densità intermedie non hanno senso.

Slide ottimizzazione strutturale

testo esercizio modello base esame

testo esercizio modello base esame

modello base esame

in acciaio, spessore 0.5 mm in acciaio, spessore 0.5 mm

provare a caricare con

• sforzo normale 15.708 N
• momento flettente con asse momento x, 37.493 Nmm
• momento flettente con asse momento y, 37.493 Nmm
• momento torcente, 74.987 Nmm

di entità tali da indurre tensioni sigma e tau unitarie sul tubo non intagliato

Supponendo infine uno degli estremi incastrato, calcolare la rigidezza flessionale come rapporto tra coppia in direzione x o y applicata all'altro estremo e rotazione dello stesso.

modello, carichi come da traccia, spessore parete 3 mm, materiale Alluminio (E=70000 MPa, nu=0.3, rho=2.7e-9 tonn/mm^3)

due tracce di esempio per esercizio